2021届高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布第二节排列组合学案理含解析

1、第二节排列组合最新考纲考情分析核心素养1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能解决简单的实际问题.主要通过实际生活中的热点问题考查排列、组合的应用，多为选择题，难度中等，分值为5分.1.数学建模2.数学运算知识梳理1排列与排列数(1)排列从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(2)排列数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作a2组合与组合数(1)组合从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的

2、一个组合(2)组合数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作c3排列数、组合数的公式及性质公式排列数公式an(n1)(n2)(nm1)组合数公式c性质(1)an！；(2)0！1(1)c1；(2)c；(3)ccc备注n，mn*且mn常用结论(1)cc：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余nm个元素的方法数(2)ccc：从n1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：不含特殊元素a有c种方法；含特殊元素a有c种方法基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列

3、()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同()(3)若组合式cc，则xm成立()(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况，也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了()答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(选修23p18例3改编)从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是()a12b24c64d81答案：b3(选修23p26知识改编)计算cccc的值为_(用数字作答)答案：210三、易错自纠4用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()a8b24c48d120解析：选c因

4、为末位数字排法有a种，其他位置排法有a种，共有aa48(种)排法，所以偶数的个数为48.5某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言(用数字作答)解析：由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了a40391 560(条)毕业留言答案：1 5606已知，则m_解析：由已知得，m的取值范围为m|0m5，mz，原等式可化为，整理可得m223m420，解得m21(舍去)或m2.答案：2|题组突破|1有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人

5、；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻解：(1)从7人中选5人排列，有a765432 520(种)(2)分两步完成，先选3人站前排，有a种方法，余下4人站后排，有a种方法，共有aa5 040(种)(3)解法一(特殊元素优先法)：先排甲，有5种方法，其余6人有a种排列方法，共有5a3 600(种)解法二(特殊位置优先法)：首尾位置可安排另6人中的两人，有a种排法，其他有a种排法，共有aa3 600(种)(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有a种方法，再将女生全排列，有a种方法，共有aa576(种)(5

6、)(插空法)先排女生，有a种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有a种方法，共有aa1 440(种)名师点津求解排列应用问题的6种主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法|题组突破|2某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货现从35种商品中选取3种(1)其中某

7、一种假货必须在内，不同取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同取法有多少种？解：(1)从余下的34种商品中，选取2种有c561(种)取法，所以某一种假货必须在内的不同取法有561种(2)从34种可选商品中，选取3种，有c5 984(种)或者ccc5 984(种)取法所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有cc2 100(种)取法所以恰有2种假货在内的不同取法有2 100种(4)选取2种假货有cc种，

8、选取3种假货有c种，选取方式共有ccc2 1004552 555(种)所以至少有2种假货在内的不同取法有2 555种(5)解法一(间接法)：选取3种商品的总数为c，因此选取方式共有cc6 5454556 090(种)所以至多有2种假货在内的不同取法有6 090种解法二(直接法)：选取方式共有ccccc6 090(种)所以至多有2种假货在内的不同取法有6 090种名师点津组合问题常有的2类题型(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂

9、时，逆向思维，间接求解命题角度一整体均分问题【例1】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()a12种b10种c9种d8种解析将4名学生均分为2个小组共有3(种)分法；将2个小组的同学分给2名教师共有a2(种)分法，最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有a2(种)分法故不同的安排方案共有32212(种)答案a命题角度二部分等分问题【例2】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()a12种b18种c24种d36种解析因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项

10、，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作先把4项工作分成3组，即2，1，1，有6(种)，再分配给3个人，有a6(种)，所以不同的安排方式共有6636(种)答案d命题角度三不等分问题【例3】若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有_种不同的分法解析将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有c种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有c种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有c种取法根据分步乘法计数原理，共有ccc60(种)取法再将这3组教师分配到3所中学，有a6(种)分法，故共有606360(种)不同的分法答案360名师点津分

11、组分配问题的三种类型及求解策略类型求解策略整体均分解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以a(n为均分的组数)，避免重复计数部分均分解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数不等分组只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数|跟踪训练|在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别和方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a，b，c三家酒店选择一家，且这三家都至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共

12、有()a96种b124种c130种d150种解析：选d五个参会国要在a，b，c三家酒店选择一家，且这三家都至少有一个参会国入住，可以把5个参会国分成三组，一种是按照1，1，3分；另一种是按照1，2，2分当按照1，1，3来分时，共有a60(种)；当按照1，2，2来分时，共有a90(种)根据分类加法计数原理，知共有6090150(种)，故选d【例】(2019届山西太原模拟)如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左、右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无珠)，记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c.例如，图中上档的数字和a9.若a，b，c成等差数

13、列，则不同的分珠计数法有_种解析根据题意知，a，b，c的取值范围都是区间7，14中的8个整数，故公差d的范围是区间3，3中的整数当公差d0时，有c8(种)；当公差d1时，b不取7和14，有2c12(种)；当公差d2时，b不取7，8，13，14，有2c8(种)；当公差d3时，b只能取10或11，有2c4(种)综上，共有8128432(种)不同的分珠计数法答案32名师点津排列、组合应用题常与数列、立体几何、解析几何等知识交汇命题，主要考查学生的逻辑推理能力，求解时注意两个原理的应用|跟踪训练|(2019届江西南昌模拟)已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的现用编号为1，2，3的三