最新导数及其应用专题复习资料

1、精品文档2017年导数及其应用专题复习知识点复习1、函数f x从x1到x2的平均变化率:X2 一 N精品文档2、 导数定义：f x在点Xo处的导数记作 y心。二f(X。)=|0卩f (Xo *X)一 f (X) ；3、 函数y = f X在点Xo处的导数的几何意义是曲线y = f X在点P x。，f Xo处的切线的斜率.4、常见函数的导数公式： C =0 ；(Xn)二 nxnJL :(si n x)二 cosx ；(cosx) - - si nx ；(ax) =ax| na ； (ex) = ex ；(log a x) :(In x)=丄xln ax5、导数运算法则：仁f X _g X 二 f

2、 X _g X .；2f x g x=f x g x f x g x .；f(x)l(3)0X)= fggY)-yg(%“o) Lg(x)6、在某个区间 a,b内，若f 0 ,则函数y二f x在这个区间内单调递增; 若X ：0，则函数y二f x在这个区间内单调递减.7、求解函数y二f (x)单调区间的步骤：(1)确定函数y = f(x)的定义域；(2)求导数y=f(x)；(3) 解不等式f(x) V，解集在定义域内的部分为增区间；(4) 解不等式f(x) ：0,解集在定义域内的部分为减区间.8求函数y二f x的极值的方法是：解方程 X =0 当f x0 = 0时：1如果在X0附近的左侧 X 0

3、，右侧f X 0，那么f X0是极大值；2如果在X0附近的左侧f x ：0，右侧X 0，那么f Xd是极小值.9、求解函数极值的一般步骤：(2)求函数的导数f (x)(1)确定函数的定义域(3) 求方程f (x)=0的根(4) 用方程fx)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格(5) 由f(x)在方程f x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况10、求函数y二f x在la,b 上的最大值与最小值的步骤是：1求函数y二f x在a,b内的极值；2将函数y二f x的各极值与端点处的函数值fa，f b比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.复习考点例题讲

4、解考点一：求导公式。1 3例1. f (x)是f(x) x 2x 1的导函数，贝y (-1)的值是。3解析：f x =x22，所以 f -1 =1 2 = 3答案：3考点二：导数的几何意义。1例2.已知函数y = f(x)的图象在点M ( 1 f ( 1处)的切线方程是y = x + 2 ,则2f(1 ) f (1 。1 15解析：因为k ，所以f 1 ，由切线过点 M(1, f (1)，可得点M的纵坐标为一，所以2 22,5,f 1 ，所以 f 1 f 1 A32答案：3例3.曲线y =x3 -2x2 -4x 2在点(1,-3)处的切线方程是 。解析：y=3x2-4x-4，点(1,-3)处切

5、线的斜率为k=3-4-4-5，所以设切线方程为y二-5x b ,将点(1, -3)带入切线方程可得 b =2,所以，过曲线上点(1, - 3)处的切线方程为：5x y _2 = 0答案：5x y - 2 =0点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。例4已知曲线C： y =x3 3x2 - 2x，直线I : y = kx，且直线l与曲线C相切于点x0, y0 x0 = 0 ,求直线I的方程及切点坐标。解析：；直线过原点，则k二西x0 =0。由点x,y在曲线C上，则y0 =x03 - 3x02 2x0，x.- 匹=x023x0+2。又y = 3x2 6x+2,二

6、在（X0,y ）处曲线C的切线斜率为 x2 2 2f x0=3x0-6x02，x0- 3x02 = 3x0-6x02，整理得：2x-3x= 0，3 311解得：x0或x0 = 0 （舍），此时，y0， k。所以，直线I的方程为y x，2844切点坐标是 i。，-3 。12 8丿答案：直线I的方程为y = -lx，切点坐标是 3,-34 12 8 丿点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。考点四：函数的单调性。.32例5已知f x二ax 3x -x 1在R上是减函数，求

7、a的取值范围。解析：函数f x的导数为f x =3ax2，6x-1。对于x R都有f x ： 0时，f x为减函数。由3ax2 +6x 1 0（xw R ）可得 户0，解得a 3。所以，当a 3时，函数占=36+12a v0f x对x R为减函数。( d V 8(1) 当 a = 3 时，f (x )= 3x3 +3x? x+1 = 3x 一 i + 一。3 丿 9由函数y =x3在R上的单调性，可知当 a =-3是，函数f X对R为减函数。(2) 当a -3时，函数f x在R上存在增区间。所以，当 a -3时，函数f x在R上不是 单调递减函数。综合(1)( 2)( 3)可知a乞-3。答案：

8、a乞-3点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。考点五：函数的极值。例6.设函数f (x) =2x3 3ax2，3bx 8c在x =1及x=2时取得极值。(1) 求a、b的值；(2) 若对于任意的0,3，都有f(x) ：c2成立，求c的取值范围。2解析：(1) f (x) =6x 6ax 3b，因为函数f (x)在x =1及x =2取得极值，则有 f(1) = 0，”6+6a+3b=0,f (2) =0 即，解得 a - -3, b =4。l24+12a+3b =0.(2)由(I)可知，f (x) =2x3 -9x2 12x 8c , f (x) =6x2

9、 -18x 12 =6(x -1)(x - 2)。当 x (01)时，f(x) 0 ；当 x (12)时，f (x) :：: 0 ；当 x (2,3)时，f (x) 0。所以，当 x=1 时，f(x)取得极大值f(1) = 5,8c，又f(0)=8c , f (3) =9 8c。则当x 0,3】时，f(x)的最大 值为f(3) =9 8c。因为对于任意的 x 1-0,31，有f (x) ： c2恒成立，所以 9 8c : c2，解得 c ： -1或c 9，因此c的取值范围为(-：，-1)U(9, ：)。答案：(1) a=3, b=4 ； ( 2) (-： ：，-1)U(9,：)。点评：本题考查

10、利用导数求函数的极值。求可导函数f x的极值步骤：求导数fx ；精品文档求f x =0的根；将f x =0的根在数轴上标出， 得出单调区间，由f x在各区间上取值 的正负可确定并求出函数 f x的极值。考点六：函数的最值。例7.已知a为实数,f(x=x2 _4取_a卜求导数f(x)；(2)若f( 0，求 f(x )在区间2,2】上的最大值和最小值。解析：(1) f x jux ax2 4x 4a ， f x =3x2 - 2ax - 4。1 2(2) f -1 =3 2a -4 = 0，a 。. f x i=3x2 - x - 4 =i3x - 4 x 12令 f x AO ,即 3x - 4

11、 x n-0，解得 x = 1 或 x = 4，则 f x 和 f x 在区间- 2,2 1上 随 x3的变化情况如下表:x-2(-2,-1)-123丿43阳13丿2f(x)+0一0+f(x)0增函数极大值减函数极小值增函数09 450 4 50f -1 = , f 一尸-一。所以，f x )在区间2,2上的最大值为 f 一 ，最小值为2 i3 丿2713 丿 27f -1 =9。2,24509答案：(1) f(x)=3x 2ax4 ； ( 2 )最大值为 f 一| = 一，最小值为 f(1) = 。13 丿272点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数f x在区间a,b 1上的最值，要先

12、求出函数f x在区间a,b上的极值，然后与 fa和f b进行比较，从而得出函数的最大最小值。考点七：导数的综合性问题。例8设函数f(x) =ax3 bx c (a = 0)为奇函数，其图象在点(1,f (1)处的切线与直线精品文档x6y-7=0垂直，导函数f(x)的最小值为-12。( 1)求a , b , c的值；(2)求函数f (x)的单调递增区间，并求函数f (x)在一1,3上的最大值和最小值。解析：(1)v f(x)为奇函数，二 f (-X)- - f (x)，即-ax3-bx c =-ax3-bx-c2 1二 c=0 , f(x) =3ax b 的最小值为-12，/. b = -12，

13、又直线 x-6y-7=0 的斜率为，6因此，f(1)=3a b = -6 , a =2, b = -12, c = 0 .(2) f (x) =2x3 -12x。 f (x) =6x2 -12 =6(x、2)(x -、2)，列表如下:x(oo, _yj)(近血,母)f(x)+00+f(x)增函数极大减函数极小增函数所以函数 f (x)的单调增区间是(一：，一.、2)和 C-2, ：)，: f(-1) = 10 , f(2)=-8-.2 , f (3) =18 , f(x)在-1,3上的最大值是f(3)=18，最小值是f(、 二-8、迈。答案：(1) a =2 , b=12, c=0 ; (2)

14、最大值是 f(3)=18，最小值是 f(-、2)=-8、2。点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能 力和运算能力。导数强化训练(一) 选择题x211.已知曲线y的一条切线的斜率为 一，则切点的横坐标为( A )42A . 1B . 2C. 3D . 4322曲线y =x -3x1在点(1, - 1 )处的切线方程为(B)A . y = 3x -4B. y = -3x 2 C. y = -4x 3 D. y = 4x -523.函数y =(x 1) (x -1)在x =1处的导数等于(D )精品文档A . 1C. 3 D. 44. 已知函数f(X)在

15、X =1处的导数为3,则f(X)的解析式可能为(A )2A. f (x) =(x -1)3(x -1)B. f(x)=2(x-1)2C. f (x) =2(x -1) D . f (x) = x-15. 函数f (x) = x3 - ax2 3x -9，已知f (x)在x = -3时取得极值，则a= ( D )(A ) 2( B) 3(C) 4( D) 5326. 函数f(x)=x -3x1是减函数的区间为(D )(A)(2, ：) (B) (-：,2) (C)(-：,0) (D)(0,2)7. 若函数f X = x2 bx c的图象的顶点在第四象限，则函数 f x的图象是( A )A . A

16、B . 1C . 2D . 4XADD . x精品文档10.三次函数f Xi；二ax3 x在内是增函数，贝y(C . a =11D . a 二一311.在函数y =x3 -8x的图象上，其切线的倾斜角小于一的点中，坐标为整数的点的个数是412.函数f (X)的定义域为开区间 区间(a,b)内有极小值点(AA . 1 个B .C . 3 个D .f (x)在开(二) 填空题13. 曲线y =x3在点(1,1处的切线与x轴、直线x = 2所围成的三角形的面积为 。1 3414. 已知曲线y=-X3+，则过点P(2,4) “改为在点P(2,4) ”的切线方程是3 315. 已知f(n)(x)是对函数

17、f (x)连续进行 n次求导，若 f(x) =x6 x5，对于任意 x R，都有f(n) (x) =0，则n的最少值为 。16. 某公司一年购买某种货物 400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为 4X万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则X二吨.(三) 解答题17. 已知函数f x = x3 ax2 bx c，当x - -1时，取得极大值7；当x = 3时，取得极小值求 这个极小值及a,b,c的值.3218. 已知函数 f(x) - -x 3x 9x a.(1) 求f (x)的单调减区间；(2) 若f(X)在区间2, 2.上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.

18、3219. 设t = 0，点P (t, 0)是函数f(x) =x - ax与g(x) =bx c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线。(1) 用 t 表示 a,b,c ;(2) 若函数y = f(x) - g(x)在(1, 3) 上单调递减，求t的取值范围。20. 设函数 f x = x3 bx2 cx(x，R)，已知 g(x) = f (x) - f (x)是奇函数。(1)求b、c的值。精品文档(2)求g(x)的单调区间与极值。2： 1，问该长方体若I在点A处穿过函数A时，从l的一侧进入另21.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 的长、宽

19、、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？1 3 1 222.已知函数f(x) x ax bx在区间-1,1)， (1,3内各有一个极值点32(1)求a2 -4b的最大值；(1) 当a2-4b=8时，设函数 y=f(x)在点A(1, f (1)处的切线为I，y二f(x)的图象(即动点在点 A附近沿曲线y = f(x)运动，经过点一侧），求函数 f （x）的表达式.强化训练答案：1.A2.B3.D4.A5.D6.D7.A8.A9.A10.A11.D12.A（四）填空题813.14. y 4x 4=015. 716. 203（五）解答题. 217. 解：f x = 3x 2ax b。2据题意，1

20、, 3是方程3x 2ax b = 0的两个根，由韦达定理得-1 3竺3-1 3我3/. f x 二 x3 -3x2 -9x c- f -1 =7，二 c =2极小值 f 3 =33 -3 32 -9 3 2 = 25精品文档二极小值为25, a = 3,b 二9 , c 二 2。18. 解：(1) f (x) - -3x6x 9.令 f (x) ： 0,解得 x ： -1 或x 3,所以函数f(x)的单调递减区间为(_oa,_1),(3,+M).(2)因为 f ( 2) =8 12 18 a = 2 a, f (2) = 8 12 18 a = 22 a,所以f(2) f( -2).因为在(1

21、, 3)上 f (x) 0，所以f(x)在1, 2 上单调递增，又由于f (x)在 2 , 1上单调递减，因此f(2)和f (-1)分别是f (x)在区间-2,2 上的最大值和最小值.于是有 22 a =20，解得 a - -2.故 f (x) = -x3 3x2 9x - 2.因此 f ( -1) = 13 - 9 - 2 二-7,即函数f (x)在区间L 2,2 1上的最小值为7.19.解：(1 )因为函数f (x) , g(x)的图象都过点(t , 0)，所以f(t)=0,322即 t at = 0.因为 t = 0,所以 a = -t . g(t) = 0,即bt c 二 0,所以 c

22、 二 ab. 又因为f(x) , g(x)在点(t, o)处有相同的切线，所以f (t)二g (t).而 f (x)二 3x2 a, g (x)二 2bx,所以 3t2 a = 2bt.将 a -t2代入上式得 b =t.因此 c = ab - -t3.故a -t2, b = t , c -t3.(2) y = f (x) - g(x) = x3 -t2x -tx2 t3, y = 3x2 - 2tx - t2 二(3x t)(x -t).当 y = (3x - t)(x _t) ： 0时，函数 y = f (x) - g(x)单调递减.由 y： 0 ,若 t 0,则一 -:x : t ；若

23、t : 0,则t x -.33由题意，函数y = f (x) _ g(x)在(1, 3) 上单调递减，则(一 1,3)(-丄,t)或(-1,3)(t, L).所以 t _3或一 -_3 即 t 空 一 9或 t _3.333又当一 9 :： t ： 3时，函数 y = f(x) -g(x) 在(1，3)上单调递减.所以t的取值范围为(一比,-9 - 3,-).32220. 解：(1)v f x = x bx cx，二 f x = 3x 2bx c。从而32232g(x)二 f (x)f (x)二 x bx cx(3x 2bx c) = x(b3)x(c2b)x-c是一个奇函数,所以g(0) 0

24、得c =0，由奇函数定义得b=3 ；32由(i)知g(x)二x 6x，从而g (x) = 3x -6，由此可知，(2)和(、2,:-)是函数 g(x) 是单调递增区间；(-.2,是函数g(x)是单调递减区间；g(x)在x - - 2时，取得极大值，极大值为 4、2， g(x)在x二、2时，取得极小值，极小值为 -4、2。21. 解：设长方体的宽为 x (m)，则长为2x (m)，高为18 -12x3h4.5 -3x(m)0 xv4 I 2丿故长方体的体积为(3、V(x )= 2x2 (4.5-3x )=9x2-6x3(m3 )0cxv i2丿从而 V (x) =18x -18x2(4.5 -

25、3x) =18x(1 - x).令V x = 0，解得x = 0 (舍去)或x = 1，因此x =1.3当 0 ： x ： 1 时，V x 0 ；当 1 ： x 时，V x ： 0，2故在X =1处V x取得极大值，并且这个极大值就是V x的最大值。从而最大体积V二V xi； = 9 12 _6 13 m3，此时长方体的长为 2 m，高为1.5 m.答：当长方体的长为 2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为 3m。1 31222.解：(1)因为函数f(x)x3ax2 bx在区间-1,1), (1,3内分别有一个极值点，所以322f (x) =x ax b =0 在-1,1)，(1,3内分别有一个实根，设两实根为xn x2 (禺：:x2)，则x2 -咅=a2 -4b，且0 ： x2 -捲 4 于是0 a 4b w 4 , 0 : a - 4b w 16 ,且当 x = 1, x = 3，即 a 2 , b = 3 时等号成立.故