苏科版八年级数学上册3.2 勾股定理的逆定理（含解析）

1、3.2 勾股定理的逆定理一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A4，6，8B6，8，9C7，24，25D5，11，122由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是（）AA：B：C3：4：5BABCCa1，b2，cD（b+c）（bc）a23下列各组数不能构成直角三角形的是（）A3，4，5B6，8，10C32，42，52D5，12，134满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（）A三角形的三边长满足关系a+bcB三角形的三边长之比2：3：4C三角形的三边长分别为5、12、13D三角形的一边长

2、等于另一边长的一半5D是ABC中BC边上的一点，若AC2CD2AD2，则AD是（）ABC边上的中线BBAC的角平分线CBC边上的高线DAC边上的高线6下列各组数中，不是勾股数的是（）A3，4，6B7，24，25C6，8，10D9，12，157已知ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，下列条件不能判断ABC是直角三角形的是（）AA：B：C3：4：5Ba：b：c7：24：25Ca2b2c2DACB8 a、b、c为ABC三边，下列条件不能判断它是直角三角形的是（）Aa2c2b2BA：B：C3：4：5Ca3，b4，c5Da5k，b12k，c13k（k为正整数）二、填空题（本大题共8小题，每小题3

3、分，共24分请把答案直接填写在横线上）9ABC中，三边之比为3：4：5，且最长边为10m，则ABC周长为cm10如图，在3x3的网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C都是小正方形的顶点，则ABC的度数为11如图，已知四边形ABCD中，ABC90，AB3，BC4，CD13，DA12，则四边形ABCD的面积等于12已知等腰直角ABC，ABC90，ABBC4，平面内有一点D，连接CD、AD，若CD2，AD6，则BCD13若一个三角形的三边长分别为1.5、2、2.5，则这个三角形最长边上的中线为14三角形的三边a，b，c满足（ab）2c22ab，则这个三角形是15若ABC三边之比为5：12：13

4、，则ABC是三角形16如图，ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当ts时，PBQ为直角三角形三、解答题（本大题共5小题，共52分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17如图，在四边形ABCD中，已知AB1，BC2，CD2，AD3，且ABBC，试说明：ACCD18在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，顶点在格点上的三角形叫做格点三角形，如格点三角形ABC（1）ABC的面积为；（2）ABC的形状为；（3）根据

5、图中标示的各点（A、B、C、D、E、F）位置，与ABC全等的格点三角形是19古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a2m，bm21，cm2+1，那么以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是什么样的三角形？请说明理由20在四边形ABCD中，ACDC，AD13cm，DC12cm，AB3cm，BC4cm，求四边形ABCD的面积21【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的的直角边称为“股”，斜边称为“弦”据周髀算经记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数【应用举例】观察3，4，5；5，

6、12，13；7，24，25；可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾为3时，股4，弦5；当勾为5时，股12，弦13；当勾为7时，股24，弦25请仿照上面三组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾用n（n3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股，弦【问题解决】（2）古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式具体表述如下：如果a2m，bm21，cm2+1（m为大于1的整数），则a、b、c为勾股数请你证明柏拉图公式的正确性；（3）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用2a2+2a+1（a为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个

7、数的表达式分别是多少？答案与解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（2020春海安市期中）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A4，6，8B6，8，9C7，24，25D5，11，12【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可【解析】A、62+4282，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；B、62+8292，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；C、72+242252，可以组成直角三角形，故此选项符合题意；D、52+112122，不可以

8、组成直角三角形，故此选项不符合题意；故选：C2（2019秋江苏省常熟市期中）由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是（）AA：B：C3：4：5BABCCa1，b2，cD（b+c）（bc）a2【分析】根据直角三角形的定义，以及勾股定理的逆定理判断即可【解析】A、由题意：C18075，ABC是锐角三角形，本选项符合题意B、ABC，A+B+C180，A90，ABC是直角三角形，本选项不符合题意C、a1，b2，c，a2+b2c2，C90，ABC是直角三角形，本选项不符合题意D、（b+c）（bc）a2，b2c2a2，b2a2+c2，ABC是直角三角形，本选项不符合题意故选：A3（2019秋江苏省海陵区校

9、级期中）下列各组数不能构成直角三角形的是（）A3，4，5B6，8，10C32，42，52D5，12，13【分析】欲判断能否构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方【解析】A、32+4252，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；B、62+82102，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C、因为329，4216，5225，92+162252，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；D、52+122202，能构成直角三角形，故此选项不符合题意故选：C4（2019秋江苏省沭阳县期中）满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（）A三角形的三边长满足关系a+bcB三角形的三边长之比2：

10、3：4C三角形的三边长分别为5、12、13D三角形的一边长等于另一边长的一半【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可【解析】A、三角形的三边满足关系a+bc，不符合勾股定理的逆定理，故本选项错误；B、22+32134216，此三角形不是直角三角形，故本选项错误；C、52+122132，此三角形是直角三角形，故本选项正确；D、三角形的一边等于另一边的一半无法判断三角形的形状，故本选项错误故选：C5（2019秋江苏省苏州期中）D是ABC中BC边上的一点，若AC2CD2AD2，则AD是（）ABC边上的中线BBAC的角平分线CBC边上的高线DAC边上的高线【分析】根据题意画出图形，再根据已

11、知条件判断出ACD的形状，再根据高线的定义解答即可【解析】如图所示：AC2CD2AD2，ACD是直角三角形，ADBC，则AD是BC边上的高线，故选：C6（2019秋江苏省阜宁县期中）下列各组数中，不是勾股数的是（）A3，4，6B7，24，25C6，8，10D9，12，15【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方【解析】A、32+4262，不是勾股数，此选项正确；B、72+242252，是勾股数，此选项错误；C、62+82102，是勾股数，此选项错误；D、92+122152，是勾股数，此选项错误故选：A7（2019秋江苏省镇江期中）已知ABC

12、中，a、b、c分别是A、B、C的对边，下列条件不能判断ABC是直角三角形的是（）AA：B：C3：4：5Ba：b：c7：24：25Ca2b2c2DACB【分析】根据三角形内角和定理可得A、D是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出B、C是否是直角三角形【解析】A、A：B：C3：4：5，C18075，故不能判定ABC是直角三角形；B、72+242252，ABC为直角三角形；C、a2b2c2，b2c2+a2，故ABC为直角三角形；D、ACB，且A+B+C180，C90，故ABC为直角三角形故选：A8（2019秋江苏省泰兴市期中）a、b、c为ABC三边，下列条件不能判断它是直角三角形的是（）Aa2

13、c2b2BA：B：C3：4：5Ca3，b4，c5Da5k，b12k，c13k（k为正整数）【分析】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2c2，那么这个三角形就是直角三角形【解析】A若a2c2b2，则ABC为直角三角形，故本选项不合题意；B若A：B：C3：4：5，则最大角C90，ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；C若a3，b4，c5，则ABC为直角三角形，故本选项不合题意；D若a5k，b12k，c13k（k为正整数），则a2+b2c2，那么这个三角形就是直角三角形，故本选项不合题意故选：B二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分请把答案直接填写在横线上）9（2019秋江苏省连云

14、港期中）ABC中，三边之比为3：4：5，且最长边为10m，则ABC周长为2400cm【分析】首先根据三边之比设出未知数，然后可确定各边长，再计算出周长即可【解析】设ABC三边分别是3xm、4xm、5xm，最长边为10m，5x10，解得：x2，3x6，4x8，6+8+1024（m）2400cm，故答案为：240010（2019秋江苏省镇江期中）如图，在3x3的网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C都是小正方形的顶点，则ABC的度数为45【分析】利用勾股定理的逆定理证明ACB为直角三角形即可得到ABC的度数【解析】由勾股定理得：ACBC，AB，AC2+BC2AB210，ABC为等腰直角三角形

15、，ABC45故答案为：4511（2019秋江苏省金坛区期中）如图，已知四边形ABCD中，ABC90，AB3，BC4，CD13，DA12，则四边形ABCD的面积等于36【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出ACD的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可【解析】连接AC，ABC90，AB3，BC4，AC5，在ACD中，AC2+CD225+144169AD2，ACD是直角三角形，S四边形ABCDABBCACCD3451236故答案为：3612（2019秋江苏省仪征市期中）已知等腰直角ABC，ABC90，ABBC4，平面内有一点D，连接CD、AD，若CD2，AD6

16、，则BCD135或45【分析】根据勾股定理的逆定理证明ACD为直角三角形，求出ACD90，再求出ACB45问题即可解决【解析】ABC90，ABBC4，AC242+4232，而CD24，AD26236，AD2AC2+CD2，ACD为直角三角形，ACD90；ABC为等腰直角三角形，ACB45，BCD90+45135；BCD904545故BCD135或45故答案为：135或4513（2019秋江苏省南京期中）若一个三角形的三边长分别为1.5、2、2.5，则这个三角形最长边上的中线为【分析】根据勾股定理的逆定理求出三角形是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出即可【解析】三角形的三边长分别

17、为1.5、2、2.5，1.52+222.52，此三角形是直角三角形，斜边长为2.5，这个三角形最长边上的中线为，故答案为：14（2019秋江苏省金坛区期中）三角形的三边a，b，c满足（ab）2c22ab，则这个三角形是直角三角形【分析】首先对等式进行变形得到a2+b2c2，然后依据勾股定理的逆定理进行判断即可【解析】（ab）2c22ab，a22ab+b2c22ab，a2+b2c2ABC是直角三角形故答案为直角三角形15（2019秋江苏省淮安区期中）若ABC三边之比为5：12：13，则ABC是直角三角形【分析】由两小边的平方和等于最长边的平方可得ABC是直角三角形【解析】设ABC三边分别为5x，

18、12x，13x，（5x）2+（12x）2（13x）2，ABC是直角三角形故答案为：直角16（2019秋江苏省连云港期中）如图，ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t或s时，PBQ为直角三角形【分析】先分别表示出BP，BQ的值，当BQP和BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论【解析】ABC是等边三角形，ABBC6cm，ABC60，当PQB90时，BPQ30，BP2BQBP62x，BQx，62x2x，解得x；当QPB90

19、时，PQB30，BQ2PB，x2（62x），解得x答：或秒时，BPQ是直角三角形故答案为或三、解答题（本大题共5小题，共52分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（2019秋邳州市校级月考）如图，在四边形ABCD中，已知AB1，BC2，CD2，AD3，且ABBC，试说明：ACCD【分析】在ABC中，根据勾股定理求出AC2的值，再在ACD中根据勾股定理的逆定理，判断出ACCD【解答】证明：在ABC中ABBC，根据勾股定理：AC2AB2+BC212+225，在ACD中，AC2+CD25+49，AD29，AC2+CD2AD2，根据勾股定理的逆定理，ACD为直角三角形，ACCD18（2019

20、秋江苏省新吴区期中）在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，顶点在格点上的三角形叫做格点三角形，如格点三角形ABC（1）ABC的面积为2；（2）ABC的形状为直角三角形；（3）根据图中标示的各点（A、B、C、D、E、F）位置，与ABC全等的格点三角形是DBC，DAB，DAC【分析】（1）根据长方形和三角形的面积公式求出即可；（2）根据勾股定理求出AC、BC、AB的长，再根据勾股定理的逆定理判断即可；（3）根据全等三角形的判定定理得出即可【解析】（1）ABC的面积为：222，故答案为：2；（2）由勾股定理得：AC2，BC，AB，所以AC2+BC2AB2，即ACB90，即ABC

21、是直角三角形，故答案为：直角三角形；（3）与ABC全等的格点三角形是DBC，DAB，DAC，故答案为：DBC，DAB，DAC19（2020春海安市期中）古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a2m，bm21，cm2+1，那么以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是什么样的三角形？请说明理由【分析】根据m表示大于1的整数，a2m，bm21，cm2+1，然后即可得到a2+b2的值，c2的值，再根据勾股定理的逆定理即可判断以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是什么样的三角形，本题得以解决【解析】以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是直角三角形，理由：m表示大于1的整数，

22、a2m，bm21，cm2+1，ca，a2+b2（2m）2+（m21）24m2+m42m2+1（m2+1）2，c2（m2+1）2，a2+b2c2，以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是直角三角形20（2019秋江苏省阜宁县期中）在四边形ABCD中，ACDC，AD13cm，DC12cm，AB3cm，BC4cm，求四边形ABCD的面积【分析】利用勾股定理求出AC的长度，在ABC中根据勾股定理逆定理可以得出是直角三角形，根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半计算即可求解【解析】在RtACD中，AC5cm，在ABC中，AB2+BC29+1625，AC25225，AB2+BC2AC2，ABC是直角三角形，四边形ABCD的面积ABBCACCD3451236cm221（2019秋江苏省兴化市期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“