有限元基础课程学习总结

1、有限元基础理论学习总结报告中国矿业大学（北京）14级硕士 王 涛通过课上和课下的学习，对有限元基础理论有了一定的了解和认识。经过学习，更加深刻的理解了有限元的离散、单元类型、插值函数构造和等参变换等知识，现对有限元的基本理论和用法做了如下学习和报告。已经发展的偏微分方程数值分析方法可以分为两大类。一类是有限差分法，其特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解，求解步骤归纳为：首先将求解域划分为网格，然后在网格的节点上用差分方程来近似微分方程。借助于有限差分法能够求解相当复杂的问题，特别是求解方程建立于固结在空间的坐标系（Euler坐标系）的流体力学问题，有限差分法有自身的优势，因此在流体力学

2、领域内，至今仍占支配地位。但是对于固体结构问题，由于方程通常建立于固结的物体上的坐标系（Lagrange坐标系）和形状复杂，另一类数值分析方法有限元法则更为合适。有限差分法： 特点：以差分方程近似微分方程，直接数值求解原问题的微分方程，在流体力学，岩土力学领域占重要地位。有限元法： 特点：区别于有限差分法，即不是直接从问题的微分方程和相应的定解条件出发，而是从等效的积分形式出发，数值求解原问题的等效积分方程。 基本思想：1 将求解域离散为有限个子域（单元）的集合 2 分片逼近待求函数 分析过程：1 单元特性分析，单元节点位移与节点力之间的关系 2 系统特性分析，将单元刚度矩阵集成整体刚度方程

3、1. 有限元法的理论基础加权余量法和变分原理 1.1 微分方程的等效积分形式和加权余量法1.1.1 微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件形式提出来的，可以一般地表示为未知函数应满足微分方程组 （在内） （1.1.1）域可以是体积域、面积域等。同时未知函数还应满足边界条件 （在内） （1.1.2）是域的边界。由于微分方程组（1.1.1）在域中每一点都必须为零，因此就有 （1.1.3）其中 是函数向量，它是一组和微分方程个数相等的任意函数。（1.1.3）式与微分方程组（1.1.1）式是完全等效的积分形式。同理，加入边界条件（1.1.2）也同时

4、在边界上每一点都得到满足，则其等效积分形式（微分方程）为 (1.1.5)对（1.1.5）分部积分得到等到另一种形式 (1.1.6)其中C、D、E、F是微分算子，它们中包含的阶数较（1.1.5）式的A低，这样对函数只需要求较低阶的连续性就可以了。在（1.1.6）式中降低的连续性要求是以提高和的连续性要求为代价的。这种通过适当提高对任意函数和的连续性要求，以降低对微分方程场函数的连续性要求所建立的等效积分形式称为微分方程的等效积分“弱”形式。1.1.2 基于等效积分形式的近似方法加权余量法对微分方程（1.1.1）式和边界条件（1.1.2）式所表达的物理问题，假设未知场函数可以采用近似函数来表示。近

5、似函数是一族带有待定参数的已知函数，一般形式是 （1.1.7）其中是待定参数；是称之为试探函数（或基函数、形函数）的已知函数，它取自完全的函数序列，是线性独立的。显然，近似解不能精确满足微分方程（1.1.1）式和全部边界条件（1.1.2）式，它们将产生残差和，即;。残差和亦称为余量。在（1.1.5）式中用n个规定的函数来代替任意函数和，即 ； （1.1.8）和称为权函数。对应等效积分“弱”形式（1.1.6）式，同样可以得到它的近似形式为 （1.1.9）采用使余量的加权积分为零来求得微分方程近似解得方法称为加权余量法。对于权函数不同的选择可分为配点法，子域法，最小二乘法，力矩法和伽辽金法。1.2

6、 变分原理如果微分方程具有线性和自伴随的性质，则不仅可以建立它的等效积分形式，并利用加权余量法求其近似解，还可以建立与之相等效的变分原理，并进而得到基于它的另一种近似求解方法，即里兹方法。1.2.1 线性、自伴随微分方程变分原理的建立1. 线性、自伴随微分算子若有微分方程 （在域内） （1.2.1）其中微分算子具有如下性质 （1.2.2）则称为线性算子，方程（1.2.1）为线性微分方程。其中和是两个常数。现定义和任意函数的内积为 （1.2.3）对上式进行分部积分直至的倒数消失，这样就可以得到转化后的内积并伴随有边界项。结果可表示如下： （1.2.4）表示在的边界上由和及其导数组成的积分项。称为

7、的伴随算子。若=，则称算子是自伴随的。微分方程（1.2.1）为线性、自伴随的微分方程。2. 泛函的构造原问题的微分方程和边界条件表达如下 （在内） （在上） （1.2.5）和以上微分方程及边界条件相等效的伽辽金提法可表示如下 （1.2.6）利用算子是线性、自伴随的，就可得到原问题的变分原理 （1.2.7）其中是原问题的泛函，以为内此泛函中（包含的导数）的最高次为二次，所以称为二次泛函。原问题的微分方程和边界条件的等效积分的伽辽金提法等效于它的变分原理，即原问题的微分方程和边界条件等效于泛函的变分等于零，亦即变分取驻值。1.3 弹性力学的基本方程和变分原理1.3.1弹性力学基本方程的张量形式1.

8、 平衡方程（在内） （1.3.1）2. 几何方程应力-位移关系（在内） （1.3.2）3. 物理方程应力-应变关系 （在内） （1.3.3）4. 力的边界条件 （在内） （1.3.4） 其中 ，是外界法线的三个方向余弦。5. 位移边界条件 （在上） （1.3.5）6. 应变能和余能单位体积应变能 （1.3.6）单位体积余能 （1.3.7） 1.3.2 平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式虚功原理虚功原理是虚位移原理和虚应力原理的总称。作为弹性力学微分方程的等效积分形式，虚位移原理与虚应力原理分别是平衡方程与力的边界条件和几何方程与位移边界条件的等效积分形式。在导出它们的过程中都未涉及到物理方

9、程，所以它们不仅可以用于线弹性问题，而且可以用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。将物理方程引入虚位移原理和虚应力原理可以分别导出最小位能原理和最小余能原理。它们本质上和等效积分的伽辽金“弱”形式相一致。这是建立弹性力学有限元方程的理论基础。弹性力学最小位能原理和最小余能原理都属于自然变分原理。2 弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式通过弹性力学变分原理建立弹性力学问题有限元方法表达格式的基本步骤。最小位能原理的未知场变量是位移，以节点位移为基本未知量，并以最小位能原理为基础建立有限单元为位移元。它是有限元方法中应用最为普遍的单元。对于一个力学或物理问题，在建立其数学模型以后，用有限元方

10、法对它进行分析的首要步骤是选择单元形式。平面问题3节点三角形单元是有限元方法最早采用，而且至今仍经常采用的单元形式。以它作为典型，讨论如何应用广义坐标建立单元位移模式与位移插值函数，以及如何根据最小位能原理建立有限元求解方程的原理、方法与步骤，并进而引出弹性力学问题有限元方法的一般表达式。2.1 弹性力学平面问题的有限元格式2.1.1 单元位移模式及插值函数的构造 xy0umvmuiviujvjijm 图2.1 3节点三角形单元1. 单元的位移模式和广义坐标在有限元方法中单元的位移模式或称位移函数一般采用多项式作为近似函数，因为多项式运算简便，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段光滑的函数曲线

11、。多项式的选取应有低次到高次。3节点三角形单元位移模式选取一次多项式 u = b1 + b2x + b3y v = b4 + b5x + b6y （2.1.1）其中是待定系数，称之为广义坐标。6个广义坐标可由单元的6个节点位移来表示。在（2.1.1）的1式中带入节点的坐标可得到节点在方向的位移，同理可得和。它们表示为 （2.1.2）2. 位移插值函数将求得的广义坐标代入（2.1.1），可将位移函数表示成节点位移的函数，即 （2.1.3）其中 （2.1.4），称为单元的插值函数或形函数，对于当前情况，它是坐标的一次函数，其中的是常数，取决于单元的3个节点坐标。 2.2.2 利用最小位能原理建立有

12、限元方程对于离散模型，系统总位能的离散公式 （2.2.1）将结构总位能的各项矩阵表达成各个单元总位能的各对应项矩阵之和，隐含着要求单元各项矩阵的阶数（即单元的节点自由度数）和结构各项矩阵的阶数（即结构的节点自由度数）相同。为此需要引入单元节点自由度和结构节点自由度的转换矩阵G，从而将单元节点位移列阵用结构结点位移列阵表示，即 （2.2.2） 则离散形式的总位能可表示为 （2.2.3）由于离散形式的总位能的未知变量是结构的结点位移，根据变分原理，泛函取驻值的条件是它的一次变分为零，d P p0，这样就得到有限元的求解方程 （2.2.4）其中 （2.2.5）和分别称之为结构整体刚度矩阵和结构结点载

13、荷列阵。它们都是有单元敢赌矩阵和单元等效结点载荷列阵集合而成。需要注意，将单元刚度矩阵和单元等效结点载荷列阵集成为结构刚度矩阵和结构等效载荷列阵时，实际执行的并不是如（2.2.5）式所示需通过转换矩阵G的运算，而是将单元矩阵或列阵的元素直接“对号入座”，叠加到结构矩阵或列阵而成。以上表述的是基于弹性力学最小位能原理形成的有限元求解方程的一般原理。 2.2.3 引入位移边界条件最小位能变分原理是具有附加条件的变分原理，它要求场函数满足几何方程和位移边界条件。现在离散模型的近似场函数在单元内部满足几何方程，因此由离散模型近似的连续体内几何方程也是满足的。但是在选择场函数的试探函数（多项式）时，却没

14、有提出在边界上满足位移边界条件的要求，因此必须将这个条件引入有限元方程，使之得到满足。可以引入边界条件的方法有直接代入法、对角元素改1法和对角元素乘大数法。直接代入法要重新组合方程，组成的新方程阶数降低了，但结点位移的顺序性已被破坏，这给编制程序带来了一些麻烦；对角元素改1法引入强制边界条件比较简单，不改变原来方程的阶数和结点未知量的顺序编号。但这种方法只能用于给定零位移；对角元素乘大数法使用简单，对任何给定位移（零值或非零值）都适用。采用这种方法引入强制边界条件时方程阶数不变，结点位移顺序不变，编制程序十分方便，因此在有限元法中经常采用。2.3 广义坐标有限元法一般格式 2.3.1 广义坐标

15、有限元位移模式的选择和插值函数的构造1. 选择广义坐标有限元位移模式的一般原则（1）广义坐标的个数应与单元结点自由度数相等，否则待定广义坐标b无法以单元结点位移来表示。例如，3结点三角形单元有6个自由度，因此其广义坐标个数只能是6，每个方向3个。（2）多项式中常数项和坐标的一次项必须完备，目的是确保所选位移模式能反映单元的刚体位移和常应变特性。 （3）多项式选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式。对于平面问题： 零次完全多项式： x0，y0 一次完全多项式： x, y 二次完全多项式： x2, xy, y2 三次完全多项式： x3, x2y, xy2, y3 若由于项数限制不能选取完全多项式时

16、，选择的多项式应具有坐标对称性。且一个方向的次数不应超过完全多项式的次数。如二次：xy；三次：x2y，xy2。2. 建立广义坐标有限元位移插值函数的一般步骤（1）假设位移模式；（2）将各结点坐标代入，得到关于广义坐标的线性方程组，从而求出广义坐标；（3）将广义坐标b回代入一般位移模式中得到由单元结点位移列阵所表示的位移模式；（4）由位移模式，由矩阵形式的几何方程，求导数可得到应变矩阵B，即ae=（5）由矩阵形式的物理方程，则弹性矩阵乘以应变向量，得。2.3.2 弹性力学问题有限元分析的执行步骤在根据问题的类型和性质选定了单元的形式，并构造了它的插值函数以后，可按以下步骤对问题进行有限元分析。（

17、1）对结构进行离散。按问题的几何特点和精度要求等因素划分单元并形成网格，既将原来的连续体离散为在结点处互相联结的有限单元组合体。（2）形成单元的刚度矩阵和等效结点载荷列阵。单元刚度矩阵的一般形式为 （2.3.1）单元等效结点载荷的一般形式为 （3）集成结构的刚度矩阵和等效结点载荷列阵 （2.3.2）其中是直接作用于结点上的集中力。（4）引入强制边界条件（给定位移）。（5）求解有限元方程，得到结点位移。 （2.3.3）（6）计算单元应变和应力。（7）进行必要的后处理。2.4 有限元解的性质和收敛准则2.4.1 有限元解得收敛准则有限元法作为求解微分方程的一种数值方法可以认为是里兹法的一种特殊形式

18、，不同之处在于有限元法的试探函数是定义于单元（子域）而不是全域。因此有限元解的收敛性可以与里兹法的收敛性对比进行讨论。里兹法的收敛条件是要求试探函数具有完备性和连续性，即如果试探函数满足完备性和连续性要求，当试探函数的项数时，则里兹法的近似解将趋于微分方程的精确解。现在要研究有限元解的收敛性。在有限元法中，场函数的总体泛函是单元泛函集成的，如果采用完全多项式（无穷多项）作为单元的插值函数，则有限元解在一个有限尺寸的单元内可以精确地和精确解一致。但是实际上有限元的试探函数只能取有限项多项式，因此有限元解只能是精确解的一个近似解答。有限元解的收敛准则需要回答的是，在什么条件下当单元尺寸趋于零时，有

19、限元趋于精确解。下面仍以含有一个待求标量场函数为例，微分方程是 （2.4.1）相应的泛函是 （2.4.2）假定泛函中包含和它的直至m阶的各阶导数是非零的，则近似函数至少必须是m次多项式。若取p次完全多项式为试探函数，则必须满足。假设仅是x的函数，则及其各阶导数在一个单元内的表达式为： （2.4.3） 由上式可见，因为是p次完全多项式，所以它的直至m阶导数的表达式中都包含有常数项。当单元尺寸趋于零时，在每一单元内及其m阶导数将趋于精确解，即趋于常数。因此，每一个单元的泛函有可能趋于它的精确解。如果试探函数还满足连续性要求，那么整个系统的泛函将趋于它的精确解。即解是收敛的。收敛准则：准则1完备性要

20、求。如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次多项式。或者说试探函数中必须包括本身和直至m阶导数为常数的项。当单元的插值函数满足上述要求时，称这样的单元是完备的。准则2协调性要求。如果出现在泛函中的最高阶导数是m阶，则试探函数在单元交界面上必须具有连续性，即在相邻单元的交界面上函数应有直至m-1阶的连续导数。当单元的插值函数满足上述要求时，称这样的单元是协调的。当单元为完备的协调单元，则有限元解收敛，即细分单元其解趋于精确解。2.4.2 收敛准则的物理意义在平面问题中，泛函中出现的是位移u和v的一次导数，即应变，因此。收敛准则1要求插值

21、函数或位移函数至少是x,y的一次完全多项式。我们知道位移及其一阶导数为常数的项是代表与单元的刚体位移和常应变状态相应的位移模式。实际分析中，各单元的变形往往包含着刚体位移，同时单元尺寸趋于无穷小时各单元的应变也趋于常应变。所以完备性要求由插值函数所构成的有限元解必须能反映单元的刚体位移和常应变状态。若不能满足上述要求，那么赋予结点以单元刚体位移（零应变）或常应变的位移模式时，在单元内部将产生非零或非常值的应变，这样有限元解将不可能收敛于精确解。应该指出，在Bazeley等人开始提出上述收敛准则时，是要求在单元尺寸趋于零的极限情况下满足完备性收敛准则，如果将此收敛准则用于有限尺寸时，将使解的精度

22、得到改进。对平面问题，协调性要求是连续性，即要求位移函数u,v的零阶导数，也就是位移函数自身在单元交界面上是连续的。如果在交界面上位移不连续表现为当结构变形时将在相邻单元间产生缝隙或重叠，这意味着将产生无限大的应变，这时应该将发生在交界面上的附加应变能补充到系统的应变能中去。但在建立泛函时，没有考虑到这种情况，只考虑了产生于各个单元内部的应变能。因此，当边界上位移不连续时，则有限元解就不可能收敛于精确解。可以看出，最简单的3结点三角形单元插值函数既满足完备性要求，也满足协调性要求，因此单元的解是收敛的。应当指出，对于二、三维弹性力学问题，泛函中出现导数是一阶。对于近似的位移函数的连续性要求仅是

23、连续性，这种只要求函数自身在单元边界连续的要求很容易得到满足。而当泛函中出现导数高于一阶（如板壳，泛函中出现的导数是2阶）时，则要求试探函数在单元交界面上具有连续的一阶或高于一阶的导数，即具有或更高阶的连续性，这时构造函数比较困难。在某些情况下，可以放松对协调性的要求，只要这种单元能通过分片试验，有限元解仍然可以收敛于正确的解答。这种单元称为非协调单元。2.4.3 位移解的下限性质以位移为基本未知量，并基于最小位能原理建立的有限元称为位移元。通过系统总位能的变分过程，可以分析位移元的近似解与精确解偏离的下限性质。系统总位能的离散形式为 （2.4.4）由变分得到有限元求解方程 （2.4.5）将（

24、2.4.5）式代入（2.4.4） （2.4.6）在平衡情况下，系统总位能等于负的应变能。因此，当，则。在有限元解中，由于假定的近似位移模式一般来说总是与精确解有差别，因此得到的系统总位能总会比真正的位能大。我们将有限元解的总位能、应变能、刚度矩阵和结点位移分别用表示，相应的精确解的有关量用表示。由于，则有，即 （2.4.7）对于精确解有 对于近似解有 （2.4.8）将（2.4.8）式代入（2.4.7）式得到 （2.4.9）由（2.4.9）式看出，近似解应变能小于精确解应变能的原因是近似解的位移总体上要小于精确解的位移。故位移元得到的位移解总体上不大于精确解，即解具有下限性质。3 等参元和数值积

25、分用直边单元离散曲边的求解域势必要用更多的单元数才能较准确地描述实际边界。等参元是目前应用最广的一类单元可用这类单元更精确的描述不规则的边界。这类单元的出现不仅系统的解决了构造协调位移单元的问题，而且自然坐标系的描述方法也广泛为其他类型的单元所采用。等参数单元在构造形函数时首先定义一个规则的母体单元(参考单元/标准单元)，在母体单元上构造形函数，再通过等参数变换将实际单元与母体单元联系起来。变换涉及两个方面：几何图形的变换(坐标变换)和位移场函数的变换(母单元的位移模式)。由于两种变换均采用了相同的函数关系(形函数)和同一组结点参数，故称其为等参变换。 等参元在有限元法的发展中占有重要位置，由于他能是局部坐标系内的形状规则的单元变换为总体坐标系内形状为扭曲的单元，从而为求解域是任意形状的实际问题求解提供了有效的单元