步步高大一轮复习讲义数学5.4

1、1向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直问题数量积的运算性质abab0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos (为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|，其中a(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题2平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合

2、成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即WFs|F|s|cos (为F与s的夹角)3平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若

3、，则A，B，C三点共线()(2)向量b在向量a方向上的投影是向量()(3)若ab0，则a和b的夹角为锐角，若ab0，则a和b的夹角为钝角()(4)在ABC中，若0，则ABC为钝角三角形()(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(2，1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：t()，tR，则点P的轨迹方程是xy10.()1已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5，2)，C(1，4)，则这个三角形是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形答案B解析(2，2)，(6,6)，12120，ABC为直角三角形2已知在ABC中，|10，16，D为边BC的中点，则|等于

4、()A6 B5 C4 D3答案D解析在ABC中，由余弦定理可得，AB2AC22ABACcos ABC2，又|cos A16，所以AB2AC232100，AB2AC268.又D为边BC的中点，所以2，两边平方得4|2683236，解得|3，故选D.3设O是ABC内部一点，且2，则AOB与AOC的面积之比为_答案12解析设D为AC的中点，如图所示，连接OD，则2.又2，所以，即O为BD的中点，从而容易得AOB与AOC的面积之比为12.4平面上有三个点A(2，y)，B，C(x，y)，若，则动点C的轨迹方程为_答案y28x(x0)解析由题意得，又，0，即0，化简得y28x(x0)5已知一个物体在大小为

5、6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60，则力F所做的功W_ J.答案300解析WFs|F|s|cosF，s6100cos 60300(J)题型一向量在平面几何中的应用例1已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A内心 B外心C重心 D垂心答案C解析由原等式，得()，即()，根据平行四边形法则，知是ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过ABC的重心引申探究在本例中，若动点P满足，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的_答案内心解析由条件，得，即，而和分

6、别表示平行于，的单位向量，故平分BAC，即平分BAC，所以点P的轨迹必过ABC的内心思维升华解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系(1)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若1，则AB_.(2)平面四边形ABCD中，0，()0，则四边形ABCD是()A矩形 B梯形C正方形 D菱形答案(1)(2)D解析(1)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则，又，()()22|2|cos 60|21|21.|0，又|0，|.(2)0平面四边形ABCD是平行四边形，()0，所以平行四边形ABCD是菱形题型二向

7、量在解析几何中的应用例2(1)已知向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，且A、B、C三点共线，当k0时，若k为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为_(2)设O为坐标原点，C为圆(x2)2y23的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足0，则_.答案(1)2xy30(2)解析(1)(4k，7)，(6，k5)，且，(4k)(k5)670，解得k2或k11.由k0，0，|)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且0(O为坐标原点)，则A等于()A. B.C. D.答案B解析由题意知M(，A)，N(，A)，又A20，A.6已知在ABC中，a，b，ab0，SABC，|a|

8、3，|b|5，则BAC_.答案150解析0，可得m.由题意知，当m时，.故当ABC为锐角时，实数m的取值范围是(，)(，)14若平面向量，满足|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是_答案解析如图，向量与在单位圆O内，由于|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，故以向量，为两边的三角形的面积为，故的终点在如图所示的线段AB上，因此夹角的取值范围为.15已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且()()0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2(y1)21的任意一条直径，求的最值解(1)设P(x，y)，则Q(8，y)由()()0，得|2|20，即(2x)2