单变量卡方分布

1、1 第二章第二章 卡方分布及正态总体方差的推断卡方分布及正态总体方差的推断第一节第一节 卡方分布卡方分布一、数学形式一、数学形式1.定义定义 设随机变量设随机变量x1，x2，xk，相互独立，且都服从同一的正态分布，相互独立，且都服从同一的正态分布n (，2)。那么，我们可以先把它们变为标准正态变量。那么，我们可以先把它们变为标准正态变量z1，z2，zk，k个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方（个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方（2 ）。）。kiikiikzxxxx12122222212)(1)()()();(2kx 我们把随机变量我们把随机变量 2 2 的概率分布称为的概率分布称为 2

2、2 分布，其概率密度记分布，其概率密度记作作 。其中。其中k为卡方分布的自由度，它表示定义式中独立变为卡方分布的自由度，它表示定义式中独立变量的个数。量的个数。 2、理解卡方分布是一种连续型随机变量的概率分布。实质：以实质：以z分数测量的变量，将其值平方并加总后分数测量的变量，将其值平方并加总后形成的概率分布。（若干个形成的概率分布。（若干个z变量的平方和）变量的平方和）自由度（自由度（ ）：）：z变量的个数变量的个数卡方分布与卡方分布与z分布关系：分布关系：z值值=自由度为自由度为1的卡方值的的卡方值的平方根平方根 z=2;1df4二、卡二、卡方分布的性质方分布的性质（1）右右偏性。偏性。（

3、2）渐近性。随着自度由的增加，图形渐趋对称。当自由度逐渐变大时，卡方分布会趋近于正态分布。（3）恒正性。因为其值经过平方，所以卡方值都是正值，）恒正性。因为其值经过平方，所以卡方值都是正值，没有负值。没有负值。（4）自由自由性。卡方分布取决于自由度性。卡方分布取决于自由度k，每一个可能的自由，每一个可能的自由度对应一个具体的卡方分布。分布由正态分布导出，但度对应一个具体的卡方分布。分布由正态分布导出，但它之所以与正态分布的参数它之所以与正态分布的参数和和无关，是因为标准正无关，是因为标准正态变量态变量z与原来的参数无关。卡方分布的期望值与原来的参数无关。卡方分布的期望值 是自由是自由度度k，方

4、差为，方差为2k。（5）可加性。）可加性。)()()(2122212kkkk5 注意注意 写法的含义：它写法的含义：它表示自由度为表示自由度为k的卡方分布，当的卡方分布，当其分布函数其分布函数 时，其随机变量时，其随机变量 2的临界值的临界值(参参见图见图)。具体来说，在假设检验。具体来说，在假设检验中，它表示在显著性水平中，它表示在显著性水平上上卡方分布随机变量卡方分布随机变量 2的临界值。的临界值。 三、卡方分位点三、卡方分位点 关于卡方分布的分布函数，附表关于卡方分布的分布函数，附表7对不同的自由度对不同的自由度k及不同的临及不同的临界概率界概率(01)，给出了满足下面概率式的，给出了满

5、足下面概率式的 （k k） 的值的值(参见参见图图)。)(2k22);();(22dxkxkp);(22kp20.1;8=13.362020.05;8=15.5070表示当一个卡方变量有8个自由度，卡方值超过13.3620的概率（）为0.1，超过15.5070的概率（）为0.05。22)12(21)(nun 例例2 2 已知已知k k5 5， （5 5）1515，求临界概率求临界概率 。解 查卡方分布表，在表中自由度为5的横行中找到与15最接近的数值是15086，得到的近似值为001。由此可知p（0.01；5）0.01例3:解:9第二节第二节 正态总体的样本方差分布定理及其推断正态总体的样本方

6、差分布定理及其推断一、样本方差分布定理一、样本方差分布定理 定理内容：在正态总体中，所有可能样本的方差分布定理内容：在正态总体中，所有可能样本的方差分布服从卡方分布。换句话说，正态总体中样本方差与总体服从卡方分布。换句话说，正态总体中样本方差与总体方差之比服从卡方分布。方差之比服从卡方分布。或或式中：式中：2 2代表总体方差，自由度为代表总体方差，自由度为n nll。) 1() 1(222nsn尖) 1(222nns 例例 由一正态总体抽出容量为由一正态总体抽出容量为25的一随机样本，已知的一随机样本，已知26，求，求样本方差样本方差s 2在在3.3到到8.7之间的概率之间的概率。二、正态总体

7、方差的区间估计二、正态总体方差的区间估计 由由2分布的性质，我们知道有分布的性质，我们知道有 因此，对于给定的置信水平因此，对于给定的置信水平 1，总体方差的区间估计为，总体方差的区间估计为 ) 1(222nns)()(22/12222/2knskns 例例 研究者调查某社区居民家庭收入情况，现随机抽查了研究者调查某社区居民家庭收入情况，现随机抽查了10户，得到样本方差为户，得到样本方差为s200(元元2)，试以，试以90的置信水平估的置信水平估计居民总体家庭收入之方差的置信区间。计居民总体家庭收入之方差的置信区间。 三、单正态总体方差的假设检三、单正态总体方差的假设检验验例：某研究人员为了证实六级小学生智商的标准差是小于例：某研究人员为了证实六级小学生智商的标准差是小于15的。从