A同一律超星数字图书馆PPT教学课件

1、16.1 集合的基本概念1. 集合定义 集合没有精确的数学定义 理解：由离散个体构成的整体称为集合，称这些个体为集 合的元素 例：方程x210的实数解集合； 26个英文字母的集合； 坐标平面上所有点的集合； 教室内的桌椅、图书馆的藏书、全国的高等学校、自 然数的全体、直线上的点 常见的数集：N, Z, Q, R, C 等分别表示自然数、整数、有 理数、实数、复数集合第1页/共70页26.1 集合的基本概念2. 集合表示法 列元素法（枚举法）-是列出集合的所有元素, 元素之间用逗号隔开, 并把它们用花括号括起来. 例如 A=a, b, c, , z N=0,1,2,3, Z=0, 1, 2, 谓

2、词表示法-通过谓词概括集合元素的性质 例如： S= x | x是实数 x2 1=0 表示方程x x2 21 10 0的实数解集. . 有些集合可以用列元素法，也可以用描述法，它们之间可以相互转化，但是有些集合不能用列元素法，如实数集第2页/共70页33.3.集合的性质 (1) (1) 互异性：集合的元素是彼此不同的, , 如 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 32, 31, 2, 31, 2, 3（2 2）无序性：集合的元素是无序的, , 如 1, 2, 31, 2, 33, 1, 23, 1, 2（3 3）确定性：集合中的元素是确定的，对元素a a和集合A A，有 a Aa A或a

3、a A A，必居其一且只居其一（）任意性：集合的元素也可以是集合第3页/共70页4元素与集合元素与集合的关系元素与集合的关系 隶属关系：隶属关系： 或者或者 集合的树型层次结构集合的树型层次结构 例如：例如：A= a, b,c ,d , d 这里这里 dA ，b,cA，dA。 但是 bA，dA 可以用一种树形图来表示这种隶属关系。第4页/共70页5元素与集合在本课程所中所采用的体系中规定集合的元素都是集合. 第5页/共70页6集合与集合集合与集合之间的关系：, =, , , , 6. 同一个层次上的两个集合的关系 定义6.1 设A, B为集合, 如果B中的每个元素都是A中的元素, 则称B是A的

4、子集合, 简称子集. 这时也称B被A包含, 或A包含B, 记作B A. B A x ( xB xA) 例如 N Z Q R C,如果B不被A包含, 则记作B A.第6页/共70页7 显然对任何集合A都有A A. 隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系, 对于某些集合可 以同时成立这两种关系. 例如 Aa,a和a 既有aA, 又有a A. 前者把它们看成是不同层次上的两个 集合, 后者把它们看成是同一层次上的两个集合. 定义6.2 设A, B为集合, 如果A B且B A, 则称A与B相等, 记作AB. 如果A与B不相等, 则记作AB. 相等的符号化表示为: AB A BB A 第7页/共70页

5、8 定义6.3 设A, B为集合, 如果B A且BA, 则称B是A的真 子集, 记作B A. 如果B不是A的真子集, 则记作B A. 真子集的符号化表示为 B A B ABA 例如 N Z Q R C, 但N N. 思考： 和 的定义 注意 和 是不同层次的问题第8页/共70页9空集、全集和幂集 定义6.4 空集 ：不含有任何元素的集合。 空集可以符号化表示为 x|xx. 实例： x | xR x2+1=0 是方程x2+1=0的实数解 集, 因为该方程无实数解, 所以是空集. 定理6.1 空集是任何集合的子集。 证 对于任意集合A，由子集定义有 A x (x xA) 右边的蕴涵式因前件假而为真

6、命题, 所以A 也为真. 第9页/共70页10 推论 空集是唯一的. 证：假设存在空集1和2, 由定理6.1有 1 2 2 1 根据集合相等的定义, 有1 2 . 含有n个元素的集合简称n元集, 它的含有m(mn)个元素 的子集叫做它的m元子集. 任给一个n元集, 怎样求出它的全部子集呢？举例说明 如下：第10页/共70页11 例6.1 A1,2,3, 将A的子集分类： 0元子集, 也就是空集, 只有一个： ； 1元子集, 即单元集：1, 2, 3； 2元子集：1,2, 1,3, 2,3； 3元子集：1,2,3. 注:由0元子集的个数,加1元子集的个数,可得到子集总数 2n.第11页/共70页

7、12 定义6.5 设A为集合, 把A的全部子集构成的集合叫做A的 幂集, 记作P(A)(或PA, 2A). 幂集的符号化表示为 P(A)x|x A 对于例6.1中的集合A有 P(A), 1, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 3 若A是n元集, 则P(A)有2n个元素. 幂集第12页/共70页13 定义6.6 在一个具体问题中, 如果所涉及的集合都是某个集合的子集, 则称这个集合为全集, 记作E. 全集是有相对性的, 不同的问题有不同的全集, 即使是同一个问题也可以取不同的全集. 例如在研究平面上直线的相互关系时, 可以把整个平面(平面上所有点的集合)取作全集, 也可

8、以把整个空间(空间上所有点的集合)取作全集. 一般地说, 全集取得小一些, 问题的描述和处理会简单些. 全集第13页/共70页146.2 集合的运算 1.初级运算 集合的基本运算有 定义6.7 设A, B为集合, A与B的并集AB, 交集AB, B对 A的相对补集AB分别定义如下： 并 AB = x | xA xB 交 AB = x | xA xB 相对补 AB = x | xA xB 由定义可以看出, AB是由A或B中的元素构成, AB由A 和B中的公共元素构成, AB由属于A但不属于B的元素构成. 第14页/共70页15 例如 Aa, b, c, Ba, Cb, d 则有 ABa, b,

9、c, ABa, ABb, c, BA , BC 如果两个集合的交集为 , 则称这两个集合是不相交的. 例如B和C是不相交的. l 并和交运算可以推广到n个集合上，即A1 A2 An = x | x A1 x A2 x An A1 A2 An = x | x A1 x A2 x An第15页/共70页16 上述的并和交可以也可以写作： A1 A2 An A1 A2 An 并和交运算还可以推广到无穷多个集合的情况： A1 A2 A1 A2 第16页/共70页17 定义6.8 设A, B为集合, A与B的对称差集AB定义为： A B(AB)(BA) 例如 Aa, b, c, Bb, d, 则A Ba

10、, c, d. 对称差运算的另一种定义是 A B(AB)(AB) 第17页/共70页18 在给定全集E以后, AE, A的绝对补集A定义如下： 定义6.9 AEAx|xExA 因为E是全集, xE是真命题, 所以A可以定义为 Ax|xA 例如 Ea, b, c, d, Aa, b, c, 则 Ad. 第18页/共70页19 以上集合之间的关系和运算可以用文氏图(Venn Diagram) 给予形象的描述. 文氏图的构造方法如下： 首先画一个大矩形表示全集E(有时为简单起见可将全集省 略), 其次在矩形内画一些圆(或任何其他的适当的闭曲线), 用圆 的内部表示集合. 不同的圆代表不同的集合. 如

11、果没有关于集合 不交的说明, 任何两个圆彼此相交. 图中阴影的区域表示新组成 的集合. 图6.2就是一些文氏图的实例. 第19页/共70页20文氏图第20页/共70页21几点说明lA B AB = l AB = AB = A第21页/共70页22广义运算 2. 集合的广义并与广义交 定义6.10 设A为集合，A的元素的元素构成的集合称为A的广 义并，符号化： A = x | z ( zA xz ) 定义6.11 设A为非空集合，A的所有元素的公共元素构成的 集合称为A的广义交，符号化： A= x | z ( zA xz ) 实例 1, 1,2, 1,2,3=1,2,3 1, 1,2, 1,2,

12、3=1 a=a， a=a a=a， a=a第22页/共70页23关于广义运算的说明 2. 广义运算的性质 (1) =，无意义 (2) 单元集x的广义并和广义交都等于x (3) 广义运算减少集合的层次（括弧减少一层） (4) 广义运算的计算：一般情况下可以转变成初级运算 A1, A2, , An=A1A2An A1, A2, , An=A1A2An 3. 引入广义运算的意义 可以表示无数个集合的并、交运算，例如 x | xR=R 这里的 R 代表实数集合. 第23页/共70页24运算的优先权规定 一类运算：称广义并，广义交，幂集,绝对补运算 二 类运算：并,交,相对补,对称差运算 混合运算：一类

13、运算优先于二类运算 运算由右向左进行 优先顺序由括号确定例1 A=a,a,b，计算A (AA). 解： A= a,b， A= a， A= a b， A = a A (AA) = a,b (a b) a) = (a b) (a b) a) = (a b) (b a) = b第24页/共70页25 1. 文氏图法 使用文氏图可以很方便地解决有穷集的计数问题. 首先根据已知条件把对应的文氏图画出来. 一般地说, 每一条性质决定一个集合. 有多少条性质, 就有多少个集合. 如果没有特殊说明, 任何两个集合都画成相交的, 然后将已知集合的元素数填入表示该集合的区域内. 通常从n个集合的交集填起, 根据计

14、算的结果将数字逐步填入所有的空白区域. 如果交集的数字是未知的, 可以设为x. 根据题目中的条件, 列出一次方程或方程组, 就可以求得所需要的结果 有穷集合元素的计数第25页/共70页26 例6.2 对24名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查. 其统计结果如下：会英、日、德和法语的人分别为13, 5, 10和9人, 其中同时会英语和日语的有2人, 会英、德和法语中任两种语言的都是4人. 已知会日语的人既不懂法语也不懂德语, 分别求只会一种语言(英、德、法、日)的人数和会三种语言的人数. 解: 令A, B, C, D分别表示会英、法、德、日语的人的集合. 根据题意画出文氏图如图6.3所示.

15、设同时会三种语言的有x人, 只会英、法或德语一种语言的分别为y1, y2和y3人. 将x和y1, y2, y3填入图中相应的区域, 然后依次填入其他区域的人数. 第26页/共70页27 根据已知条件列出方程组如下： 解得x1, y14, y22, y33. 第27页/共70页28 例6.3 求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被5和6整除，也不能被8整除的数有多少个？ 解 方法一 设 S= x | xZ 1x1000 A= x | xS x可被5整除 B= x | xS x可被6整除 C= x | xS x可被8整除 用|T|表示有穷集T中的元素数, x 表示小于等于x的最大整数,

16、 lcm(x1,x2,xn)表示x1,x2,xn的最小公倍数, 则有 第28页/共70页29 |S| = 1000 |A|= 1000/5 =200, |B|= 1000/6 = 166, |C|= 1000/8 =125 |A B| = 1000/lcm(5,6) = 1000/33 = 33 |A C| = 1000/lcm(5,8) = 1000/40 = 25 |B C| = 1000/lcm(6,8) = 1000/24 = 41 |A B C| = 1000/lcm(5,6,8) = 1000/120 = 8 画出文氏图，然后填入相应的数字，解得 N=1000(200+100+33

17、+67) =600第29页/共70页30有穷集合元素的计数 2. 包含排斥原理 定理6.2 设集合S上定义了n条性质，其中具有第 i 条性质的 元素构成子集Ai, 那么集合中不具有任何性质的元素数为 |.|) 1(.|.|2111121nnnkjikjnjijiniinAAAAAAAAASAAAi 推论推论 S中至少具有一条性质的元素数为中至少具有一条性质的元素数为12111121|( 1)|nniijii j nnijkni j k nAAAAAAAAAAAA 第30页/共70页31实例解：方法二 |S| = 1000 |A|=1000/5=200, |B|=1000/6=166, |C|=

18、1000/8=125 |AB| = 1000/lcm(5,6) = 1000/33 = 33 |AC| = 1000/lcm(5,8) = 1000/40 = 25 |BC| = 1000/lcm(6,8) = 1000/24 = 41 |ABC| = 1000/lcm(5,6,8) = 1000/120 = 8 = 1000(200+166+125)+(33+25+41)8 = 600 |CBA 例6.3 求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被5和6整除，也不能被8整除的数有多少个？第31页/共70页326.3 集合恒等式集合算律1只涉及一个运算的算律： 交换律、结合律、幂等律

19、交换交换A B=B AA B=B AA B=B A结合结合(A B) C=A (B C)(A B) C=A (B C)(A B) C=A (B C)幂等幂等A A=AA A=A第32页/共70页33集合算律 2涉及两个不同运算的算律： 分配律、吸收律 与与 与与 分配分配A (B C)=(A B) (A C)A (B C)=(A B) (A C)A (B C)=(A B) (A C)吸收吸收A (A B)=AA (A B)=A第33页/共70页34集合算律 3涉及补运算的算律： DM律，双重否定律 D.M律律A (B C)=(A B) (A C)A (B C)=(A B) (A C) (B C

20、)= BC (B C)= BC双重否定双重否定A=A第34页/共70页35集合算律 4涉及全集和空集的算律： 补元律、零律、同一律、否定律E补元律补元律AA=AA=E零律零律A=A E=E同一律同一律A=AA E=A否定否定=E E=第35页/共70页36集合恒等式 下面的恒等式给出了集合运算的主要算律, 其中A, B, C代表任意集合. 幂等律 AAA AAA 结合律 (AB)CA(BC) (AB)CA(BC) 交换律 ABBA ABBA第36页/共70页37 分配律 A(BC)(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC) 同一律 AA AEA 零律 AEE A 排中律 AAE矛盾律 AA

21、第37页/共70页38 吸收律 A(AB)A A(AB)A 德摩根律 A(BC)(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC) (BC)=BC (BC)=BC E E 双重否定律 (A)A 第38页/共70页39集合证明题证明方法：命题演算法、等式置换法命题演算证明法的书写规范 (以下的A和B代表集合公式)(1) 证AB 任取x， xA xB(2) 证A=B 方法一 分别证明 AB 和 BA就是对于任意的x,有 xAxB和xBxA 方法二 任取x，xA xB注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充分必要的第39页/共70页40 选证其中的一部分, 在证明中大量用到命题逻辑的等值式, 在

22、 叙述中采用半形式化的方法. 方法一：命题演算法 例6.4 证明（德摩根律） A(BC)(AB)( AC). 证 对任意的x xA(BC) xAxBC xA(xBxC)第40页/共70页41 x A( x B x C) x A xB x C ( x A x B) ( x A x C) x AB x AC x ( AB)(AC) 所以 A(BC)(AB)( AC)第41页/共70页42 例6.5 证明（同一律） AEA. 证 对任意的x, xAExAxExA(因为xE是恒真命题), 所以 AEA. 第42页/共70页43集合等式的证明 例6.6 证明（吸收律） A(AB) = A 证 任取x,

23、xA(AB) xAxAB xA(xAxB) xA 因此得 A(AB) = A.第43页/共70页44等式代入法方法二：等式置换法 例6.8 假设交换律、分配律、同一律、零律已经成立，证明吸 收律. 证 A(AB) = (AE)(AB) （同一律） = A(EB) （分配律） = A(BE) （交换律） = AE （零律） = A （同一律）第44页/共70页45 另一些关于集合运算性质的重要结果 ABA, ABB AAB, BAB ABA ABAB A B =BA B A B =AA-B= ABBA (AB) CA (BC) AA AA ABACBC 第45页/共70页46 例6.9 证明等式

24、ABAB. 证 对于任意的x, xABxAx B xAxB xAB所以 ABAB. 上面等式把相对补运算转换成交运算, 这在证明有关相对补的恒等式中是很有用的. 第46页/共70页47 例6.10 证明(AB)BAB证明 (AB)B (AB)B (AB)(BB) (AB)E AB 第47页/共70页48包含等价条件的证明 例6.11 证明AB=B AB AB=A AB= 证明思路：l 确定问题中含有的命题：本题含有命题 , , , l 确定命题间的关系（哪些命题是已知条件、哪些命题是要证明的结论）：本题中每个命题都可以作为已知条件，每个命题都是要证明的结论l 确定证明顺序：， l 按照顺序依次

25、完成每个证明（证明集合相等或者包含） 第48页/共70页49 证： ABBA B 对于任意的x, （A A B ） xA xAxB xAB xB (因为ABB)所以A B. A B ABA.显然有AB A, 下面证A AB. 对于任意的x, xAxAx A xAxB (因为A B) xAB 则 A AB 由集合相等的定义有ABA. 第49页/共70页50 ABA AB AB AB (AB)B (因为ABA) A(BB) A A B= ABB 由例6.10（(AB)BAB）及AB 有 ABB(AB)B B 例6.11给出了A B的另外三种等价的定义, 这不仅为证明两个集合之间的包含关系提供了新方

26、法, 同时也可以用于集合公式的化简. 第50页/共70页51 例6.12 化简(ABC)(AB)(A(BC)A). 解 因为AB ABC, A A(BC), 有 (ABC)(AB)(A(BC)A) (AB)A BA第51页/共70页52 证 已知A BA C, 所以有 A (A B)A (A C) (A A) B(A A) C B C B C BC 例6.13 已知A B A C, 证明BC. 第52页/共70页53第六章 习题课主要内容l集合的两种表示法l集合与元素之间的隶属关系、集合之间的包含关系的区别与联系l特殊集合：空集、全集、幂集l文氏图及有穷集合的计数l集合的, , , , 等运算

27、以及广义, 运算l集合运算的算律及其应用第53页/共70页54基本要求l 熟练掌握集合的两种表示法l 能够判别元素是否属于给定的集合l 能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关系l 熟练掌握集合的基本运算（普通运算和广义运算）l 掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法第54页/共70页55练习1 1判断下列命题是否为真 (1) (2) (3) (4) (5) a, b a, b, c, a, b, c (6) a, b a, b, c, a, b (7) a, b a, b, a, b (8) a, b a, b, a,b 解 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真，其余

28、为假.第55页/共70页56方法分析 (1) 判断元素a与集合A的隶属关系是否成立基本方法： 把 a 作为整体检查它在A中是否出现，注意这里的 a 可 能是集合表达式. (2) 判断AB的四种方法l 若A,B是用枚举方式定义的，依次检查A的每个元素是否在B中出现. l 若A,B是谓词法定义的，且A, B中元素性质分别为P和Q, 那么“若P则Q”意味 AB，“P当且仅当Q”意味=l 通过集合运算判断AB，即AB = B, AB = A, AB = 三个等式中有一个为真.l 通过文氏图判断集合的包含（注意这里是判断，而不是证明第56页/共70页57练习22设 S1=1, 2, , 8, 9， S2

29、=2, 4, 6, 8 S3=1, 3, 5, 7, 9 S4=3, 4, 5 S5=3, 5 确定在以下条件下X是否与S1,S5中某个集合相等？如果是，又与哪个集合相等？ （1）若 XS5= （2）若 XS4但 XS2= （3）若 XS1且 X S3 （4）若 XS3= （5）若 XS3 且 X S1第57页/共70页58解答解(1) 和S5不交的子集不含有3和5，因此 X=S2. (2) S4的子集只能是S4和S5. 由于与S2不交，不能含有偶数， 因此 X=S5.(3) S1, S2, S3, S4和S5都是S1的子集，不包含在S3的子集含有 偶数，因此 X=S1, S2或S4. (4)

30、 XS3=意味着 X是S3的子集，因此 X=S3或 S5.(5) 由于S3是S1的子集，因此这样的X不存在.第58页/共70页59练习33. 判断以下命题的真假，并说明理由. （1）AB = A B= （2）A(BC) = (AB)(AC) （3）AA = A （4）如果AB = B，则A = E. （5）A = xx，则 xA且x A. 第59页/共70页60解题思路l 先将等式化简或恒等变形.l 查找集合运算的相关的算律，如果与算律相符，结果为真.l 注意以下两个重要的充要条件 AB = A AB = AB = AB AB = B AB = A 如果与条件相符，则命题为真.l 如果不符合算

31、律，也不符合上述条件，可以用文氏图表示集合，看看命题是否成立.如果成立，再给出证明.l 试着举出反例，证明命题为假.第60页/共70页61解答 解 (1) AB = A B= B=是AB=A的充分条件，但不是必要条件. 当B不空但是与A不交时也有AB=A. (2) A(BC) = (AB)(AC) 这是DM律，命题为真. (3) AA = A 不符合算律，反例如下： A=1，AA=，但是A. (4)如果AB = B，则A = E命题不为真. AB=B的充分必要条件是 BA，不是A=E. (5) A = xx，则 xA且x A命题为真，因为 x 既是 A 的元素，也是 A 的子集 第61页/共70页62练习4 4证明 AB = AC AB = AC B = C解题思路l 分析命题：含有3 3个命题： A B = A C , A B = A C, B = C l 证明要求 前提：命题和 结论：命题 l 证明方法： 恒等式代入 反证法 利用已知等式通过运算得到新的等式第62页/共70页63解答方法一：恒等变形法 B = B(BA) （吸收律） = B(AB) （交换律） = B(AC) AB = AC = (BA)(BC)(分配律） = (AC)(BC) AB = AC = (AB)C (分配律） = (AC)C AB = AC