bezier曲线PPT课件

1、回回 顾顾- -曲线的表示形式曲线的表示形式曲线的表示形式非参数表示显式表示隐式表示)(xfy 0),(yxf第1页/共34页回回 顾顾- -曲线的表示形式曲线的表示形式,)(),(),()(battytxyxtpabatt 1 , 0)(ttpp区间a,b规范化为0,1,)()(battyytxx参数表示第2页/共34页回顾连续性条件回顾连续性条件 参数连续性 称曲线P = P(t)在 处n阶参数连续，如果它在 处n阶左右导数存在，并且满足 记号0tt 0tnkdttPddttPdttkkttkk, 1 , 0,)()(00nC 传统的、严格的连续性第3页/共34页回顾连续性条件回顾连续性条

2、件几何连续性几何连续性只需限定两个曲线段在交点处的参数导数成比例，而不必完全相等记号直观的、易于交互控制的连续性nG第4页/共34页内容提要内容提要 Bezier Bezier 曲线的提出曲线的提出 Bezier Bezier 曲线的应用曲线的应用 Bezier Bezier 曲线的定义曲线的定义 BernsteinBernstein基函数的性质基函数的性质 BezierBezier曲线的性质曲线的性质 BezierBezier曲线生成曲线生成 总结总结BezierBezier曲线优点和缺点曲线优点和缺点第5页/共34页BezierBezier曲线提出曲线提出提出：Bezier在1962年提出

3、优点： 输入的控制点与生成曲线之间的关系明确； 能方便地改变曲线的形状和阶次。第6页/共34页 计算机辅助设计与制造（CAD/CAM） 飞机、汽车、船舶外形的设计 CATIA波音 宝马 奔驰 克莱斯勒 水泵叶轮和齿轮等机械零件的设计 BezierBezier曲线应用曲线应用第7页/共34页BezierBezier曲线应用曲线应用桥梁建筑物以及日用品的设计第8页/共34页 曲线字形轮廓描述 地图图形管理系统 真实感图形的绘制BezierBezier曲线应用曲线应用还有那些应用?第9页/共34页BezierBezier曲线的定义曲线的定义 1 , 0)()(0,ttBPtCnknkknktttkn

4、knttCtBknkknkknnk, 1 ,01 ,0)1()!( !)1()(,控制点阶数Bernstein基函数参数第10页/共34页Bezier曲线是参数多项式曲线，它由一组控制多边形的顶点唯一的确定。控制多边形各顶点，只有第一个和最后一个在曲线上其它顶点，用于控制曲线的阶次和形状。改变顶点的位置就会改变曲线的形状(便于修改)增加顶点，则增加了曲线段的阶次(灵活)Bezier曲线的定义第11页/共34页控制点对曲线形状的修改Bezier曲线是面向几何的，充分发挥人的主观能动性和创造性，通过直观交互使人对设计对象的控制达到直接的几何化程度。Bezier曲线的定义第12页/共34页控制点对曲

5、线阶次的修改Bezier曲线的定义第13页/共34页一次Bezier曲线101 , 111 , 00101 ,)1 ()()()()(tPPttBPtBPtBPtPkkk二次Bezier曲线 0,1t 0010221211 )()()()()(21022, 222, 112, 00202,PPPtttBPtBPtBPtBPtPikkBezierBezier曲线的定义曲线的定义第14页/共34页三次Bezier曲线P(t）= B0,3(t)P0 + B1,3(t)P1+ B2,3(t)P2B3,3(t)P3其中 B0,3(t)(1-t)3 B1,3(t)3t(1-t)2 B2,3(t)3t2(1

6、-t) B3,3(t)t3 32102300010033036313311 t tPPPPttPBezier曲线的定义第15页/共34页BernsteinBernstein基函数的性质（一）基函数的性质（一） 1 , 0,0)(,ttBnk 非负性nktttknknttCtBknkknkknnk, 1 ,01 ,0)1()!( !)1()(,其它001)0(,kBnk其它01)1(,nkBnk0！=1，00=1。 端点的性质第16页/共34页BernsteinBernstein基函数的性质（二）基函数的性质（二） 1 , 0)1 ()!( !)1 ()(,tttknknttCtBknkknkk

7、nnk)(,)1 ()1 (knnknknnnknttCtB 对称性)1 ()(,tBtBnknnkkknttknnknn)1 ()!()!(!kknttkknn)1 (!)!(!推导：t01-t0第17页/共34页BernsteinBernstein基函数的性质（三）基函数的性质（三）)()()1 ()(1, 11,ttBtBttBnknknk 1 , 0,1)(0,ttBnknknknkknkknnkttCtB00,)1 ()(权性 递推性knkknnkttCtB)1 ()(,)()()1 (1, 11,ttBtBtnknkknkknknttCC)1 ()(11111)1 ()1 (knk

8、knttCtknkkntttC)1 (111ntt)1 (1t0第18页/共34页BernsteinBernstein基函数的性质（四）基函数的性质（四）)1)()!( !)1 ()!( !)(11,kknknknkttknknknttkknkntB)1()1(1)1 ()!1() 1()!1()!1(knkttknknn)()(1,1, 1tBtBnnknk 导函数knkttknknn)1()1 ()!) 1(!)!1( 1 , 0)1 ()!( !)1 ()(,tttknknttCtBknkknkknnk)()()(1,1, 1,tBtBntBnknknk第19页/共34页BezierBe

9、zier曲线的性质（一）曲线的性质（一）nnnnnPPBPBC) 1 () 1 () 1 (,0, 0端点性质 曲线的起点和终点同控制多边形的起点和终点重合当 t1 时，对Bernstein多项式只有kn 的项为1，其它项均为0, 将t0代入Bezier曲线表达式：01, 10, 0)0()0()0(PPBPBCnn第20页/共34页BezierBezier曲线的性质（二）曲线的性质（二） 1 , 0)()(0,ttBPtCnknkk)()()(1,1, 1,tBtBntBnknknknknknkktBtBPntC01,1,1)()()( Bezier曲线中对t求一阶导数：一阶导数)()()(

10、)()()(1,1, 11, 111, 011, 001, 10tBPtBPtBPtBPtBPtBPnnnnnnnnnnn)()()()()()(1, 111, 1121, 001tBPPtBPPtBPPnnnnnnnnknkkktBPPn11,11)()(第21页/共34页BezierBezier曲线的性质（二）曲线的性质（二）nknkkktBPPntC11, 11)()()(在起始点t0, B0,n-1(0)1，其余项均为0，故有: C(0)n(P1P0)在终止点t1, Bn-1,n-1(1)1，其余项均为0，故有: C(1)= n(PnPn-1)即Bezier曲线在端点处的一阶导数只同相

11、近的两个控制点有关，其方向相同于两点的连线方向。)()()()()()(1, 111, 1121, 001tBPPtBPPtBPPnnnnnnn第22页/共34页Bezier曲线中对参数t求二阶导数可得：Bezier曲线的性质（三）nknkkkktBPPPnntC01,12)()2()1()( 在起始点t0处的二阶导数为： C”(0)n(n1)(P22P1P0)在终止点t1处的二阶导数为： C”(1)n(n1)(Pn2Pn-1Pn-2)即Bezier曲线在端点处的二阶导数只同相近的三个控制点有关。二阶导数第23页/共34页BezierBezier曲线的性质（四）曲线的性质（四）凸包性 Bezi

12、er曲线各点均落在控制多边形各顶点构成的凸包之中，这里凸包是指包含所有顶点的最小凸多边形。 当特征多边形为凸时，Bezier曲线也是凸的；当特征多边形有凹有凸时，其曲线的凸凹形状与之对应。Bezier曲线的凸包性质保证了多项式曲线随控制点平稳前进而不会振荡。变差缩减性 如果Bezier曲线的控制多边形是一平面图形，则该平面内的任意直线和Bezier曲线的交点个数不多于该直线与控制多边形的交点个数。 第24页/共34页BezierBezier曲线生成曲线生成如何绘制一段Bezier曲线？1 确定曲线的阶次2 计算Bernstein基函数的表达式nktttknknttCtBknkknkknnk,

13、1 , 0 1 , 0)1 ()!( !)1 ()(, B0,3(t)(1-t)3 ； B1,3(t)3t(1-t)2 ； B2,3(t)3t2(1-t) ； B3,3(t)t33 把Bezier曲线中的Pk写成分量坐标的形式 4 确定一合适的步长；控制t从0到1变化，求出一系列(x,y)坐标点；将其用小线段顺序连接起来。第25页/共34页BezierBezier曲线生成曲线生成 算法描述：对于二维平面的情况，只有x,y坐标分量，可以给出四点三次Bezier曲线如下的算法描述：输入：阶次，3； 控制顶点：4个，(x0,y0),（x3,y3) begin x=x0 y=y0 moveto (x,

14、y) for t0 to 1 step t xB0,3(t)x0B1,3(t)x1B2,3(t)x2B3,3(t)x3 yB0,3(t)y0B1,3(t)y1B2,3(t)y2B3,3(t)y3 lineto (x,y) endfor end为什么呢？第26页/共34页三次Bezier曲线例子： 设在平面上给定的7个控制点坐标分别为:A（100,300）,B（120,200）,C（220,200）,D（270,100）,E（370,100）, F（420,200）,G（420,300）。画出其曲线。BezierBezier曲线生成曲线生成第27页/共34页BezierBezier曲线生成曲线生

15、成德卡斯特里奥算法11202010211111110100PPPPPPPPPPPP11102021111010)1 ()1 ()1 (tPPtPtPPtPtPPtPtt12210220)1 (2)1 (PtPttPtP 当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。并且表明：这二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。第28页/共34页n 依次类推，由四个控制点定义的三次Bezier曲线P03可被定义为分别由(P0,P1,P2)和(P1,P2,P3)确定的二条二次Be

16、zier曲线的线性组合；n 由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,.,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：由此得到Bezier曲线的递推计算公式BezierBezier曲线生成曲线生成 1 , 0)1 (11100ttPPtPnnnk,n, ,i,n;,kPt)P(kPPkikiiki102110111第29页/共34页Bezier曲线的光滑连接例子：设有两段三次Bezier曲线，其中一段曲线由控制点P0、P1、P2、P3生成，另一条曲线由控制点Q0、Q1、Q2、Q3生成，P3(Q0)是两段曲线的公共控制点。如果两段曲线要达到光滑连接，需要一阶参数连续，甚至二阶参数连续。对于一阶导数连续，第一段曲线终点处的导数为： P(1)3(P3P2) 第二段曲线起点处的导数为： Q(0)3(Q1Q0) P3P2Q1Q0 BezierBezier曲线生成曲线生成第30页/共34页两段Bezier曲线光滑连接的示意图二阶导数连续第一段曲线终点处的二阶导数为： P”(1)6(P32P2P1)第二段曲线起点处的二阶导数