最新高三第一轮复习理科数学--等差数列与等比数列的综合问题

1、精品文档等差数列与等比数列的综合问题考纲要求1. 熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题.2. 突出方程思想的应用，引导学生选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和运算能力. 命题规律1、等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点；2、禾U用等比数列前 n项和公式时注意公比 q的取值。同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解。考点解读等差数列等比数列文一般地，如果一个数列从第

2、二项起，每一项与它的前一般地，如果一个数列从第二项起,每一项与它字疋义一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列,这的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比个常数叫等差数列的公差。数列，这个常数叫等比数列的公比。符号an 1and；anan1 an 1加 q(q 0)2；anN 1 an 1(an0)疋2an义分类递增数列：d0递增数列：a10，q1 或a10,0q 1递减数列：d0递减数列：a10，q1 或 a10,0q 1常数数列：d0摆动数列：q0常数数列：q1通项an ai (n 其中p d, q ai1)ddpnq am (nm)dn 1anagn mamq(q0)刖ncn

3、(ai aSn27 nain(n 1)d22pn qn印(1n、q)/八 (q 1)dSn1q项其中pd和列a12n(q 1)中 项a,b,c成等差数列的充要条件2b aca, b,c成等比数列的充要条件：b2ac等和性：等差数列 an等积性：等比数列 an主若m n pq则amana paq若m n pq 则 Om ana p aq要.2性推论：若m n2p则aman2a p推论：若mn 2p则 am ar(ap)质an kan k2anan k an k(an)2aiana2an 1a3an 2a1ana2an 1a3 an 2即：首尾颠倒相加，则和相等即:首尾颠倒相乘，则积相等1、等差数

4、列中连续 m项的和，组成的新数列是等差其数列。即: Sm,S2m2Sm,S3m S2m, 等差，公差为md则有 S3m3(S2mSm)2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等、差数列。如：a1,a4主,a7,a10,（下标成等差数列）1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是等3、 an , bn等差，则a?n，a2n 15比数列。即：Sm, S2m Sm,S3m S2m, 等比，公kan b， panqbn也等差。比为 qm。（ q1）4、等差数列an的通项公式是n的一次函数，即:2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是它 an dn c(d0)一个等比数列。女口： a1,a4, a

5、7,a10,（下标成等差数列）等差数列 an的前n项和公式是一个没有常数项的3、an , bn 等比，则a2n ，a?n 1，2Sn An Bn( d0)n的二次函数，即：kan也等比。其中k 05、项数为奇数2n 1的等差数列有：4、等比数列的通项公式类似于 n的指数函数，W1 1S奇S(禺ana 中ttrrn亠a1S禺n 1即: an cq ，其中 c qS2n i (2n1)an等比数列的前n项和公式是一个平移加振幅项数为偶数2n的等差数列有：的n的指数函数，即：Sncqn c（q 1）生国anS 禺 s奇 nd5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列an 1是等比数列。S2nn(an

6、an 1 )6、an m,amn 则 am n 0SnSm 则 Sm n0(nm)Snm, Sm质n 则 Sm n(mn)证证明一个数列为等比数列的方法：证明一个数列为等差数列的方法：1、定义法：q （常数）明1、定义法：an1 an d (常数)方法2、中项法：an2)an2、中项法 an 1 an 1 (an)2(n 2,an0)1an 12an(n设三数等比： ,a, aq或 a, aq, aq2q23元三数等差：ad ,a, a d技四数等差：a3d, a d,a d,a 3d巧四数等比： a, aq,aq , aq联1、若数列 an是等差数列，则数列Can是等比数列,公比为 Cd，其

7、中C是常数，d是an的公差。系2、若数列 an是等比数列，且an0，则数列logaan是等差数列，公差为log a q，其中a是常数且精品文档a 0, a 1 , q是an的公比。考点突破考点1有关通项问题典例1数列an的前n项和为Sn且a11，an 1Sn, n 1 , 2, 3,3求 a2 , a3,a4的值及数列an的通项公式。解题思路用an与前n项和Sn的关系:anSnSn 1(n(n1) 解决问题。2)解题过程解：由a1an 1a2n，131,a331，2,3，得由 an 1an13印13(Sn4 1 )3114S2(a1a2)，a43391m-an (n2)，得 an 131 1护

8、3护a243an 52)，a3)1627，11 4又 a2=丄，所以 an=1(4)n 2 (n2),33 3二数列an的通项公式为an 1 4 n()3 3易错点拨定要分n 1和n 2进行讨论，并验证a1是否符合所求出的an。变式1设Sn为数列an的前n项和，Sn 如2n , n N ,其中k是常数.点拨答案(I)求 a1 及 an ；(ll )若对于任意的 m N , am , a2m , a4m成等比数列，求k的值.先由n 2时，an Sn Sn 1，求出an ；再由当n 1时，a1 S1，求出印，变式2并验证a1是否符合所求出的n 1, a1 S1 k 1,数列an的前n项和Snana

9、n差数列吗？( 3)你能写出数列点拨讨论的数学思想。2kn(1)试写出数列的前 5项；(2)数列anan的通项公式吗?是等答案an1；( n 1)2n 1(n 2)考点2有关等差、等比数列性质问题典例1 一个等差数列前n项的和为48,前2 n项的和为60,则前3n项的和 为。解题思路 Sn,S2nSn,S3n S2n为等差数列解题过程 Qn =36.易错点拨有同学误认为“ Sn，S2n，S3n也成等差数列”。变式1等比数列an的各项为正数，且aa6 aa18,则砸彳玄！ logsa? LIog3術() A . 12 B . 10 C . 8 D . 2+|og35点拨性质“若m n p q则a

10、m an ap aq”。答案 B变式1等差数列 an前n项和为Sn已知am 1 am 1 am 0 , S2m 1 38，则m.点拨 若m n p q则am a“ ap aq推论：若 m n 2p则am a“ 2ap答案m 10考点3数列求和问题典例1在等差数列an中，a1 25 , S17 S9,求Sn的最大值.解题思路等差数列前n项和最值问题，了解数列的本身规律。解题过程179解法一：由 S17 S9，得：25 17(17 1)d25 9 一(9 1)d，解得 d 2.22n2Sn 25n (n 1)( 2) (n 13)2 1692 .由二次函数的性质，当n 13时，Sn有最大值169.

11、解法二：先求出d2 , Qa1250,an 25 2(n 1) 0 由an 125 2n 01n 13-2，所以当n 13时，Sn有最大值169.n 122解法三：由S17 S9，得昕 an L0 ,而 a-ioa-17ai1ai6ai2ai5a-3 ai4，故 ai3 ai4 = 0. Q d 2 0, ai 0, ai3 0, ai4 0,故当 n 13时， Sn有最大值i69 .易错点拨 解决等差数列前n项和最值问题的方法通常有：利用二次函数求最值；利用通项公式an求n使得an an i 0 :利用性质求出符号改变项.变式i已知an是各项不为零的等差数列，其中ai 0，公差d 0,若Sw

12、 0 ,求数列an前n项和的最大值.点拨ai 0 , d 0时，Sn有最大值；q 0 , d 0时，Sn有最小值。且在前n项中，最大答案a5 0,a6 0 ,即数列an前5项和为最大值.变式2已知等比数列an的各项都是正数，Sn 80 , S2n 6560,的项为54,求n的值.点拨ai(i qn)80(i)由(2)(i)得 qn 8i有条件得：- i q2nai(i q2 )26560(2)1 q答案 n 4综合突破 突破i数列与函数、不等式、解析几何结合的综合题2n 32典例i 若A和Bn分别表示数列an和bn前n项的和，对任意正整数 n , a.4Bn i2An i3n.(1) 求数列b

13、n的通项公式；(2) 设有抛物线列Ci, C2,Cn抛物线Cn(n N)的对称轴平行于 y轴，顶点 为an,bn，且通过点Dn(0, n i)，求点Dn且与抛物线Cn相切的直线斜率为 心。(3) 设集合X xx 2an,n N*，丫 y y 4bn ,n N*。若等差数列 Cn的任一项Cn X Y , Ci是X Y中的最大数，且265 G。通项公式。解题思路 以考数列的知识为主要载体， 熟练等差等比数列的基本性质外, 合、解析几何、导数等的知识。解题过程125，求Cn的还综合考查了集解:52n 32(n 1) 3(1 ) ai= , an an _ i =2 2 25擞列an是以-5为首项，1

14、为公差的等差数列n(二 An=3)n(n 4)2由 4Bn 12An 13n，得 Bn3n 12An46n211n412n 5412n 542 n 3(2)设抛物线Cn的方程为y=a (x+) 22即 y x2(2n 3)x n21y/ 2x (2n 3)Dn处切线斜率 kn=2n+3.12n 52(6 n 1)(3)对任意 n N*, 2an2n 3 , 4g y X，故可得 X Y Y。G是X Y中最大的数， G 17设等差数列 Cn的公差为d，则C1017 9d5 265 -17 9d 125 得 27 d 129而4bn是一个以一12为公差的等差数列 d 12m(m N ) , d 2

15、4 Cn 7 24n(n N )易错点拨 本题考查数列、集合和解析几何中的直线、 抛物线等知识对思维能力有较高要求,考查了分析问题和解决问题的能力。突破2数列与导数、平面向量、概率等新知识相结合 典例1一 2 -从原点出发的某质点M，按向量a (0,1)移动的概率为一，按向量b (0,2)移动的概31率为丄，设M可到达点(0，3(1)求Pl和P2的值;n)的概率为Pn.(2)求证：Pn 2Pn 11-(Pn 1 Pn)；3(3)求Pn的表达式.解题思路先通过概率的理解得到数列Pn的递推公式，在利用构造等比数列求通项公解题过程(2)M 到达(0，P2n+2)2 2 1(3)3有Pn 25PnPn

16、 2巳 113(Pn1 Pn)31)按向量(0,1)移动.1丄为公比的等比数列3Pn!Pn(P2P)( 1( g)P,P1( $(黑Pn两种情况点(0,n点(0, n)按向量(0,2)移动(3)数列Pn 1 Pn是以(P2 R)为首项,结合向量、概率等知识一起考,易错点拨此解答题将以等差、等比数列的基本问题为主题,考查了学生较强的综合能力。快乐训练1、已知等差数列an的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列，则a2 =()A. -4B. -C. -D. -02、三个数,1,1成等差数列m n2 2,又m2,1,n2成等比数列，则-一-的值为(m nA. - 1 或 3B. 1 或 3C. 3

17、或 1D. 3 或一1等差数列an中,a1 a4 a739,a3 a6 a9 27，则数列an前9项的和Sg等于B. 99 C. 144 D. 2974、已知an是等比数列，a22,1a5，贝U a1 a2 a?a34B. 16anan 1 =()(1 2 n)A . 16 ( 14 n)3232C.(14 )D.(1 2 )335、中,a5a4108,a2a14,则 a1a2a3a4a5的值为827,则插入的三个数的乘积为 6、在8和27之间插入三个数，使这五个数成等比数列327、等差数列an中，ai=2，公差不为零，且ai，a3，aii恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于

18、&已知 an是公比为q的等比数列，且a1,a3,a2成等差数列.(I)求q的值；(H)设bn是以2为首项，q为公差的等差数列，其前 n项和为Sn,当2时,比较Sn与bn的大小，并说明理由提高训练1、知一等比数列的前三项依次为x,2x2,3x3，那么113是此数列的第()项2A 2B 4C 6D 82、已知一个等差数列的前5项的和是120,最后5项的和是180,又所有项的和为 360,则此数列的项数为()A. 12 项B.13项C.14项D. 15 项3、若关于x的方程x2x a 0 和 x2xb 0 a1b的四个根可组成首项为的等差数4列，则a b的值是()A 3r 11C.1331A.-B.D.82424724、数列an是公差不为零的等差数列，它的第 4，8, 10项，则bn的公比是17项恰是另一等比数列bn的第6,0的两根，则a4 a7 =6、已知a,b,a b成等差数列，a,b,ab成等比数列,(ab)0l0gm1,则m的取值范围5、在等比数列 an中，若a1,a10是方程3x2 2xaia3a5a2 a4a6是等比数列，且ai =7、差不为零的等差数列an的第二、三