2021-2021版高中数学第二章解析几何初步2.1圆的标准方程学案北师大版必修2

1、2. 1圆的标准方程【学习目标】1.掌握圆的定义及标准方程.2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程.问题导学知识点一圆的标准方程思考1确定一个圆的根本要素是什么?思考2在平面直角坐标系中，如下图，以 (1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x2 21) + (y 2) = 4 来表示？梳理圆的概念及标准方程(1)圆的几何特征是圆上任一点到 的距离等于定长，这个定长称为 . 圆的标准方程：圆心为C(a, b),半径为r的圆的标准方程是 当a= b= 0时，方程为x2+ y2= r2,表示以 为圆心，r为半径的圆.知识点二 中点坐标公式-一, X1 + X2 y1

2、+ y2A(X1, y1) , B(X2, y2)的中点坐标为(一 , 产).知识点三点与圆的位置关系思考 点A(1,1)，耳4,0) , C( -2, ,2)同圆x2D. (x 1) + (y 2) = 25命题角度2待定系数法求圆的标准方程例2 求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x+ 3y+ 1 = 0上的圆的方程.类型三与圆有关的最值问题例4实数x, y满足方程(x 2)2+ y2= 3，求f的最大值和最小值.引申探究1假设本例条件不变，求y x的最大值和最小值.+ y2= 4的关系如下图，那么| OA, | OB , | OC同圆的半径r = 2是什么关系？. . 2 2

3、 2 、.梳理 点Mxo, yo)与圆C： (x a) + (y b) = r的位置关系及判断方法题型探究宀护 W 位置大糸利用距离判断利用方程判断点M在圆上| CM = r(X0 a)2+ (y0 b) 2= r2点M在圆外| CMr(X0 a)2+ (y0 b)2r2点M在圆内| CMr/2 2 2(X。 a) + (y0 b) r类型一求圆的标准方程命题角度1直接法求圆的标准方程 例1 (1)圆C的圆心在x轴的正半轴上，点 M0, J5)在圆C上，且圆心到直线 2x y=0的距离为婪，那么圆C的方程为5 与y轴相切，且圆心坐标为(一5, 3)的圆的标准方程为 反思与感悟(1)确定圆的标准

4、方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程. 确定圆心和半径时， 常用到中点坐标公式、 两点间距离公式，有时还用到平面几何知识， 如“弦的中垂线必过圆心 “两条弦的中垂线的交点必为圆心等.跟踪训练1以两点A 3, 1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是()A. (x+ 1)2 + (y + 2)2 = 102 2B. (x 1) + (y 2) = 10022C. (x+ 1) + (y + 2) = 25反思与感悟待定系数法求圆的标准方程的一般步骤跟踪训练2 圆过两点 A(3,1) , B( 1,3),且它的圆心在直线3x

5、y 2= 0上，求此圆的标准方程.类型二点与圆的位置关系例3(1)点只吊5)与圆x2 + y2 = 24的位置关系是()A. 点P在圆内B.点P在圆外C.点P在圆上D.不确定点 M5a + 1 , a)在圆(x 1)2 + y2 = 26的内部，贝U a的取值范围是反思与感悟 (1)判断点与圆的位置关系的方法 只需计算该点与圆的圆心之间的距离，并与半径作比拟即可. 把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.(2)灵活运用假设点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围.跟踪训练3 点(1,1)在圆(x a)2 + (y + a)2 = 4的外部，那么

6、a的取值范围是2 假设本例条件不变，求 x2 + y2的最大值和最小值.反思与感悟(1)此题以圆为载体求函数的最值，求解过程中，注意代数与几何的联系，以化归的思想实现两者的转化，另外数形结合思想在求解过程中起到了桥梁作用，使问题的求解更形象、直观.(2)几种常见代数式的几何意义 x2+ y2：点(x, y)与原点的距离的平方.2 2 (X a) + (y b):点(x, y)与点(a, b)的距离的平方. X表示点(x, y)与原点(0,0)所在直线的斜率.y b xa表示点(x, y)与点(a, b)所在直线的斜率. 形如I = ax+ by形式的最值问题，可转化为动直线 y= *x+ $截

7、距的最值问题.跟踪训练4圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0) , B(5,0).(1)求此圆的标准方程； 设P(x, y)为圆C上任意一点，求点 P(x, y)到直线x y+ 1= 0的距离的最大值和最小 值.当堂训练1假设某圆的标准方程为(x 1)2+ (y+ 5)2= 3，那么此圆的圆心和半径长分别为()A. ( - 1,5) , :3B. (1 , 5) , :3C. ( 1,5) , 3D. (1 , 5) , 32. 圆心在y轴上，半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是()22A. x + (y 2) = 122B. x + (y+ 2) = 1C. (x 1)2 + (y

8、3)2 = 12 2D. x + (y 3) = 13点A(1 , 1), B( 1,1)，那么以线段 AB为直径的圆的方程为()八22l22匸A. x + y = 2B. x + y = ： 2C. x + y = 1D. x + y = 44假设实数x, y满足(x + 5)2+ (y 12) 2= 142,那么x2+ y2的最小值是 .5.求以下圆的标准方程.(1)圆的内接正方形相对的两个顶点分别为A(5,6) , C(3 , 4); 过两点 Q 1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆.规律与方法 1. 确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a, b, r的方程组求a, b, r

9、或直接求出圆心a, b和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题 效率.2讨论点与圆的位置关系可以从代数特征点的坐标是否满足圆的方程 或几何特征点到圆心的距离与半径的关系去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷.合案精析问题导学知识点一思考1 圆心和半径.思考2 能.梳理 (1)圆心半径(2)( x a)2 + (y b)2 = r2 坐标原点知识点三思考 I 0A2O(C = 2.题型探究2 2 2 2例 1(1)( x 2) + y = 9(2)( x + 5) + (y + 3) = 25解析 设圆心C的坐标为(a, 0)( a0),由题意知冒*，解得a= 2,那

10、么圆C的半径为r = | CM=忆 +5 2= 3.圆的标准方程为(x 2)2+ y2= 9./圆心坐标为(一5, 3), 又与y轴相切，该圆的半径为5,该圆的标准方程为(x + 5)2+ (y + 3)2= 25. 跟踪训练1 D AB为直径， AB的中点(1,2)为圆心，AB| =丹5 + 32+5 + 12 = 5 为半径, 该圆的标准方程为(x 1)2+ (y 2)2= 25. 例2解方法一(待定系数法) 设圆的标准方程为(x a)2+ (y b) 2= r2,2 2 2a + b = r ,2 2 2那么有 1 a +1 b = r ,2a+ 3b+ 1= 0,a= 4,解得b= 3

11、,r = 5.圆的标准方程是(x 4)2+ (y + 3)2= 25.方法二(直接法)由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x+ y 1 = 0.弦的垂直平分线过圆心，2x+ 3y + 1 = 0,x = 4,由得x + y 1 = 0,y = 3,即圆心坐标为(4 , 3),半径为 r = ：4 + 3= 5.圆的标准方程是(x 4)2+ (y + 3) 2= 25.跟踪训练2解 方法一设所求圆的标准方程为(x a)2+ (y b) 2= r2,3 a 2+1 b 2 = r2,2 2 2 依题意，有 1 a +3 b = r ,3a b 2= 0,2 . 2 . 2a + b 6a 2b=

12、r 10,即 a + b + 2a 6b= r 10,3a b 2 = 0.a= 2,解得b= 4,r2= 10.故所求圆的标准方程为2 2(x 2) + (y 4) = 10.方法直线AB的斜率k=所以线段AB的垂直平分线 m的斜率为2.线段AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x= 31 = 1, y= 宁 =2,因此直线m的方程为y 2= 2(x 1), 即 2x y = 0.又因为圆心在直线 3x y 2= 0上， 所以圆心是这两条直线的交点.2x y = 0,联立方程，得3x y 2= 0,x = 2,解得y = 4.设圆心为C,所以圆心坐标为(2,4).又因为半径r = |CA = .1

13、0,所以所求圆的标准方程为(x 2)2+ (y 4)2= 10. 方法三设圆心为C因为圆心在直线 3x y 2= 0上，所以可设圆心 C的坐标为(a,3a 2) 又因为|CA = | CB ,所以a 3+3a 2 1=v a+ 1+3a 2 3,解得a= 2.所以圆心为(2,4)，半径长r = |CA =10.故所求圆的标准方程为(x 2)2 + (y 4) 2= 10.例 3(1)B(2)0,1)解析 (1)由(mi)2+ 52=卅+ 2524,得点P在圆外.由题意知a?0,5 ：a+ 1 1 2+:a 226,a?0, 即解得Ow a1.26a26,跟踪训练 3(1) U (1 ,+)例4

14、 解 原方程表示以点(2,0)为圆心，以.3为半径的圆,y设_= k，即 y = kx.x当直线y = kx与圆相切时，斜率 k取最大值和最小值，解得k=3.故$的最大值为，3,最小值为.3.引申探究1. 解设 y x = b,即 y = x + b.当y= x + b与圆相切时，纵截距 b取得最大值和最小值， 此时 12 0+ b|= .3,即 b= 2 6.故y x的最大值为一 2 +寸6,最小值为2 ,6.2. 解 x2+ y2表示圆上的点与原点距离的平方.由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值,又圆心到原点的距离为2,故(x2+ yA 4.1) ma

15、x= (2 + ：3)2= 7 + 4 ：3(X2 + y2) min = (2 .3)2= 7 4 3.跟踪训练4解 由，得C(3,0) , r = I fB = 2,所求方程为(x 3)2 + y2= 4.圆心C到直线x y+ 1 = 0的距离|3 0 + 1|：12 + 12 .2 P到直线的最大距离为 2 + 2 ,：2，最小距离为2 .-2 2.当堂训练1. B2. A 方法一(直接法)设圆的圆心为qo, b),那么,：0 1 2+b 2 2= 1, b= 2,圆的标准方程是x2 + (y 2)2 = 1.方法二(数形结合法)2x + (y作图(如图)，根据点(1,2)至U圆心的距离为1易知，圆心为(0,2)