函数的连续性习题

1、第十节、闭区间上连续函数的性质第十节、闭区间上连续函数的性质（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用最值概念最值概念设设f( (x) )在区间在区间I上有定义，如果存在上有定义，如果存在x0 0I，使得，使得对任一对任一xI，恒有恒有 00( )()( )()f xf xf xf x 则称则称f( (x0 0) )是函数是函数f( (x) )在区间在区间I上的最大值（最小值）上的最大值（最小值）. .注注(1) 最大值可以等于最小值最大值可以等于最小值(2) 函数在区间函数在区间I上可能取不到最值上

2、可能取不到最值在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值最大值和最小值. .定理定理几何意义几何意义abxoy1 2 定理的条件是重要的定理的条件是重要的l注注u例例y= =x在在( (1,2)内内xoy1221311101xxxxxy在在 0,2 上上xoy12（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用设函数设函数f( (x) )在闭区间在闭区间 a,b 上连续，且上连续，且f( (a) )与与f( (b) )异号（即异号（即f

3、( (a)f( (b)0) )，则在开区间，则在开区间( (a,b) )内至少有一点内至少有一点使使f( ()=)=0. .定理定理几何意义几何意义如果连续曲线弧如果连续曲线弧y= =f( (x) )的两个端点的两个端点位于位于x轴的不同侧，那么这段曲线弧轴的不同侧，那么这段曲线弧与与x轴至少有一个交点轴至少有一个交点. .xoyab如果如果x0 0使使f( (x0 0)=0)=0，那么，那么x0 0称为函数称为函数f( (x) )的的零点零点. .（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用设函数设函

4、数f( (x) )在闭区间在闭区间 a,b 上连续，且在这区间的端点取上连续，且在这区间的端点取不同的函数值不同的函数值f( (a)=)=A及及f( (b)=)=B，则对于，则对于A与与B之间的任意之间的任意一个数一个数C，在开区间，在开区间( (a,b) )内至少有一点内至少有一点使得使得 f( ()=)=C ( (a b)定理定理几何意义几何意义Abxoya)(xfy BC连续曲线弧连续曲线弧y= =f( (x) )与水平直线与水平直线y= =C至少至少相交于一点相交于一点. .推论推论在闭区间在闭区间 a,b 上连续的函数上连续的函数f( (x) )的值域的值域为闭区间为闭区间 m,M,

5、其中其中m与与M依次为依次为f( (x) )在在 a,b 上的最小值与最大值上的最小值与最大值. .（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理（三）介值定理（四）应用u例例u例例01423 xx证明方程证明方程有一个实根有一个实根. .在区间在区间(0,1)内至少内至少),( 若若f (x)在在内连续内连续,且且)(limxfx 存在存在, ,则则内有界内有界. .f (x)在在),( 函数的连续性习题课函数的连续性习题课一、内容小结二、题型练习函数的连续性习题课函数的连续性习题课一、内容小结二、题型练习连续的概念连续的概念

6、定义定义注意注意优点优点yx 0lim0)()(lim000 xfxxfx是变量是变量x 直观、直观、 便于分析便于分析 )(lim0 xfxx)(lim0 xfxx )(0 xf 左连续左连续右连续右连续三个要点三个要点便于应用便于应用自然、自然、, 0 0 当当 |0 xx时时 | )()(|0 xfxfx可以等于可以等于0 x清晰、便于论证清晰、便于论证间断的概念与分类间断的概念与分类u概念概念在在处没有定义处没有定义)(xf0 x在在处有定义处有定义)(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在在在处有定义处有定义)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在但但)()(lim00 x

7、fxfxx 但但u分类分类间断点间断点和和)( 0 xf)( 0 xf都存在都存在第一类间断点第一类间断点和和)( 0 xf)( 0 xf至少一个不存在至少一个不存在第二类间断点第二类间断点)()( 00 xfxf可去间断点可去间断点)()( 00 xfxf跳跃间断点跳跃间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点初等函数的连续性初等函数的连续性基本初等函数在定义域内连续基本初等函数在定义域内连续连续函数经过复合运算仍连续连续函数经过复合运算仍连续连续函数经过四则运算仍连续连续函数经过四则运算仍连续初等函数初等函数在其定义区间内连续在其定义区间内连续闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性

8、质u有界性与最大值最小值定理有界性与最大值最小值定理u零点定理与介值定理零点定理与介值定理函数的连续性习题课函数的连续性习题课一、内容小结二、题型练习函数的连续性习题课函数的连续性习题课一、内容小结二、题型练习二、题型练习二、题型练习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题二、题型练习二、题型练习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题(1)(6)(2)(xf在在0 x处连续，处连续，)( xf在在0 x处也连续处也连续. .(3)( xf在在0 x处连续，处连续，)( xg在在0 x处不连续处不连续)()(xgxf

9、在在0 x处一定不连续处一定不连续. .(4)( xf在在0 x处不连续，处不连续，)(xg在在0 x处不连续处不连续)()(xgxf 在在0 x处一定不连续处一定不连续. .)(xf在在 ba,上不连续，则上不连续，则)( xf在在 ba,上无界上无界(5)一切初等函数在其定义域内连续一切初等函数在其定义域内连续. .u例例1 1判断下列说法的正确性判断下列说法的正确性)(xf在在0 x处连续，处连续，在在0 x处也连续处也连续. .| )(|xf二、题型练习二、题型练习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题二、题型练习二、题型练习（一）辨析题（二）间

10、断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题找间断点找间断点初等函数初等函数分段函数分段函数无定义的点无定义的点分段点（嫌疑）分段点（嫌疑）判类型判类型 求极限求极限求连续区间求连续区间 有定义的开区间有定义的开区间讨论分段点的连续性讨论分段点的连续性合并合并间断点间断点间断点间断点无定义的点无定义的点思路思路u例例2xxxxxf111111 )(确定下列函数的间断点确定下列函数的间断点, ,判断类型判断类型, ,并求连续区间并求连续区间讨论全面讨论全面xxxxxf)(sin)()(112 讨论左右极限讨论左右极限1( )lnf xxx=0=0也是间断点也是间断点(1)(2)(3

11、)011sin)1ln(0sin)(23xxxxxxxxf1112cos)(xxxxxfu补补1 1010sin)(xxxxxf确定下列函数的间断点确定下列函数的间断点, ,判断类型判断类型, ,并求连续区间并求连续区间xxf1arctan)(xxxf2tan)(1212)(11xxxf(4)(5)(1)(2)(3)(4)二、题型练习二、题型练习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题二、题型练习二、题型练习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题u例例3 3确定常数确定常数a, ,b使函数使函数011ln1010co

12、s1sin)(xbxxxxxaxxf在在x=0=0处连续处连续. .u补补2 2确定常数确定常数a, ,b使函数使函数1000111)21ln()(2xbxxaxxxxxf在在x=0=0处连续处连续. .u例例4 4设设 11xxaxxf)( 002xxxbxg)(确定确定a, ,b使使)()(xgxf 在在),( 内连续内连续. .u例例5 5设设21)(,lim)(xxgnnnnxfxxxxn 讨论复合函数讨论复合函数)(xgf在在内的连续性内的连续性. .及及)(xfg),( u例例6 6讨论讨论nnnnnxxxxxf 2lim)(的连续性的连续性. .u例例7 7u补补3 3讨论讨论x

13、xxxxfnnnn 112121lim)(的连续性的连续性. .设设,1lim)(2212 nnnxbxaxxxf确定常数确定常数a, ,b使使)(xf在在内连续内连续. .),( 二、题型练习二、题型练习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题二、题型练习二、题型练习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题u例例8 8u例例9 9设设bxaeaxf 1)(a, ,b为常数为常数确定常数确定常数a, ,b的正负并求的正负并求 lim ( ).xf x, 0)(lim xfx在在内连续内连续, ,),( 且且有无穷间断点

14、有无穷间断点设设)()(1 xxaexfx0 x及可去间断点及可去间断点试求常数试求常数a的值的值. ., 1 x二、题型练习二、题型练习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题二、题型练习二、题型练习（一）辨析题（二）间断点的判定（三）分段函数的连续性（四）确定常数（五）证明题( (五五) ) 证明题证明题1连续的概念2闭区间上连续函数的性质( (五五) ) 证明题证明题1连续的概念2闭区间上连续函数的性质u例例1010u例例1111u补补4 4设设xexf )(在在0 x处连续处连续, ,证明证明)(xf在在内连续内连续. .),( )()()(R,2

15、12121xfxfxxfxx 设设)(xf在在0 x处连续处连续, ,证明证明)(xf在在内连续内连续. .),( 在在)(xf)()()(R,212121xfxfxxfxx 设设0 x处连续处连续, ,证明证明)(xf在在内连续内连续. .),( ( (五五) ) 证明题证明题1连续的概念2闭区间上连续函数的性质( (五五) ) 证明题证明题1连续的概念2闭区间上连续函数的性质2 2闭区间上连续函数性质闭区间上连续函数性质（1）有界性与最值性（2）零点定理（3）介值定理2 2闭区间上连续函数性质闭区间上连续函数性质（1）有界性与最值性（2）零点定理（3）介值定理u例例1212u补补5 5证明

16、证明BxfAxfbxax )(lim,)(lim设设)(xf在在内连续内连续, ,)(xf在在),(ba内有界内有界. .),(ba设设)(xf在在内连续内连续, ,),( aBxfAxfxax )(lim,)(lim证明证明)(xf在在),( a内有界内有界. .2 2闭区间上连续函数性质闭区间上连续函数性质（1）有界性与最值性（2）零点定理（3）介值定理2 2闭区间上连续函数性质闭区间上连续函数性质（1）有界性与最值性（2）零点定理（3）介值定理（2 2）零点定理）零点定理u例例1313 证明证明01 xxsin在在 22 ,内至少有一个实根内至少有一个实根. .u例例1414 证明奇次多

17、项式证明奇次多项式)()(001221120 aaxaxaxpnnn至少有一个实根至少有一个实根. .方程根的存在性方程根的存在性（2 2）零点定理）零点定理构造辅助函数构造辅助函数u例例1515u例例1616u补补6 6设设)(xf在在2 , 0a证明证明上连续上连续, ,)()(aff20 ( )()f xf x a在在上至少有一个实根上至少有一个实根. ., 0a设设为连续函数，其定义域和值域都是为连续函数，其定义域和值域都是证明存在证明存在,ba 使使.)( f)(xf,ba)()(),()(bgbfagaf 设设)(),(xgxf上的两个连续函数，上的两个连续函数，是是证明存在证明存在),(0bax 使使 00()().f xg x,ba2 2闭区间