空间解析几何ppt课件

1、第七章 向量代数与空间解析几何好像平面解析几何那样，空间解析几何是经过建立空间直角坐标，把空间的点与三元有序数组对应起来，用三元方程及方程组来表示空间几何图形，从而可以用代数的方法来研讨空间几何问题，而这又是学习微积分的根底。1 向量及其线性运算 一.向量的概念1.数量与向量：仅有数值大小的物理量称数量或标量，如温度、时间等。不仅有大小，还有方向的量称向量或矢量，如力、速度等。2.向量的表示：普通用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，方向表示向量的方向。3.向量的记法：用粗体字母，如a、I；或上面加箭头的字母，如a4.向量的模：即向量的大小，MM21用顺序写出始点和终点的记法，如特殊情

2、形：单位向量：模等于1；零向量：模等于0，记为0，其方向可以是恣意的；负向量：与a大小相等方向相反的向量，记为-a.a的模记为a而其属性不变，本章中只研讨自在向量。5.自在向量：与始点位置无关的向量，可以对其进展平移1.向量的加法：即向量的合成，可参照力的合成法那么 定义：将a、b的始点放在一同，以a、b 为邻边作平行四边形，那么从始点到对角顶点的向量称a、b 的和，记a+b称平行四边形法那么。aba+b称为平行向量，也称为共线，易知其方向一样或相反。假设a与b在同一条直线上或在两条平行直线上，6.平行向量：7.向量相等：大小相等，方向一样，记a=b.二.向量的线性运算： 平行向量的和：当a与

3、b方向一样时，其和向量的模等于两向量模之和，其方向与a、b 方向一样；当a与b方向相反时，其和向量的模等于两向量模之差，其方向与a、b 中模较大的向量的方向一样； 运算律： 1交换律：a+b=b+a 2结合律：a+b+c= a+(b+c)三角形法那么：向量的加法还可以运用三角形法那么，如图： 特殊情况： a+0 = a ； a +- a = 0.babaaba+b0)()4aaaa0) 3621aaas3a2a1a4a5as6a2.向量的减法：两向量a与b的差a-b规定为a+-b，可运用三角形法那么求出，如图：aba-b2.向量在轴上的投影： 点在轴上的投影：过A作轴u的垂直平面，那么与u的交

4、点A称为A在轴u上的投影. 如图：AA 向量在轴上的投影：设A点的坐标为x1，y1，B点坐标为x2，y2，那么x2-x1称为向量 在x轴的投影，记作 ABprjxAB12xxBAprjx同样12yyBAprjy1x1y2y2x令 分别为x轴上的单位向量，那么有ji,jyyixxAB)()(1212),(1212yyxxAB或AB将投影 ， 分别叫做向量 的坐标12xx 12yy 再设C点的坐标 ，那么 ),(33yx23xxCBprjx不难证明CBjABjCBABjxxxPrPr)(PrCBjABjCBABjyyyPrPr)(Pr即和的投影等于投影的和普通地有： 个向量之和在 轴上的投影等于各

5、个向量在 轴上投影之和nuu注：相等向量在同一轴上的投影相等。 易知，当向量与轴成锐角时投影为正；成钝 角时投影为 负；成直角时投影为0.BAAuBBu3.关于向量投影的定理： 定理1：向量 在轴 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦。ABu其中=)(ABu即 cosBABAprju 任何一个向量可在坐标轴上的分解，即任何一个向量可在坐标轴上的分解，即jaiaayx分别称为分别称为 在在 轴，轴， 轴上的向量轴上的向量xyajaiayx,aprjaxxaprjayy称为投影，或坐标，或数量称为投影，或坐标，或数量yxaa ,jaiaayxm 假设知向量的坐标假设知向量的坐标 ,那么向量

6、的大小和那么向量的大小和m 方向就被确定由方向就被确定由 m 可得可得22yxaaaaax cosaay cos cos,cos称为称为 的方向余弦的方向余弦a定理：数与向量的乘积在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘积ajajuuPr)(Pr a总之，我们将数量和向量这一对矛盾一致在 之中jaiaayx2 空间直角坐标系与向量的坐标一.空间直角坐标系： 1.定义：由过同一原点O作三条相互垂直的数轴分别称ox轴、oy轴、oz轴，又称横轴、纵轴、竖轴，按右手法那么陈列所组成的坐标系称为空间直角坐标系，记为Oxyz。其中以三坐标轴正向确定的称第卦限，按逆时针方向依次称第、卦限，第卦限下面称第卦限

7、，再按逆时针方向依次称第、卦限。3.点的坐标：设有空间中点M，过M作三个平面分别垂直于Ox、Oy、Oz轴，并分别交三轴于点P、Q、R，设这三点在三轴上的坐标分别为x、y、z，那么称M点的在该空间坐标系中的坐标为x,y,z)，并记M点为M(x,y,z).如图：2.有关概念：在上面定义中的点O称为坐标原点；Ox轴、Oy轴、Oz轴称坐标轴；由每两条坐标轴所确定的平面称为坐标平面，其中由Ox轴和Oy轴所确定的平面称为xOy面，依次类推；三个坐标平面把整个空间分为八个部分，每个部分称为一个卦限，OQPzyxMR坐标平面：xOy面上为x,y,0)，yOz面上为0,y,z)，zOx上为 x,0,z)； 坐标

8、卦限：在第卦限中的点的坐标的符号依次为(+,+,+),(-,+,+),(-,-,+),(+,-,+),(+,+,-),(-,+,-),(-,-,+),(+,-,-).其中x、y、z分别称M点的横坐标、纵坐标和竖坐标。4.坐标特征：点的坐标有以下特征：坐标原点：0,0,0；坐标轴：x轴上为x,0,0)，y轴上为0,y,0)，z轴上为0,0,z)； zkyjxiOM也可记为zyxOM,二.向量的坐标：1.根本单位向量：此向量的坐标为OM为点M的向径，称向量设有空间中点Mx,y,z)， 2.点M的向径的坐标：分别记为i、j、k.正向一样的三个单位向量与x轴、y轴、z轴5.向量线性运算的坐标代数表示：

9、设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间中两点，AB3.向量的坐标：易知：AB=x2-x1,y2-y1,z2-z1易知i、j、k的坐标分别为1,0,0,0,1,0,0,014.i、j、k的坐标：设有向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,那么有 a=(ax)i+(ay)j+(az)k ab=(ax bx)i+(ay by)j+(az bz)k即ax= bx,ay= by,az= bz,从中消去得zzyyxxbababa其中假设上式中某个分母为0，那么其分子也为0.6.两向量平行的充要条件：我们知两向量a与b平行的充要条件是a= b,即两向量平行的充要条件是其坐标对应成比例，3a-2b=(18-6)i+(-12-8)j+(30+18)k=12i-20j+48k例例1 知两向量知两向量a=6i-4j+10k,b=3i+4j-9k,求a+2b,3a-2b.解解 a+2b=(6+6)i+(-4+8)j+(10-8)k=12i+4j-8k三.模与方向余弦的坐标表示： 1.模：222zyxaaaa其他弦称为该向量的方向余弦。aaaaaazyx cos