第10章压杆稳定

1、第10章压杆稳定第10章压杆稳定第10章压杆稳定10.1【学习基本要求】1、理解压杆稳定的稳定平衡、不稳定平衡、 临界力的概念。2、掌握不同杆端约束下细长杆的临界力的 计算公式。3、理解长度系数的意义，掌握与常见的几 种约束形式对应的长度系数。4、掌握临界力与压杆长度、横截面形状、 杆端约束的关系。5、理解压杆的柔度的概念，掌握柔度的计 算方法。6、明确欧拉公式的适用范围和临界应力计 算。7、熟练掌握大柔度杆、中柔度杆、小柔度 杆的判别方法及临界应力总图。&掌握压杆的稳定条件。9、能熟练运用安全系数法对不同柔度压杆 的稳定性进行分析计算。10、掌握提高压杆稳定性的措施。10.2【要点分析】1、

2、压杆稳定的概念稳定性：压杆能保持稳定的平衡性能称为压 杆具有稳定性。失稳：压杆不能保持稳定的平衡叫压杆失稳。 稳定平衡：细长杆在轴向压力下保持直线 平衡状态，如果给杆以微小的侧向干扰力，使 杆产生微小的弯曲，在撤去干扰力后，杆能够 恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，这种 原有的直线平衡状态称为稳定平衡。 不稳定平衡：撤去干扰力后，杆不会回到 原来的平衡，而是保持微弯或力 F继续增大， 杆继续弯曲，产生显著的变形，甚至发生突然 破坏，则称原有的 平衡为不稳定平衡。 失稳：轴向压力F由小逐渐增大的过程中， 压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种 现象称为压杆丧失稳定性或压杆失稳。临界平衡状态：

3、压杆在稳定平衡和不稳定 平衡之间的状态称为临界平衡状态。临界压力或临界力：压杆由直线状态的稳 定平衡过渡到不稳定平衡时所对应的轴向压 力，称为压杆的临界压力或临界力。（即能使压 杆保持微弯状态下的平衡的力）【注意】临界状态也是一种不稳定平衡 状态。临界状态下压杆即能在直线状态下也 能在微弯状态下保持平衡。临界力使压杆保 持微小弯曲平衡的最小压力。2、理想压杆理想压杆是指不存在初弯曲、初偏心、初 应力的承受轴向压力的均匀连续、各向同性的 直杆。工程中实际压杆与理想压杆有很大的区 别，因为实际压杆常常带有初始缺陷，如： 初弯曲的存在使压杆截面形心轴线不是理想直 线；初偏心的存在造成压力作用线与杆件

4、轴 线不重合；残余应力造成材料内部留有初应 力；材质不可能是完全均匀连续的。这些缺 陷不同程度的降低了压杆的稳定承载能力。3、细长压杆的临界力细长压杆的临界力与杆件的长度、材料的力 学性能、截面的几何性质和杆件两端的约束形 式有关。临界力计算公式称为欧拉公式，其统 一形式为2 2L兀2ElH 2EIFc八2 -2I。(10.1)【说明】EI为杆件的抗弯刚度；1。=卩1 称为相当长度或计算长度，其物理意义为各种 支承条件下，细长压杆失稳时挠曲线中相当于 半波正弦曲线的一段长度，也就是挠曲线上两 拐点间的长度，即各种支承情况下弹性曲线上相当于铰链的两点之间的距离；卩称为长度系 数，它反映了约束情况

5、对临界力的影响，具体 情况见表10-1。4、细长压杆的临界应力压杆处于临界状态时横截面上的平均应力 称为临界应力，用 石来表示。压杆在弹性范围 内的临界应力为h2E Fcr h2EI cr = =A = e l)2A(10.2)【说明】这是欧拉公式的另一种表达形 式。EI为杆件的抗弯刚度。I、A、i2=|/A 是只与杆横截面的形心主矩和截面面积，都是 与截面形状和尺寸有关的几何量；式中启卩/1 称为压杆的柔度或长细比，它全面地反映了压 杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界荷 载的影响，是压杆的一个重要参数。表10-1各种约束条件下等截面细长压杆的长度系数杆端支,|； -XLJLr 两端一端固

6、定，,|； -XLJLr 两端一端固定，承情况铰支一端铰支固定一端自由失稳时挠曲线形状尸0.7尸0.5尸25、欧拉公式的适用范围欧拉公式是以压杆的挠曲线近似微分方程 为依据而得到的，因此欧拉公式的适用条件是 材料在线弹性范围内工作，即临界应力不超过 材料的比例极限，即cr =王月兰6或 丸f或扎工人P(10.3)【说明】式中入为压杆的柔度或长细比。 式中十E/心，完全取决于材料的力学性质。 满足 f 的压杆才能适用欧拉公式。适用 欧拉公式的压杆称为细长杆或大柔度杆。6、中长杆的临界应力1)直线公式对于中长杆，把临界应力与压杆的柔度表 示成如下的线性关系。(10.4)【说明】式中a、b是与材料力

7、学性质有关 的系数，可以查相关手册得到。临界应力Ocr随着柔度入的减小而增大。该式适用于 的压杆，称为中长杆或中柔度杆，式中(ae/b , OS为材料的屈服极限。2)抛物线公式把临界应力与柔度，的关系表示为如下形式(10.5)【说明】式中o是 材料的屈服强度。a是 与材料性质有关的系数。 入是欧拉公式与抛物线 公式适用范围的分界柔 度。7、粗短杆的临界应力图当压杆的柔度满足 床入条件时，这样的压 杆称为粗短杆或小柔度杆。实验证明，小柔度 杆主要是由于应力达到材料的屈服强度（或抗 压强度 巫）而发生失效，属于强度问题。8临界应力总图以柔度入为横坐标，以临界应力 血为纵坐标， 作出 2入图，能够反

8、映三类压杆的临界应力 血 随压杆柔度入变化的情况，称为临界应力总图。 图10-1所示的是中长杆采用直线公式的临界应 力总图。9、压杆稳定计算的安全系数法在对压杆进行稳定计算时，以临界应力除 以大于1的安全系数所得的数值为准，即要求 横截面上的正应力 尺血/nst,通常将稳定条件写 成下列用安全系数表达的形式：（1.6）【说明】式中，nst为规定稳定安全系数。 nw称为压杆的工作安全系数。Fn是指压杆 的轴力。Ofcr和Fcr是指由临界应力总图得到 的临界应力和临界力。10、压杆稳定计算的折减系数法如果定义十玉山巴为稳定许用应力，其中nstocr为压杆的临界应力，nst为规定稳定安全系数， F

9、为强度计算时的许用应力。:称为折减系数， 是一个小于1的数，是压杆长细比的函数，反 映了随着压杆长细比的增加对稳定承载能力的 降低。因此，对于同种材料制成的等截面压杆， 稳定条件可表达为(10.7) 式中，Fn为压杆轴向；A为压杆的横截面面积。【说明】利用式(10.6)或式(10.7)就可进行 稳定性校核、设计截面和确定许可荷载等三个 方面的计算。需要指出的是，当压杆由于钉 孔或其他原因而使截面有局部削弱时，因为压 杆的临界力是根据整根杆的失稳来确定的，因 此在稳定计算中不必考虑局部截面削弱的影 响，而以毛面积进行计算。在强度计算中， 危险截面为局部被削弱的截面，应按净面积进 行计算。11、提

10、高压杆承载力的措施 影响压杆稳定性的因素有：压杆的截面形 状，压杆的长度、约束条件和材料的性质等。 所以提高压杆承载能力的措施可以从选择合理 的截面形式、减小压杆长度、改善约束条件及 合理选用材料等几个方面着手。10.3【范例讲解】例10-1图10-2所示两端球铰支承细长杆， 弹性模量E = 200GPa,试用欧拉公式计算其临 界力。1) 圆形截面，d=25 mm， 1=1.0 m;2) 矩形截面，h = 2b= 40 mm, l = 1.0 m;3) Nq16 工字钢，l = 2.0 m锣槪聿图解：1)圆形截面杆：两端球铰：尸14_d-84I1.9 10 m64229_8L兀 El 兀況20

11、0X10 X1.9X10=37.8 kNFcr1 二2(A 2(ixi 22)矩形截面杆：两端球铰：=,lyVlzly =hb 2.6 10-8 m4y 122Ely 二2 200 109 2.6 10723)No16工字钢杆：两端球铰：尸1 ,lyVlz查表 ly= 93.1 M0-8 m42兀 Ely 兀2200 汇 1093.1心0丄Fcr322459 kN(H )(仆2 )Fc2 =2252.6 kN(V1 )例10-2图10-3所示矩形截面压杆，有三种 支承方式。杆长I = 300 mm，截面宽度 b= 20 mm，高度h = 12 mm,弹性模量E = 70 GPa, ?p= 50

12、,瓜=30,中柔度杆的临界应力公式为cCr=382 MPa -（2.18 MPa）入 试计算它们的临界 力，并比较其大小。If4f解：（a）比较压杆弯曲平面的柔度：,.、田、田、I y ”： lz, iy : iz, ，y = ， ，z = , =，y z iyiz长度系数:旦=2 心173.2h0.012压杆是大柔度杆，兀2E2yFc（a）二:：cAA 二JI用欧拉公式计算临界力;70 10920.02 0.012 =5.53 kN173.22（b）长度系数和失稳平面的柔度:灼巴二旦=12 1 3 乂6.6iy h0.012压杆仍是大柔度杆，用欧拉公式计算临 界力；229H E兀 7 10F

13、cr(b)=cr A 二r A20.02 0.012 = 22.1 kN、:86.62(c) 长度系数和失稳平面的柔度：41 屁41 屁 y43.3iy h0.012压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力6Fcr(c)-；cr A 二 ab A =(3822.18 43.3) 100.02 0.12=69.0kN三种情况的临界压力的大小排序为Fcr(a) ：- Fcr(b) Fcr (c)。例10-3图10-4所示压杆，截面有四种形式。 但其面积均为A= 3.2 X0 mm2,试计算它们的 临界力，并进行比较。弹性模量E = 70 GPa, =50,瓜=30,中柔度杆的临界应力公式为cCr38

14、2 MPa -(2.18 MPa)入J(Fi b2 L(ayJ1(c 图z0.7 DI , n解：(a)比较压杆弯曲平面的柔度:，ziyly J，iy ：iz，y zi z矩形截面的高与宽:.b = 4 mm 2b = 8 mmA = 2b2 =3.2 10mm2也 .5 3=12990.004长度系数：尸0.5yiy压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力:229兀 2Eh70109上2yFcr（a）7rA 二 pA -0占3.2 10 10“=14.6 N122922a =3.2 10mm , a =4、2mm(b)计算压杆的柔度： 正方形的边长： 长度系数：尸0.5_巴=旦二孕普=918.6

15、i a4、2 10压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力:229兀 E兀 X70X106Fcr(b)-；cr A=- A23.2 10 10 = 26.2 N918.629 Fcr(d)=：；cr AA二 702103.2 10 10“ =73.1 N(c)计算压杆的柔度： 圆截面的直径：.d = 6.38 mm1 兀d2 =3.2 X10 mm24长度系数：尸0.5土竺斗940.46.38 10、 PI 4H.V 二 1 z i d压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力:二2E2970 109_6Fcr(c)=%r A = A23.2 10 10=25 NX940.4(d) 计算压杆的柔度：空心

16、圆截面的内径和外径：1 2 2 2 D2-(0.7D)2 =3.2 10 mm2. D =8.94 mm4长度系数：尸0.5i =i -1.49D1.49 0.00894.D2 (0.7D)2= 550压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力;5502四种情况的临界压力的大小排序为例10-4某钢材的比例极限 e=230MPa , os=274MPa ,弹性模量E = 200GPa,中柔度杆 的临界应力公式为ccr=338-1.22玄试计算 巾与 &的值，并绘出临界应力总图。解:2E200 109J=叫,-p.230 109338 - 6338 -2741.22 一1.22= 92.6= 52.5临

17、界应力总图如图10-5所示图例10-5图10-6所示压杆，横截面为b h的 矩形，试从稳定性方面考虑，确定 h/b的最佳值。当压杆在XN平面内失稳时，可取Py= 0.7。 解：1）在XN平面内弯曲时的柔度；b 卫 “7討iyb_b7122）在x丁平面内弯曲时的柔度；iz h_h3）考虑两个平面内弯曲的等稳定性；, 0.7屁1 =辰丄，7b hiy 二1 hb312_ _hb 12iz =13bh h12_ - hhb.12 = 1.429例10-6图10-7（a）所示桁架，由两根弯曲刚 度EI相同的等截面细长压杆组成。设荷载F与 杆AB的轴线的夹角为二，且0/2，试求荷 载F的极限值。(C(a

18、图(b解: 1)分析铰B的受力，画受力图如图10-7(b) 和封闭的力三角形如图10-7(c)。2)两杆的临界压力：F2二Fitanrl2 = 11 tan 60 ,= E2, h = 12,- A2 - 1兀2eiFcr1 *2113)两杆同时达到临界压力值，Fcr2 =Fctan *=tan v - (=cot?60-12AB和BC皆为细长压杆，则有:兀2eiFcr 22F为最大值;1 y - arcta n 312F cri由铰B的平衡得： : 2eiF cos = Fcr1F Fcri -10 Fcr12cos& 3fa 2 33a(2)正方 相同，F。例10-6图示五杆组成的正方形桁

19、架， 形边长为I，各杆横截面的抗弯刚度EI 且均为细长杆，试求结构失稳时的最大荷载 如果将荷载F的方向改为压力，则失稳时的最 大荷载又是多少？B(a(c(b图解：1）荷载F为拉力时，杆件1, 4受力分析 如图10-7（b）所示。列出平衡方程，得F1 cos 45 F4 cos 45 -F = 0F1 sin 45 - F4 sin45 = 0得讦42F（拉）2同理可得F2 =F32F（拉）2杆件1, 2, 5，B点处受力分析如图10-7（b） 所示。根据力的平衡条件，列出平衡方程失稳时，最大荷载为F5 - F-! cos45 - F2 cos 45 = 0 得F5二F（压）由公式F222兀EI

20、了旦L兀EI兀EIcr -2得 Fcr5 -1（V2H21由以上分析得，只有杆件 5受压，只要其发 生失稳破坏，即为结构失效。由此得出在正方形的五根杆件中，结构发生F 二2l22）当荷载F为压力时同理可以分析得R十2二F3二F4二#F(压),F5 = F(拉)由以上分析得，杆件1, 2, 3, 4受压，只要 其发生失稳破坏，即为结构失效。由 Fcr F 得 Fcr#1，即 F =、店“ =一2旦由此得出在正方形的五根杆件中，结构发生 失稳时，最大荷载为F =二$。例10-7图10-8(a)所示结构中杆 AB保持水 平，其长度li被固定不能改变，斜杆 BC的长 度可以随着夹角0的改变而改变。斜杆

21、 BC两 端铰支，横截面为实心圆截面。如果假定BC杆是细长压杆，试确定保证结构重量最轻时的 夹角0 解：受力分析如图10-8(b)所示，由题知，要是 结构重量最轻，即为BC杆件能满足条件时的最短距离，故BC达到临界力时，有兀2EIF2iV JCOST由平衡条件，得F = F?sin r 即 F = 一旦二 sinEI si nr cos2 rli2COST要是BC杆件最短时，即为dF 2 EIb2 2sin2 vcos)cos： cos2 ：故 =0_2sin 2 日 cos日 + cos日 cos2 日=0drcos v _ . 2sin v 2得 v - 35.3即在结构重量最轻时，.为3

22、5.30例10-8图10-9所示压杆横截面为空心正方 形的立柱，其两端固定，材料为优质钢，许用 应力=200MPa, ?p=100,尼=60, a=460MPa , b=2.57MPa, nst=2.5,因构造需要，在压杆中点 C开一直径为d=5mm的圆孔，断面形状如图 9-13所示。当顶部受压力 F=40kN时，试校核 其稳定性和强度。解：1）柔度计算:A(252 -152)二巴丿5 1100 5图工作安全系数2）临界应力计算?s 入 p入 二十 a-b，=460 - 2.57 65.4 =292MPa3）稳定性校核满足稳定性要求。4）强度校核压杆开孔处为危险截面AC=A-2 5 5 =25

23、2 -152 -50 =350mm23F 40 10A350=114.3MPa 讣訂=200MPa压杆的强度足够例10-9下端固定、上端铰支、长l=4m压杆， 由两根10号槽钢焊接而成，如图10-10所示。 已知杆的材料是Q235钢，强度许用应力 Q=170MPa，试按照折减系数法求压杆的许可解：查附录II型钢表可得到10号槽钢的各个参 数，并应用平行移轴公式得884lz =2 198.3 10=396.6 10 mI y =225.6 10* 12.74 10 32.82 10198.3 10=325.3 10m4惯性半径为，3253=3.573cm2 12.748ly柔度为?二益78.4查

24、折减系数表，并用插值法得到 二0.740 故压杆的许可荷载为F =1-0.740 2 12.748 10，170 106 = 321kN1）求内力杆CD受压力为Fcd，梁BC中最大弯矩32F_ 3例10-10图10-11所示结构中杆 AC与CD 均由Q235钢制成，C、D两处均为球铰。已知 d=200mm, b=100mm，h=180mm; E=200GPa, cs=235MPa , cb=400MPa ;强度安全系数 n=2.0, 稳定安全系数nst=3.0。试确定该结构的许可荷 载。 解： 为Mb2) 梁BC的强度计算” Mb 2F“ 4F CJ = = = J2 2 W 3bh bh n

25、62-9sbh 235 10100 18010F = 一95175N = 95.2n4T.03) 杆CD的稳定性计算20200 p120 104jt2EI兀2Ed4 兀3 x20009 乂204 疋10,23Fcr 22215.5 10 N=15.5kNl 64 l 6464 1F =3Fcd =3 Fcrr 1 F 15.5 7I.F St15.5kNst 3.03.0例10-11图10-12(a)示桁架结构，在节点 C承受铅垂方向的荷载F=100kN，二杆均为圆截面杆，材料为Q235钢，许用应力d=180MPa , 试确定杆的直径。解：受力分析如图10-12(b)所示，由平衡条件得55F1

26、F 100kN =83.33kN1 6 6 76T荷F2F100kN=130.17kN66先确定AC杆件的直径，600AC杆受拉，得(7A1斗空叫4.63卅k- I 180MPa(a4 4.63cm=24.3mm3.14A 冗Y由此得，在计算BC杆件的直径，1)初次估算，先取16 , 面积。d _ 24.3mm(b利用公式计图T压杆F2130.2kNA121.2056 10m20.6 180MPa直径为dj3.14惯性半径为i =d4=39.194 =9.7975mm柔度为一二匹79.72i 9.7975查折减系数表，并用插值法得到 其稳定性。:;丄 130.2kN2 : 108.00MPaA

27、 1.2056 勺 0 m匕-1 I八-0.733 180MPa=131.97MPa4 1.2056 10=39.19mm1=0.733 ,校核材料未充分利用，需要进一步试算;2）第二次试算，取 宁二冒埜0.6665，计 算压杆面积得F2130.2kN2 2A221.0853 10 m24 1.0853 10S ： 37.18mm2 一 0.6665 180MPa直径为d仏=-,3.14惯性半径为i =d4 =37.184 =9.295mm柔度为一二应L 84.03i 9.2952 二 0.706，校核查折减系数表，并用插值法得到 其稳定性。=F 13.2kN 2 ： 119.97MPaA 1

28、.0853 10 m2=丄 1 - 0.706 180MPa=127.08MPa许用稳定应力略大于工作应力，但在允许的 范围之内，所以认为满足稳定条件，可设计的 BC压杆的直径应为图例10-12如图10-13两根槽钢 由缀板连接组成立柱，柱的两端均 为球铰支承，柱长l=4m，受轴向 压力F=800kN。槽钢材料为Q235 钢，许用应力a =120MPa试从 稳定条件考虑选择槽钢的号码，并 求两槽钢间的距离2b及缀板间的 距离a。解：1）用迭代法设计槽钢型号 设 =0.5，贝卩二w=0.f 0.5 120 =60 MPa 由=2A w 有A F800X103 2A6 =66.7 102；1 2

29、60 10查型钢表，36b槽钢 则有T 8=3013.6iz查折减系数表，再设=0.73 ,800 1032 2m = 66.7 cmA8.11cm2 ,iz =13.6 cm =30 时， ，=0.958则；打=0.73二=0.73 120 =87.6 MPaA -2二w =2 87.6 106 查型钢表，32a槽钢， 则有，巴=罟=32-45.7 102 2m 二 45.7 cm2A = 48.5 cm ,iz 二 12.5 cmiz查折减系数表，用内插法查得， 即=0.958 0.927 -0.958（32 _30） =0.9524030再设，-0.84，则wA 一厶=39.6 10，2

30、刁w 2 101 106查型钢表，25b槽钢，则有 .=42.59.41iz =32 时，0.84匚=0.84 120 =101 MPa2 2m =39.6 cm2A = 40 cm ,iz 二 9.41 cm查折减系数表，用内插法查得， =42.5 时，=0.927 0.888 一.927(42.5-40)=0.92 5040再设，=0.88，则门A -800 10 6 -37.9 10* m2 =37.9 cm22刁w 2 105.6 106查型钢表，22槽钢，36.2 cm2 , iz=8.42 cm (面积 小 4.5%)= 0.880.88 120 =105.6 MPa则有izg=4

31、7.58.42 =47.5 时，查折减系数表，用内插法查得， :护=0.927 0.888 -.927（47.5 40） =0.9050-40 再设半=0.89，则 心打=0.89题 10-24) 图题10-2图(4)所示材料、截面形状、面积 均相同的压杆 AB、BC, AB = 2BC,在受到压 力F时。(A)AB杆先失稳(B)BC杆先失稳(C)两杆同 时失稳(D)无法判断c题 10-2题 10-2 题 10-2题 10-25) 题10-2图(5)所示中钢管在常温下安装，当- 会引起钢管的失稳。(A) 温度降低；(B)温度升高与降低都会引起失稳；(C)温度升高；(D)温度升高或降低都不会引起

32、失稳；6) 题 10-2 图(6)所示边长为 a=2X1.732 10mm 的正方形截面大柔度杆，杆长为 500毫米，承 受轴向压力F=4冗2kN，材料的弹性摸量为E = 100GPa,则该压杆的工作安全系数为 。(A) n=1 ；(B)n=2 ；(C)n=3 ；(D) n=4 ；7) 题10-2图(7)所示结构中，当时，结 构的承载力最大。(A) e =0 (B) e= 90o (C)二杆轴力相等；(D) 二杆同时达到各自的临界压力；8) 题10-2图(8)所示力F由向下改成向上，贝V结构的稳定性。(A)提高；(B):不变；(C)降低：(D)不确题 10-2题 10-29) 由四根相同的等边

33、角钢组成一组合截面压杆，若组合截面的形状分别如题10-2图(9)所示， 在此两种截面形式下：。(A)稳定性不同，强度相同；(B)稳定性相同，强度不同；(C)稳定性不同，强度不同；(D)稳定性相同，强度相同；10) 中心受压细长直杆丧失承载能力的原因为。(A) 横截面上的应力达到材料的比例极限；(B) 横截面上的应力达到材料的屈服极限；(C) 横截面上的应力达到材料的强度极限；(D) 压杆丧失直线平衡状态的稳定性11) 压杆失稳将在的纵向平面内发生。(A)长度系数1最大；(B)截面惯性半径i最小；(C)柔度，最大；(D)柔度，最小。12) 两根细长压杆a、b的长度，横截面面积、约束状态及材料均相

34、同，若其横截面形状分别 为正方形和圆形，则两压杆的临界压力 Facr和 Fbcr的关系为。(A)FacrVF bcr；(B)F acr=F(C)FacrF(D)不可确定。13) 在稳定性计算中，有可能发生两种情况：一是用细长杆的公式计算中长杆的临界压力； 一是用中长杆的公式计算细长杆的临界压力。 其后果是。(A) 前者的结果偏于安全，后者偏于不安全；(B) 二者的结果都偏于安全；(C) 前者的结果偏于不安全，后者偏于安全；D、二者的结果都偏于不安全。14) 由低碳钢制成的细长压杆，经过冷作硬化后，其。(A)稳定性提高，强度不变；(B)稳定性不变，强 度提高；(C)稳定性和强度都提高；(D)稳定

35、性和强度都不 变。15) 两端球形铰支的细长中心压杆，横截面为bXh的矩形，且h=2b,材料为A3钢。为提高 压杆的稳定承载能力，下列方案中提高承载力 最大的是。(A)压杆材料改用高强度合金钢(B) 将压杆下端铰支座改为固定端支座(C) 在压杆的中央增设一铰支座(D) 将压杆矩形截面改为边长为側的正方形截面10-3试分析当分别取图(a)(b)(c)(d)所示坐标系 及挠曲线形状时，压杆在临界力Fcr作用下的挠 曲线微分方程是否相同，由此所得临界力计算 Fcr公式又是否相同。10-4图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承 受的压力哪根最大，哪根最小(图f所示杆在中 间支承处不能转动)？10-5图示

36、结构中两根柱子下端固定，上端与一 可活动的刚性块固结在一起。已知I = 3m,直 径d = 20mm，柱子轴线之间的间距 a = 60mm。 柱子的材料均为 Q235钢，E = 200GPa，柱子 所受载荷Fp的作用线与两柱子等间距，并作用 在两柱子所在的平面内。假设各种情形下欧拉 公式均适用，试求结构的临界力。10-6图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截 面钢杆组成，在B点铰支，而在A点和C点固 定，D为铰接点，l/d=10n若结构由于杆件在 平面ABCD内弹性失稳而丧失承载能力，试确 定作用于结点D处的荷载F的临界值。10-7图示铰接杆系ABC由两根具有相同截面和 同样材料的细长杆所组成

37、。若由于杆件在平面 ABC内失稳而引起毁坏，试确定荷载F为最大时 的（角（假设0 o n2）。10-8长5m的10号工字钢，在温度为0C时安装在 两个固定支座之间，这时杆不受力。已知钢的 线膨胀系数 a=125X10-7 （C） -1, E=200GPa。试 问当温度升高至多少度时，杆将丧失稳定性？题10-9如果杆分别由下列材料制成：1) 比例极限cp=220MPa,弹性模量E=190GPa 的钢；2) op=490MPa , E=215GPa,含镍 3.5% 的镍钢；3) cp=20MPa , E=11GPa 的松木。试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔 度。10-10下端固定、上端铰支

38、、长l=4m的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所示，并符合钢 结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的；已知杆的材料为Q235钢，强度许用应力t=170MPa，试求压杆的许可荷载10-11图示结构由钢曲杆AB和强度等级为TC13 的木杆BC组成。已知结构所有的连接均为铰连 接，在B点处承受竖直荷载F=1.3kN，木材的强 度许用应力Q=10MPa。试校核BC杆的稳定性。10-12一支柱由4根80mM 80mM 6mm的角钢 组成（如图），并符合钢结构设计规范中实腹式 b类截面中心受压杆的要求。支柱的两端为铰 支，柱长l=6m,压力为450kN。若材料为Q235 钢，强度许用应力d=170M

39、Pa，试求支柱横截 面边长a的尺寸。10-13某桁架的受压弦杆长4m,由缀板焊成一 体，并符合钢结构设计规范中实腹式 b类截面 中心受压杆的要求，截面形式如图所示，材料为Q235钢，沪仃0MPa。若按两端铰支考虑， 试求杆所能承受的许可压力。10-14图示结构中，BC为圆截面杆，其直径 d=80mm; AC边长a=70mm的正方形截面杆。已知该结构的约束情况为 A端固定，B、C为球 形铰。两杆的材料均为 Q235钢，弹性模量 E=210MPa，可各自独立发生弯曲互不影响。 若 结构的稳定安全系数nst=2.5,试求所能承受的 许可压力。10-15图示一简单托架，其撑杆AB为圆截面木 杆，强度等

40、级为TC15。若架上受集度为 q=50kN/m的均布荷载作用，AB两端为柱形铰， 材料的强度许用应力Q=11MPa，试求撑杆所 需的直径do10-16图示为一用20a工字钢制成的压杆，材料为Q235钢，E=200MPa，二p =200MPa，压杆长度i =5m, F=200kN。若nst=2.0,试校核压杆的稳 定性。题10-仃简易吊车摇臂如图所示，两端铰接的 AB 杆由钢管制成，材料为Q235钢，其强度许用应 力.:/40MPa，试校核AB杆的稳定性。10-18机车摇杆（近似视为等截面杆）如图所示， 截面为工字形，材料为Q235钢，杆所受的轴向 压力460kN。有摇杆运动平面内（图中 xz面

41、）发生屈曲时，两端可视为铰链约束；而在 xy平 面内发生屈曲时，两端可视为固定。试确定摇 杆的工作安全因数。（已知中长杆临界应力用式 ；U；o _k 235 -0.006682 MPa 计算）10-佃 图示连杆，材料为 Q235钢，其 E=200MPa，心=200MPa，235MPa，承受轴向压 力F=110kN。若nst=3，试校核连杆的稳定性。10-20图示结构中 AB为圆截面杆，直径 d = 80mm，杆BC为正方形截面，边长 a = 70mm， 两杆材料均为 Q235钢，E = 200GPa，两部分 可以各自独立发生屈曲而互不影响。已知 A端 固定，B、C为球铰，I = 3m，稳定安全

42、因数nst =2.5。试求此结构的许可载荷Fp。rjT曲牺销题10-21图示刚性杆AD在A端铰支；点B与直径 di = 50mm的钢圆杆铰接，钢杆材料为Q235钢，Ei = 200GPa, h = 160MPa;点 C 与直径 d2 = 100mm的铸铁圆柱铰接，铸铁的E2 = 120GPa, m = 120MPa。试求结构的许可载荷。10-22图示梁及柱的材料均为Q235钢，E = 200GPa， s = 240MPa，均布载荷 q = 24kN/m , 竖杆为两根63W3X5等边角钢（连结成一整体） 试确定梁及柱的工作安全因数。10-23图示工字钢直杆在温度ti = 20 C时安装， 此时

43、杆不受力，已知杆长I = -6m，材料为Q235钢，E = 200GPa。题3试问当温度升高杆将失稳。（材料的线膨胀系数| i1Lv-Na, 30a1) &理由：压杆失稳的主要原因是压杆承 受的压力达到了压杆本身的临界压力。2) “3) &理由：压杆的临界力取决于两端的约 束、杆件的长度、材料、截面的形状。即使横 截面的面积相同，但如果形状不同，截面的惯 性矩就不同，工作柔度也不同。4) &理由：对于轴向受压的杆件需要考虑 它的稳定性问题，而稳定性与截面的形状有关， 固必须考虑截面的合理形状。5) “6) &理由：压杆失稳时，应力并不一定很 高，有时甚至低于比例极限。固满足强度的压 杆不一定满

44、足稳定性；但满足稳定性的压杆一 定满足强度。7) &理由：压杆失稳是不能维持原有的直 线平衡，变为曲线形式的平衡 一一即发生了弯 曲。8) &理由：压杆总在工作柔度大的纵向面 内失稳。因为在工作柔度大的纵向面内，压杆 的临界应力小，相应的临界压力小，压杆在此 面内容易失稳。9) “10) 10-2选择题1) A, D 2) A3) A 4) C 5) C6) C7) D 8) C9) A10) D 11A12) C13) D 14) B15) C10-3解：挠曲线微分方程与坐标系的y轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。因为(b)图与 (a)图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微 分方程相同，都

45、是ElyM(x)。(C)、(d)的坐标系 相同，它们具有相同的挠曲线微分方程： Ely =m(x)，显然，这微分方程与(a)的微分方程不 同。临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端 的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的10-4解：压杆能承受的临界压力为：F _ 7：2EICr -(D)2。位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即:Fcr二2Ell2o由此式可知，对于材料和截面相同的压杆，它 们能承受的压力与 原压相的相当长度7的平方成反比，其中，为与约束情况有关的长度系数(a) 7 =1 5 =5m(b) H =0.7 汉 7 =4.9m(c) 7 = 0.5 9 二 4.5m(d) T =2 2 =4m(e) T -1 8 =8m(f) T -0.7 5= 3.5m (下段)； 円=0.5 沢 5 = 2.5m (上段) 故图(e)所示杆Fcr最小，图(f)所示杆Fcr最大10-5解：本题可能的失稳方式有四种，如图所 示。33 4* n Ed千2 Fp c讦28I图(a)两杆分别失稳J= 0.5 2匚n