高等数学教学课件汇编11-1

1、无穷级数 无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数傅里叶级数傅里叶级数第十一章第十一章11.1 常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质定义：定义： 给定一个数列给定一个数列,321nuuuu将各项依将各项依,1nnu即即1nnunuuuu321称上式为（常数项）称上式为（常数项）无穷级数无穷级数，简称级数。，简称级数。其中第其中第 n 项项nu叫做级数的叫做级数的一般项一般项,次相加次相加, 简记为简记为一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 部分和数列部分和数列,11us ,212uu

2、s,3213uuus,21nnuuus,lim存在若ssnn收敛收敛 ,则称无穷级数则称无穷级数并称并称 s 为级数的为级数的和和,记作记作1nnu1nnus级数的前级数的前 n 项和项和nkknus1称为级数的称为级数的部分和部分和.nuuuu321当级数收敛时当级数收敛时, 称差值称差值21nnnnuussr为级数的为级数的余项余项.,lim不存在若nns则称无穷级数则称无穷级数发散发散 .显然显然0limnnr例例1. 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性: .) 12)(12(1)2( ;1ln) 1 (11nnnnnn解解: (1) 12lnnsnnln) 1ln()2ln3(l

3、n) 1ln2(ln) 1ln( n）n(所以级数所以级数 (1) 发散发散 ;技巧技巧:利用利用 “拆项相消拆项相消” 求求和和23ln34lnnn1lnnnnnunln) 1ln(1ln)12)(12(1 nnun),121121(21 nn) 12() 12(1531311nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn),1211(21 n)1211 (21limlimnsnnn,21 .21, 和为和为级数收敛级数收敛解解: (2) 例例 2 2 讨论等比级数讨论等比级数( (几何级数几何级数) ) 1211nnnaqaqaqaaq )0( a的收敛性的收敛性. .

4、解解则若, 1q12nnaqaqaqasqqan1)1 (,1时时当当 q0lim nnqqasnn1lim,1时时当当 q nnqlimnnslim 收敛收敛 发散发散则若, 1q,1时时当当 q,1时时当当 q nasn 发散发散 aaaa级级数数变变为为因此因此nsn 为奇数为奇数n 为偶数为偶数从而从而nnslim,a,0不存在不存在 , 因此级数发散因此级数发散.综上综上,1q时时, 等比级数收敛等比级数收敛 ,且其和为且其和为 ;1q时时, 等比级数发散等比级数发散 .qa1二、级数收敛的必要条件二、级数收敛的必要条件 设收敛级数设收敛级数,1nnus则必有则必有.0limnnu证

5、证: 1nnnssu1limlimlimnnnnnnssu0ss可见可见: 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散则级数必发散 .例如例如,nnnnnn111)1(,9100 均发散均发散.注意注意:0limnnu并非级数收敛的充分条件并非级数收敛的充分条件.例如例如, 调和级数调和级数nnn13121111虽然虽然，01limlimnunnn但此级数发散但此级数发散 .事实上事实上 , 假设调和级数收敛于假设调和级数收敛于 s , 则则0)(lim2nnnssnn2nnnn21312111但但nnss2矛盾矛盾! 所以假设不真所以假设不真 .21三、级数的基本性质三、级

6、数的基本性质 性质性质1. 若级数若级数1nnu收敛于收敛于 s ,1nnus则各项则各项乘以常数乘以常数 c 所得级数所得级数1nnuc也收敛也收敛 ,证证: 令令,1nkknus则则nkknuc1,nscnnlimsc这说明这说明1nnuc收敛收敛 , 其和为其和为 c s . nnsclim说明说明: 级数各项乘以级数各项乘以非零常数非零常数后其敛散性不变后其敛散性不变 .即即其和为其和为 c s .性质性质2. 设有两个收敛级数设有两个收敛级数,1nnus1nnv则级数则级数)(1nnnvu 也收敛也收敛, 其和为其和为.s证证: 令令,1nkknus,1nkknv则则)(1knkkn

7、vu nns)(ns这说明级数这说明级数)(1nnnvu 也收敛也收敛, 其和为其和为.s说明说明:(2) 若两级数中一个收敛一个发散若两级数中一个收敛一个发散 , 则则)(1nnnvu 必发散必发散 . 但若二级数都发散但若二级数都发散 ,)(1nnnvu 不一定发散不一定发散.例如例如, ,) 1(2nnu取,) 1(12 nnv0nnvu而(1) 性质性质2 表明收敛级数可逐项相加或减表明收敛级数可逐项相加或减 .(用反证法可证用反证法可证)性质性质3. 在级数前面加上、去掉或改变在级数前面加上、去掉或改变有限项有限项, 不会影不会影响级数响级数 的敛散性的敛散性.证证: 将级数将级数1

8、nnu的前的前 k 项去掉项去掉,1nnku的部分和为的部分和为nllknu1knkssnkns与,时由于n数敛散性相同数敛散性相同. 当级数收敛时当级数收敛时, 其和的关系为其和的关系为.kss 类似可证前面加上有限项的情况类似可证前面加上有限项的情况 .极限状况相同极限状况相同, 故新旧两级故新旧两级所得新级数所得新级数)()()(10987654321uuuuuuuuuu,21s,52s,103s,knks则新级数的部分和数列则新级数的部分和数列 为原级数部分和为原级数部分和数列数列 ),2,1(nsn的一个子数列的一个子数列,knkkks limlims因此必有因此必有性质性质4. 收

9、敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原级收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原级数数的和的和.证证: 设收敛级数设收敛级数若将其任意加括号若将其任意加括号, 例如例如其部分和其部分和推论推论: 若加括号后的级数发散若加括号后的级数发散, 则原级数必发散则原级数必发散.注意注意: 收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.,0) 11 () 11 (但但1111发散发散.例如例如，例例4.判断级数的敛散性判断级数的敛散性:141141131131121121解解: 考虑加括号后的级数考虑加括号后的级数)()()(1411411311311211211111nnan12nnna2发散发散 , 从而原级数