华中农业大学微积分方红-第三章4

1、第四节第四节 有理函数的积分有理函数的积分 .)()()( ,)(),(为有理函数为有理函数则称则称次多项式次多项式次次分别为分别为设设xqxpxrmnxqxpmnmn .)(,;)(,为真分式为真分式称称为假分式为假分式称称xrmnxrmn 由长除法：假分式由长除法：假分式= =多项式多项式+ +真分式真分式 重点：重点：真分式的积分。真分式的积分。 一、最简真分式的积分一、最简真分式的积分 )04( ?)()4()04( ?)3()(111)()2(ln)1(22221qpdxqpxxnmxqpdxqpxxnmxcaxkaxdxcaxaxdxkkk例例1 1、求积分。、求积分。 kaxdx

2、dxxxx)()2( 5423)1(222提示：提示： dxxxx327)22(23)1(2原式原式 ?cossin3cos2sin)2( ?3243)1(2dxxxxxdxxxxdxxxxxbxxa cossin3)cossin3()sincos3()2(原式原式二、真分式分解二、真分式分解 分解步骤：分解步骤： ;)1(内分解因式内分解因式将分母在将分母在r:)2(真分式分解真分式分解kkkaxaaxaaxakax)()( :,)(221 项之和项之和则分解式中含则分解式中含若分母含若分母含kkkkqpxxbxaqpxxbxaqpxxbxakqpxx)()( :,)(222222112 项

3、之和项之和则分解式中含则分解式中含若分母含若分母含三、真分式积分三、真分式积分 例例2 2、求积分。、求积分。 )1)(1()2( 1)1(223xxdxxdx例例3 3、求积分。、求积分。 )1()2( 11)1(442xxdxdxxx 待定系数法：待定系数法： （1 1）比较同次幂系数；）比较同次幂系数； （2 2）特殊值法。）特殊值法。 ?1)2( ?11)1(442xdxdxxx四、可化为有理函数的积分四、可化为有理函数的积分 dxxxrdxdcxbaxxrdxernx)sin,(cos)3(),()2()()1( xxdxdxxxxdxeexxcossin)3( 11)2( 11)1

4、(例例4 4、求积分。、求积分。 五、积不出来的积分五、积不出来的积分 下列积分属于积不出来的积分：下列积分属于积不出来的积分： )10( sin1 ,sin,sin ,ln1 ,2222 kxkdxxxdxxdxxdxex?sin1 xdx六、综合举例六、综合举例 例例5 5、求积分。、求积分。 dxeedxxxedxexedxxxedxxxxdxxxxdxxxxxxdxxxxxxx arctan)8( )1()7(1)6( )1()5()1(arctan)4( 1arcsin)3(cos1sin)2( sin22sin)1(232arctan2222高次化低次。高次化低次。分母化因式。分母化因式。 无理化有理。无理化有理。变量化一致。变量化一致。变形原则：变形原则： 作作 业业 习题习题3-43-4：偶数题：偶数题 练练 习习 题题 ).(, 0)( , 1)0(,2sin)()( ,0,)()(. 211)6( sin)5( )1(tan)4( sinsinln)3( )4()2( 1)2()1( . 12222