勾股定理课件课件

1、2a2b2c 分别以直角分别以直角ABCABC的三边的三边BC,AC,ABBC,AC,AB为边，向为边，向外作三个正方形，若三边长分别为外作三个正方形，若三边长分别为a,b,ca,b,c。abcBCA三个正方形的三个正方形的面积具有怎样面积具有怎样的数量关系呢？的数量关系呢？（1 1）观察左图：正方形）观察左图：正方形A A的面积是的面积是_个单位面积。个单位面积。 正方形正方形B B的面积是的面积是_ 个单位面积。个单位面积。 正方形正方形C C的面积是的面积是_ 个单位面积。个单位面积。16925（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）C CBCA割补你是如何数

2、出你是如何数出C C的面积的？的面积的？（1 1）观察左图：正方形）观察左图：正方形A A的面积是的面积是_个单位面积。个单位面积。 正方形正方形B B的面积是的面积是_ 个单位面积。个单位面积。 正方形正方形C C的面积是的面积是_ 个单位面积。个单位面积。16925（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）割补图中的三个正方形图中的三个正方形的面积有什么关系？的面积有什么关系？下页下页C CBAcC CBCA4321477cS734返回“补补”的方法的方法25SC C = S大正方形大正方形 - 4S小直角三角形小直角三角形 C CBCA“割割”的方法的方法143

3、214cS3425返回SC C = 4S小直角三角形小直角三角形 + S小正方形小正方形A AB BC Ca ac cb bS SA A+S+SB B=S=SC C2AaS 2BbS 2CcS 直角三角形三边直角三角形三边之间的数量关系之间的数量关系a a2 2+b+b2 2=c=c2 2图中的三个正方形的面积有什么关系？图中的三个正方形的面积有什么关系？ 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。abc如果如果直角三角形直角三角形两直角边长分别为两直角边长分别为a a、b,b,斜边斜边长长为为c c，那么那么222cba勾股（弦）定理勾股（弦）定理1

4、.1.成立条件成立条件： 在直角三角形中在直角三角形中3.3.作用作用：已知直角三角形任意两边长，：已知直角三角形任意两边长， 求第三边长。求第三边长。2.2.公式变形公式变形: :abc222acb222bca如果如果直角三角形直角三角形两直角边长分别为两直角边长分别为a a、b,b,斜边长为斜边长为c c，那么那么222cba：）课课 堂堂 随随 练练请求出下列各图中的未知数请求出下列各图中的未知数x x、y y的值的值. .xcm236cm36cm2 264cm64cm2 2ycm280cm80cm2 233cm33cm2 2课课 堂堂 随随 练练请说出下列直角三角形中未知的边长请说出下

5、列直角三角形中未知的边长. .1616x x1212x x39391515E ED DF FC CA AB B判断判断在直角三角形中在直角三角形中, ,两边的平方和等于第三边两边的平方和等于第三边的平方的平方. . （ ） 若三角形的三边长若三角形的三边长a a、b b、c c满足满足(a+b)(a+b)2 2=c=c2 2+2ab.+2ab.那么这个三角形是直角三角那么这个三角形是直角三角形形 ( )( )若若a a、b b、c c为为RtRtABCABC的三边的三边, ,且且C=90C=90, ,则则a a2 2+b+b2 2=c=c2 2. . ( )( )若若a=6,c=10,a=6,

6、c=10,则则b=_.b=_.在在RtRtABCABC中中,C=90,C=900 0. .若若a=12,b=5,a=12,b=5,则斜边则斜边c c上的高上的高h=_.h=_.若若a:b=3:4,c=10,a:b=3:4,c=10,则则a=_,b=_.a=_,b=_.8 88 86 61360填空填空若直角三角形的三边为若直角三角形的三边为6 6、8 8、x x，则则x x的长为的长为 （ ）A.A.6 6 B.B.8 8 C.C.10 10 D.D.以上答案均不对以上答案均不对D D选择选择课课 堂堂 随随 练练如图如图, ,以以RtRtABCABC的三边为直径的的三边为直径的3 3个个半圆

7、的面积有什么关系半圆的面积有什么关系? ?请你说明理由请你说明理由. . 如图，所有的四如图，所有的四边形都是正方形，所边形都是正方形，所有的三角形都是直角有的三角形都是直角三角形三角形, ,其中最大的其中最大的正方形的边长是正方形的边长是7cm,7cm,则正方形则正方形A A、B B、C C、D D的面积之和是的面积之和是_. _. 相相 关关 链链 接接49cm2497cm7cmA AB BC CD D1.1.求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长: :8 8171712125 5xx用勾股定理用勾股定理建立方程建立方程. .2222178225015xxxx解：2222

8、125169013xxxx解：判断哪条边判断哪条边是斜边！是斜边！ 2. 受台风莎麦影响，一棵树在离地面受台风莎麦影响，一棵树在离地面4 4米处断裂，米处断裂，树的顶部落在离树根底部树的顶部落在离树根底部3 3米处，问这棵树折断前有米处，问这棵树折断前有多高？（注：树干与地面垂直）多高？（注：树干与地面垂直）4米米3米米ABC解：解：222,4,3ABCACBCABACBC在RT中，ACB=902224325AB 即：05ABAB又（米）9ABAC（米）答：这棵树折断前高9米常用勾股数：常用勾股数：勾勾3 3，股，股4 4，弦，弦5 53如图，直角ABC的主要性质是：C=90两锐角之间的关系：

9、_； 若D为斜边中点，则斜边中线_； 三边之间的关系：_； 若B=30，则 B的对边和斜边：_。课堂练习课堂练习ACBD互余等于斜边的一半AC2+BC2=AB2对边是斜边的一半5、已知：、已知：RtABC中，中，AB12，AC5,则则 BC 等于等于_.2169 或或119注意：哪条边是斜边!分类讨论分类讨论思想思想12125 5ACBBCBC为斜边为斜边12125 5CABBABA为斜边为斜边图1x11zy11x图2仔细想想仔细想想! !2322zy11x图23225655zy11x图232256 在数轴上表示 ， 的点怎样画出?7,67,6 151612DCBA图36.6.高速公路上有高速

10、公路上有A A、B B两站相距两站相距25km25km，C C、D D为两个小为两个小鎮，鎮，DA=15km,CB=10kmDA=15km,CB=10km，现在要在公路边上建设一，现在要在公路边上建设一个收购站个收购站E E，使得它到两镇的距离相等，则，使得它到两镇的距离相等，则E E站应建站应建在距在距A A站多远处站多远处? ?DAEBC,25)AExEBx解：设长为 千米则长为(千米，由题意得：1510 x25-x方程思想方程思想2222151025)xx（10 x 解之得：答：E站应建在距A站10千米处。4:4:已知已知: :ABCABC中中,A=60,A=60,AB=9cm,AC=1

11、4cm,AB=9cm,AC=14cm,求求BCBC的的长长. .ABCD60方法小结方法小结: :在三角形中求边长问题在三角形中求边长问题, ,往往利用勾股往往利用勾股定理定理, ,若题中没有直角三角形若题中没有直角三角形, ,可构成直角三角形可构成直角三角形. .DCBA图4解：作ADBC，ABC是等边三角形，在RtABC中， 362121BCBD196. 527362222BDABAD6 .1558.15196. 562121ADBCSC DCBA图5DCBA图6如图如图, ,折叠长方形折叠长方形（四个角都是直角，（四个角都是直角，对边相等）对边相等）的一边，使点的一边，使点DD落在落在B

12、CBC边上的点边上的点F F处，若处，若AB=8AB=8，AD=10.AD=10.（1 1）你能说出图中哪些线段的长）你能说出图中哪些线段的长? ?（2 2）求）求ECEC的长的长. .10104 46 68 81010 x xEFDCBA8-x8-x8-x8-x7. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干个图形，使得都是直角三角形，请在图中找出若干个图形，使得他们的面积之和恰好等于最大的正方形面积，尝试他们的面积之和恰好等于最大的正方形面积，尝试给出两种以上的方案。给出两种以上的方案。你能用严密的推理方法你能用严密

13、的推理方法验证勾股定理吗？验证勾股定理吗？体体 验验 中中 考考1206014060ABC如图如图, ,是一个外轮廓为长方形的机器是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图零件平面示意图, ,根据图中标出的尺寸根据图中标出的尺寸( (单位：单位：mm),mm),计算两孔中心计算两孔中心A A和和B B的距离的距离为为_mm._mm.(2004(2004河北河北) )100体体 验验 中中 考考如图如图, ,是一面长方形彩旗完全展开时的尺寸图是一面长方形彩旗完全展开时的尺寸图( (单位单位:cm).:cm).其中长方形其中长方形ABCDABCD是由双面布缝制的穿是由双面布缝制的穿旗杆用的旗裤旗杆用

14、的旗裤,DCEF,DCEF为长方形绸缎旗面为长方形绸缎旗面. .将穿好彩将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上旗的旗杆垂直插在操场上, ,旗杆顶端到地面的高度旗杆顶端到地面的高度为为220cm,220cm,在无风的天气里在无风的天气里, ,彩旗自然下垂彩旗自然下垂, ,如图如图, ,求求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.h.(2004吉林吉林)A AB BC CD DE EF F5 51201209090h如图如图, ,盒内长、宽、高分别是盒内长、宽、高分别是30m,24m30m,24m和和18m,18m,盒内可放的棍子最长有多长盒内可放的棍子最长有多长? ?1818

15、30302424相相关关链链接接你能用四个直角边长是你能用四个直角边长是a a、b(ba)b(ba)，斜边长，斜边长c c的的全等三角形，拼成一个边长为全等三角形，拼成一个边长为c c的正方形吗？的正方形吗？abcabcabcabc2ABCD1cS正）（2)(214ababSABCD正22a)-(b ab214c2）（1 1）你能用几种方式表示正方形）你能用几种方式表示正方形ABCDABCD的面积？的面积？（2 2）由此你能得到怎样的等式？你能利用该等）由此你能得到怎样的等式？你能利用该等式证明勾股定理吗？式证明勾股定理吗？222a2ab-b2ab c 222abcABCDEFGHcaba 赵

16、爽（即赵君卿）是三国时期吴赵爽（即赵君卿）是三国时期吴国的数学家，他在国的数学家，他在注释注释周髀算经周髀算经时，用四个全等的直角三角形拼图，时，用四个全等的直角三角形拼图，对勾股定理进行了详细证明。他是我对勾股定理进行了详细证明。他是我国最早对勾股定理进行证明的数学家，国最早对勾股定理进行证明的数学家，也也是我们中华民族的骄傲。是我们中华民族的骄傲。ABCDEFGHcabcccaaabbb这就是赵爽的这就是赵爽的弦图弦图，又叫勾股圆方图！又叫勾股圆方图！ 为了纪念他的这一重大贡献，为了纪念他的这一重大贡献，20022002年在北京召开的年在北京召开的第第2424届国际数学家大会，将弦图作为了

17、该届大会会徽。届国际数学家大会，将弦图作为了该届大会会徽。 通过构造几何图形通过构造几何图形, ,并利用不同方法去表示同并利用不同方法去表示同一个几何图形的面积，来证明代数式之间的恒等关一个几何图形的面积，来证明代数式之间的恒等关系，这种方法既具严密性，又具直观性，是数形结系，这种方法既具严密性，又具直观性，是数形结合的一个典范。合的一个典范。面积构造法面积构造法ABCDEFGHcabcccaaabbb数形结合思想数形结合思想如果用四个直角边长是如果用四个直角边长是a a、b b，斜边长，斜边长c c的的全等三角形，拼成一个边长为（全等三角形，拼成一个边长为（a+ba+b）的正）的正方形，你能

18、根据所拼出的图形，利用面积法方形，你能根据所拼出的图形，利用面积法证明勾股定理吗？证明勾股定理吗？abcabcabcabc如果用四个直角边长是如果用四个直角边长是a a、b b，斜边长，斜边长c c的的全等三角形，拼成一个边长为（全等三角形，拼成一个边长为（a+ba+b）的正）的正方形，你能根据所拼出的图形，利用面积法方形，你能根据所拼出的图形，利用面积法证明勾股定理吗？证明勾股定理吗？2)(baSABCD2214cabSABCD22214)(cabba22222cabbaba222abc证明：证明：周元治证法周元治证法 abbcABCD 总统证法总统证法21:()2ABCDSab梯形证明22

19、111()222abababcAEDEBCCEDABCDSSSS梯形又21122abbac222abc化简得： 用两个直角边长分别为用两个直角边长分别为a,b,a,b,斜斜边长为边长为c c的直角三角形和一个以的直角三角形和一个以c c为为直角边的等腰直角三角形拼成一个直角边的等腰直角三角形拼成一个梯形。梯形。acbbacADCBEacbbacACBEacbbacABE总统证法拼图正好是周元总统证法拼图正好是周元治证法拼图治证法拼图 的一半！图图1图图2acbbacCDacbbacABE 总统证法总统证法周元治证法周元治证法 如果我们要找一个定理，它的出现称得上是数学发展如果我们要找一个定理，

20、它的出现称得上是数学发展史上的里程碑，那么勾股定理一定是最佳选择史上的里程碑，那么勾股定理一定是最佳选择, ,很多具有很多具有古老文化的民族和国家都会说：我们首先认识的数学定理古老文化的民族和国家都会说：我们首先认识的数学定理是勾股定理，它的发现和证明在世界数学史上有着独特的是勾股定理，它的发现和证明在世界数学史上有着独特的贡献和地位。贡献和地位。 勾勾 股股 弦弦 定定 理理商商 高高 定定 理理 中国是最早发现研究勾股定理的国家之一，中国是最早发现研究勾股定理的国家之一，我国古代著名的数学著作我国古代著名的数学著作周髀算经周髀算经中曾记中曾记载，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出载，早在

21、三千多年前，周朝数学家商高就提出了：勾三，股四，弦五。了：勾三，股四，弦五。毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理百牛定理百牛定理图1图2毕达哥拉斯证法毕达哥拉斯证法（邹元治证明）（邹元治证明） （赵爽证明）（赵爽证明） （总统证明）（总统证明） 精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法 迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500500余种，各种证法融几何知识与代数知识于一余种，各种证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力，勾股定理体，完美地体现了数形结合的魅力，勾股定理是数学中数与形的第一定理。是数学中数与形的第一定理。精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法（欧几里得证明）（欧几里得证明） （刘徽的青朱出入图）（刘徽的青朱出入图） 精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法（达芬奇证法）（达芬奇证法） 精彩纷呈的证明方法精彩纷呈的证明方法印度、阿拉伯世界和印度、阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明