高级微观经济学 消费最优化课件

1、第4讲 消费最优化n效用最大化n支出最小化n效用与支出的对偶n消费者均衡1 1 效用最大化效用最大化任何人都希望最大化自己的效用而非最小，这是经济学的先验命题。一方面，人们的欲望无止境，其需要没有满足的时候，经济学无法对如何满足人们无止境的欲望问题作出解释。另一方面，任何人都处在一定的客观环境中，客观条件必然对人们的选择行为带来一定限制.人们受到的这些种种限制，虽然影响着人们的选择，但这些限制却使得效用最大化问题有了解决途径服从约束条件的效用最大化。理性消费者正是在服从种种条件限制的情况下理性消费者正是在服从种种条件限制的情况下, 选择自己最满选择自己最满意的消费方案意的消费方案。这就是效用最

2、大化效用最大化。 一、预算约束一、预算约束设消费集合为 ，价格体系为 ，消费者收入为 r。消费者进行选择时，要受到两方面条件限制：客观条件与经济条件。客观条件限制客观条件限制：包括政策、法规、生理状态、自然环境等非经济因素对消费选择的制约，这些制约因素划出了允许消费者选择的范围，即消费集合X 。因此，客观条件限制可表示为 x X 。经济条件限制经济条件限制：主要是价格与收入对消费选择的限制，消费者必须在收入许可的范围内选择。经济条件限制可表示为 p x r。预算约束：预算约束：是指由客观条件限制(xX )与经济条件限制( p x r)给消费选择造成的制约条件。预算约束可表示为：要求消费选择行为

3、 x 必须服从条件“(x X )( p x r)”。RXRp( (一一) ) 预算集合预算集合预算集合预算集合是指由预算约束确定的消费选择范围，是消费集合 X 的子集 ( p, r)=xX : p x r。超平面 p x = r 叫做预算线预算线。n 定理定理 在X 为下有界闭子集的情况下，对任何价格体系 p0 及收入 r，预算集合预算集合 ( p, r) 都是有界闭集，从而是紧集是紧集。= (b1, b2, b)，这就证明了 ( p, r)的有界性。至于 ( p, r)的闭性，则从 可知。这样， ( p, r) 是有界闭集。( (一一) ) 预算集合预算集合 ( p, r)X( (预算集合预

4、算集合) ) 证明：既然 X 下有界，存在向量 a 使得 x a = ( a1, a2, a) 对一切 xX 成立。令 bi = (r- pa + pi ai) / pi ( i = 1,2, )。对任何 x ( p, r)，既然 p0且 x a ，我们有0 pi (xi ai) p (x a) r p a，从而 pi xi r p a+ pi ai ( i = 1,2, )。可见， a x bp x = r ( (预算线预算线) ):),(rpxRxXrp( (二二) ) 最低生活保障最低生活保障 为了保证消费者在收入限制下选择到生活需要品，消费者收入就应不低于最低收入标准。所谓最低收入标准

5、最低收入标准，是指在既定价格体系 p 下消费集合X 中的最低支出 I( p) = inf p x: xX 。 最低生活保障制度最低生活保障制度是一种保证收入 r 不低于 I( p) 的制度。条件 r I( p) 就叫做最低生活保障最低生活保障或最低收入条件最低收入条件或最低支出条件最低支出条件。 定理定理 设 X 为消费集合，p 为价格体系，r 为消费者收入。(1) 如果 X 且 r I( p)，则 ( p, r) ；(2) 如果 X 是非空下有界闭集，p0 且 r I( p)，则预算集合 ( p, r) 是非空有界闭集 。二、马歇尔需求二、马歇尔需求效用最大化效用最大化是指消费者在预算约束下

6、进行最满意的消费。马歇尔从效用最大化出发，导出了消费者需求，即预算集合中消费者认为最好的消费方案，这个方案就是消费者最终决定的消费方案，称为马歇尔需求马歇尔需求(向量向量)，简称为需求需求(向量向量)。准确地讲，设消费集合为 X ，偏好关系为 。在价格体系 p 和收入 r 下，消费者的(马歇尔马歇尔)需求集合需求集合 D( p, r) 是指 ( p, r) 中最好的商品向量的全体：D( p, r) = x ( p, r): (z ( p, r)( z x )。二、马歇尔需求二、马歇尔需求 证明：任意给定 x, yD( p, r)。既然 x 是 ( p, r)中最好的，而 y( p, r)，因此

7、 y x；同理，x y。于是，x y。n 定理定理 马歇尔需求集合中任何两种方案都无差异：(x, yD( p, r)(x y)。),(rpDxy无无预预算算线线差差异异曲曲线线 ( p, r)( (一一) ) 关于马歇尔需求的基本问题关于马歇尔需求的基本问题l消费者需求是否存在？即需求集合 D( p, r) 是否非空？如果需求集合是空集，那么效用最大化就是空谈。l消费者需求是否唯一？即在 D( p, r) 非空的情况下，D( p, r) 是否是单点集？如果 D( p, r) 不是单点集，那么就会引起消费选择上的不确定，会让消费者“眼花缭乱”。l是否不把收入用完就能实现效用最大化？这是一个有关效

8、用最大化理论是否符合实际现象的重要问题。l )()0( :),()()0( :),(pIrpRRrppIrpRRrp集合 叫做价格收入集合价格收入集合。 则是 的内部。 由此定理可知： ( (二二) ) 马歇尔需求的存在性马歇尔需求的存在性n 定理定理 设 X 为消费集合，p 为价格体系，r 为收入， 为偏好。如果X 是闭集， 是连续偏好，则D( p, r)是闭集。如果X 是凸集， 是弱凸偏好，则D( p, r)是凸集。如果X 是非空下有界闭集， 是连续偏好，p 0 且 r I( p)，则D( p, r)是非空的闭集。 l 对任何价格收入组合 ( p, r)，理性消费者的马歇尔需求都是存在的，

9、即D( p, r) ，从而马歇尔需求确定了一个从价格收入集合到消费集合的对应(取值非空集合的集值映射)D : X ，称为需求对应需求对应或需求集映需求集映。( (三三) ) 马歇尔需求的唯一性马歇尔需求的唯一性n 定理定理 设 X 为消费集合，p 为价格体系，r 为收入， 为偏好。如果X 是凸集， 是严格凸偏好，则D( p, r)是单点集或空集。如果X 是凸集， 内部严格凸，D( p, r) X ，则D( p, r)是单点集或空集。 如果X 是非空下有界凸闭集, 是连续的严格凸偏好, 则对任何 ( p, r)，D( p, r) 都是单点集，即马歇尔需求唯一存在。如果X 是非空下有界凸闭集, 是

10、连续的内部严格凸偏好, 则对任何 ( p, r)，只要D( p, r) X ，D( p, r) 就是单点集。 证明的关键：如果说 D( p, r) 中存在两种不同方案，那么这两种方案必然无差异，且它们的加权平均必然比这两种方案优，而加权平均依然在预算集合中，这就出现了矛盾：预算集合中出现了比最优方案还要优的方案。矛盾的结论说明， D( p, r)中不可能存在两种不同的方案，即D( p, r)是单点集或空集。( (三三) ) 马歇尔需求的唯一性马歇尔需求的唯一性 瓦尔拉定律说明，要想实现效用最大化要想实现效用最大化，必须把钱花光必须把钱花光。其实，货币也是商品，也具有效用：流动性偏好。当把货币加

11、入到所考虑的商品行列时，瓦尔拉定律说的正是这种现象：为了效用最为了效用最大化，不要把钱花光大化，不要把钱花光。( (四四) ) 马歇尔需求的瓦尔拉定律马歇尔需求的瓦尔拉定律n 瓦尔拉定律瓦尔拉定律 设 是 X 上无满足的凸偏好，则对任何( p, r) 及 xD( p, r)，都有 p x = r 。这一定律可写作 pD( p, r) = r。 证明：设 xD( p, r)，取 yX 使 y x。用反证法，假如 p x r。则在连接 x 与 y 的直线段上必有一点 z 满足 p z = r，如右图所示，故 z ( p, r)。偏好的凸性保证了 z x，这与 xD( p, r) 相矛盾。可见，p

12、x r ；n 零阶齐次性：对任何( p, r)及实数 t 0, 都有 (t p, t r) = ( p, r)；n 瓦尔拉定律：对任何( p, r)，都有 p ( p, r) = r。我们已经看到了严格凸偏好在确定消费者需求函数中的重要作用，假设HC和HP描述的消费者理性更强：选择明确，毫不含糊。四、间接效用函数四、间接效用函数 如果消费者偏好 是通过效用函数 u 来表达的，那么需求向量的效用值(即效用水平)便代表着消费者的实际生活水平。这就确定了一个定义在价格收入集合 上的函数 ：这个函数 叫做消费者的间接效用函数间接效用函数，其中 ( p, r) 为消费者的需求映射。l 马歇尔需求决定消费

13、者的实际生活水平马歇尔需求决定消费者的实际生活水平。经济学中不是用名义收入而是用需求向量来代表消费者的实际收入水平(即实际生活水平)。l 价格与收入决定消费者的效用水平价格与收入决定消费者的效用水平：间接效用函数间接效用函数Ru:),(),()(),(rpurpurpRu:五、应用事例五、应用事例问题问题1：所得税与销售税哪一种对消费者更为有利所得税与销售税哪一种对消费者更为有利？国家向居民征税有两种办法，一种是征收所得税，另一种是征收销售税。假定不论采取哪种办法，居民缴纳的税额是一样的。那么，哪一种征税办法对居民更为有利些? 问题问题2：涨价补贴对消费者是否有利涨价补贴对消费者是否有利？商品

14、涨价，国家要发放价格补贴。一种办法是控制价格，不许涨价，把价格补贴发给生产者。另一种办法是允许涨价，把价格补贴发给消费者。那么，哪一种补贴办法对消费者更为有利？ 为了分析这两个问题，设当前的市场价格体系为 p，消费者收入为 r，消费者的选择为 xD( p, r)。( (一一) ) 所得税与消费税的比较所得税与消费税的比较l 征收销售税征收销售税：税率向量为t = ( t1, t2, t)，ti为购买一单位商品 i 的税额。按税率 t 征收销售税，相当于价格从 p 上升到 p+ t，于是需求从 xD( p, r) 变到 yD( p+t, r)，所纳的税额为T = t y。注意 y ( p+t,

15、r ) ( p, r)，故 y x。xy ( p+t, r) ( p, r)( (一一) ) 所得税与消费税的比较所得税与消费税的比较l 征收所得税征收所得税：把销售税改为所得税，直接从消费者收入r中扣除销售税情况下所缴纳的税额T = t y，则预算集合变为 ( p, r- T )，消费者选择变为 zD ( p, r- T )。xyzl 结果比较结果比较：可以看出， y ( p, r- T )，因而 y z。这说明：虽然缴纳的税额相同, 但征收所得税要比征收销售税对居民更为有利些。 ( p, r- T )( (二二) ) 价格补贴发放办法比较价格补贴发放办法比较l 不许涨价不许涨价：在把价格补

16、贴发放给生产者，不允许商品涨价的情况下，消费者的选择为 xD( p, r)。l 允许涨价允许涨价：允许商品涨价，把价格补贴发放给消费者。涨价后的价格体系为q，补贴使得消费者收入从r 提高到s，消费者的选择从 x 变为 yD(q, s)。 ( p, r)x( (二二) ) 价格补贴发放办法比较价格补贴发放办法比较l 补贴标准补贴标准：补贴后，要保证消费者仍可以按照原来的方案进行消费，即补贴额 = q x p x，也即 q x = s。l 结果比较：结果比较：x (q, s)，x y。这说明“允许涨价，把补贴发给消费者”比 “不许涨价，把补贴发给生产者”对消费者来说更为有利些。 xy2 2 支出最

17、小支出最小化化支出最小化反映的是这样一种经济现象：当消费者面临一种消费方案时，常常会作出这样的考虑：只要效用水平不降低，支出越少就越好。这就是说，消费者首先确定一个效用水平，然后在不低于这个效用水平的前提下使消费支出达到最小。这种做法的道理在于货币也是一种具有效用的商品，支付货币相当于支付效用。以货币换商品，相当于以效用换效用。因此，支出最小化当然也要算作经济人理性的构成部分。准确地讲，支出最小化支出最小化是指消费者在保证不降低生活水平的前提下，谋求消费支出达到最少。希克斯从支出最小化出发，分析了消费者的选择，给出了今天称谓的希克斯需求希克斯需求概念。 一、支出约束一、支出约束假定消费者目前面

18、临着一种可以选择的消费方案为 xX ，商品的价格体系为 p。这样，消费方案 x 的支出便为 p x。 消费者是否要选定 x 作为消费行动呢？这取决于是否还有其他不比 x 差的可行消费方案 y能使支出( py)变得更少。如果这样的方案 y 存在，那么消费者不会选择 x。至于是否选择 y 作为行动方案，则又取决于是否存在不比 x差而支出比 y还少的其他可行消费方案 z。 这种选择过程要一直进行下去，直至选不出其他不比 x 差而支出能进一步减少的可行方案。可以看出，每次选择都在集合 E(x) = yX : y x 中进行。该集合 E(x) 就称为消费者在方案 x 处的支出支出集合集合，条件“yE(x

19、)”叫做 x 处的支出约束支出约束。支出集合支出集合x)(xEX( (一一) ) 支出函数支出函数n 支出函数支出函数)(:min),(,),(xEzpzxpeXRxpl 支出函数支出函数 e( p, x)正表达了支出最小化的正表达了支出最小化的意义意义：与 x 相比，在不降低生活水平的条件下，寻求支出最小化。RXRe:)(xEx),(xpepzl 对任何对任何 。其中 u : X R 为消费者的效用函数。显然， 。 ( (一一) ) 支出函数支出函数l 对任何对任何 及任何及任何 x, yX ，只要只要 x y，就有就有 e( p, x) = e( p, y)。l 对任何对任何 及任何及任何

20、 xX ， e( p, x) + e( q, x) e( p+q, x)。l 对任何对任何 ，xX 及任何实数及任何实数 t 0，都都有有 e(t p, x) = t e( p, y)。l 对任何对任何 xX ，e( p, x) 都是价格都是价格 p 的凹函数的凹函数。n 效用水平支出函数效用水平支出函数：)(),(,),(pIxpeXRxpRpRqp,RpRRRe: )()( :min),( ,),(UzuXzpzUpeRRUp)(,( ),(xupexpe 当e( p, x)=I( p)时，支出达到消费集合 上的最小支出，再也没有变小的余地。此时，便可能出现这样的情况：存在 x, yX 使

21、得 x y 但 e( p, x) = e( p, y)。这意味着E(x)中的最小支出点 x* (即 px* = e( p, x)和 E( y)中的最小支出点 y*都在X上，如下图所示。在点 x 处，本来x*是最优选择，但它位于消费集合边界，失去了“最优”意义：同( (二二) ) 最低支出限制最低支出限制样支出下，还有更优的消费方案 y*。 鉴于这个原因，通常考虑支出最小化问题时，总是要求e( p, x) I( p)。这个条件叫做最低支出限制最低支出限制，符合该条件的消费方案的全体是集合 。)(),(:)(pIxpeXxpXn 定理定理 对于理性消费者(X, ) 来说，在任何价格 p 0 下，对

22、任何 x, yX ( p)，都有 这就是支出函数的效用性质支出函数的效用性质。),(),()(ypexpeyxxyxy无无差差异异曲曲线线pypIpx)(),()(),(ypepIxpe pyx X( (二二) ) 最低支出限制最低支出限制 在既定的价格体系 p下，对于 xX ，支出集合 E(x) 中的最小支出点 x* (即 x*E(x) 且 px* = e( p, x) 所代表的消费方案，就叫做价格体系 p 下方案 x 处的希克斯需求希克斯需求(向量向量)。 用 H( p, x) 表示价格下方案 x 处的希克斯需求向量的全体，称为价格 p 下方案 x 处(或效用水平x上)的希克斯需求集合希克

23、斯需求集合，即H( p, x) = zE(x): (yE(x)( p z p y )二、希克斯需求二、希克斯需求l 对任何对任何 p 0及任何及任何 x, yX ，只要只要 x y，就有就有 H( p, x) = H( p, y)。l 对任何对任何 p 0及任何及任何 xX ，若若 H( p, x) ，则则 pH( p, x) = e( p, x)。二、希克斯需求二、希克斯需求n 希克斯需求法则希克斯需求法则：对任何价格向量 p, q 及任何 zX ，都有(xH( p, z)(yH( q, z) ( ( p q)(x y) 0 ) 即希克斯需求与商品价格之间呈反向变动关系希克斯需求与商品价格之

24、间呈反向变动关系。 证明：注意，x, yE(z)。xH( p, z)说明 p x p y；yH( q, z)说明 q x q y。因此， p x q x p y q y，即( p q)(x y) 0。n 存在性存在性定理定理 如果消费集合 是下有界非空闭子集，并且偏好关系 连续，则对任何价格向量 p0及任何消费方案xX ，都有 H( p, x) 。因此，理性消费者的希克斯需求必然存在理性消费者的希克斯需求必然存在。 ( (一一) ) 希克斯需求的存在性希克斯需求的存在性 希克斯需求的存在性是一个基本问题。如果说希克斯需求集合 H( p, x)是空集，那么支出最小化理论便是空谈。RX ( (一一

25、) ) 希克斯需求的存在性希克斯需求的存在性x p 证明： X 为下有界非空闭集及 p0意味着集合B = zX : (z x)( pz px)是非空有界闭集。 注意，函数 pz (zX ) 在 E(x)上的最小值与在 B 上的最小值一致，且 pz为连续函数，而连续函数在有界闭集上必有最小值。故希克斯需求存在。),(wherexpHHHB( (二二) ) 希克斯需求的唯一性希克斯需求的唯一性n 唯一性唯一性定理定理 设消费集合 X 是凸集，偏好 连续且严格凸，则对于服从最低支出限制的任何价格向量 p 和消费方案 xX ，希克斯需求集合H( p, x)中最多只有一种消费方案。 反证法：假如存在 y

26、, y H( p, x), y y ,如右图所示, 则 p y = p y = e( p, x) I( p), 从而存在 wX 满足 p w p y 。这样，w x。 的严格凸性保证了y x。 的连续性保证了在连接 w 和 y 的线段上存在 z 满足：z x 且 p z p y= p y。这与 y H( p, x)相矛盾！xy H( p, x)y H( p, x)y = ( y+y )wz12( (三三) ) 希克斯需求的保效性希克斯需求的保效性n 保效性定理保效性定理 设消费集合X 是凸集，偏好 连续, 则对服从最低支出限制的任何价格向量 p 和消费方案 xX ，希克斯需求集合H( p, x

27、)中的每种方案都与 x 无差异。 yH( p, x), y xw x p w p y 反证法：假如存在 yH( p, x)使 y x。则存在wX 使得 p w p y且w x。 z x , p z p yxX p 偏好 的连续性保证了在连接 w和 y 的线段上，存在一点 z 使得z x且 p z I( p)在希克斯需求唯一性不可少。这样，由 p0 和 e( p, x) I( p) 确定的价格价格-方案方案组合具有特别重要的意义。鉴于此，我们用 来专门表示这种价格价格-方案方案组合的全体，即 = ( p, x)R X : ( p 0)(e( p, x) I( p)三、希克斯需求映射三、希克斯需求

28、映射 希克斯需求的存在性和唯一性表明，在假设 HC 和偏好关系连续、严格凸的条件下，希克斯需求确定了一个映射 h: X 如下：( p, x)( H( p, x)=h( p, x)即 h( p, x) 就是 H( p, x) 中的那个唯一的方案。 称这个映射 h: X 为消费者的希克斯需求映射希克斯需求映射。该映射的每一个分量函数 hi( p, x) 称为消费者的希克斯需求函数希克斯需求函数( i = 1,2,)。 三、希克斯需求映射三、希克斯需求映射 显然，希克斯需求映射具有下述三条性质：零阶齐次性零阶齐次性：对任何( p, x) 及实数 t 0，都有h( t p, x) = h( p, x)

29、。效用不变性：效用不变性：对任何( p, x)，h( p, x) x 。反向变动性：反向变动性：对任何( p, x), (q, x)，( p q)( h( p, x) h( q, x) 0。即 价格与需求反向变动。四、效用与支出的对偶四、效用与支出的对偶n 对偶定理对偶定理 设消费集合 X 是 的下有界非空凸闭子集， 是无满足的连续凸偏好。对任何 ( p, r) 和 ( p, x)，都有：(zD( p, r)( zH( p, z)，即效用最大时支出也最小；(zH( p, x)( zD( p, e( p, x)，即支出最小时效用也最大；如果 还严格凸, 则 ( p, r) = h( p, ( p

30、, r)且h( p, x) = ( p, e( p, x)。 对偶定理说明，马歇尔需求与希克斯需求一致。既然如此，消费最优化问题就既可以从效用最大化出发，也可以从支出最小化出发来解决。鉴于这个原因，今后我们直接从效用最大化出发来研究消费者需求。凡提到需求，如无特殊说明，均指马歇尔需求。zR3 3 消费者均衡消费者均衡 消费者均衡消费者均衡是指消费者的效用最大化状态。因此，也可以把马歇尔需求向量 x*D( p, r) 叫做消费者的均衡向量均衡向量。问题是：怎样才能实现均衡？使用效用函数，可以对这个问题作出回答。为此，我们将根据具体情况，要使用如下一些假设中的一个或几个： (X, )是理性消费者是

31、理性消费者，即 X 满足假设HC， 连续、凸、无满足； 的的效用函数效用函数 u: X R 满足假设满足假设 HU；(1) 消费者均衡消费者均衡 x* 在消费集合内部实现在消费集合内部实现，即 x*D( p, r) X 。3 3 消费者均衡消费者均衡rpxxus.t.)(max假定价格体系为 p 0，消费者收入为 r。利用效用函数 u(x)，效用最大化问题可表述为：max u(x) s.t. px r。在需求服从瓦尔拉定律的情况下，不等式约束“p x r”可用等式约束“p x = r”替代，从而效用最大化问题变得更加明确： 在需求服从瓦尔拉定律的情况下，效用最大化问题可用拉格朗日乘数法求解。

32、消费者的均衡向量 x* 必然是方程组 的解。我们把方程组 叫做效用最大化边际方程边际方程或边际等式边际等式(marginal equation)，其中实数 叫做拉格朗日乘拉格朗日乘数数，简称拉氏乘数拉氏乘数， 。 一、一、实现均衡的一阶条件实现均衡的一阶条件rxpxpxppxipxuuiii*22*11*), 2 , 1(*)(rpxpxu*)(rpxpxu*)(*)(,*),(*),(*)(*)(21xuxuxuxuxun 定理定理(必要条件必要条件) 设理性消费者(X, )的效用函数 u: X R 在 X 内部可微并且(xX )(u (x) 0)。对任何价格向量 p 0、收入 r 及消费向

33、量x*X ，若x*D( p, r)(即x*是消费者的均衡)，则存在实数 0 使 u (x*) = p 且 p x* = r，即 (x*, ) 满足边际方程：( (一一) ) 一阶必要条件一阶必要条件rxpxpxppxipxuuiii*22*11*), 2 , 1(*)( 证明：在定理的条件下，效用最大化只能在预算线上实现，于是根据拉格朗日乘数法可知，存在实数 使得u (x*) = p 且 p x* = r。现在，我们只需证明拉氏乘数 0。 注意，定理的条件保证了u(x*) 0。而 x*D( p, r) X 又保证了 u(x*) 0，这是因为对任何xX，若x 0，故 0。( (一一) ) 一阶必

34、要条件一阶必要条件1. 1. 必要条件的序数效用意义：替代法则必要条件的序数效用意义：替代法则n 边际替代率边际替代率：在消费方案 x 处，商品i 对商品 j 的边际替代率是指当商品 i 的消费增加一单位时， 在保持效用水平不变的情况下商品 j 的消费减少量。即 MRSi, j = (d xj/d xi) = ui(x) /uj(x)。n 市场交换率市场交换率：商品i 对商品 j 的市场替代率是指市场上一个单位的商品 i 所能换得的商品 j 的数量, 即商品 i 与商品 j 的价格比 pi /pj。1. 1. 必要条件的序数效用意义：替代法则必要条件的序数效用意义：替代法则l 替代法则替代法则

35、：均衡时，任何两种商品之间的边际替代率都等于市场交换率。rxpxpxppxjippxuxujiji*22*11*), 2 , 1,(*)(*)(jijippxuxu)()(增加 i 的消费，减少 j 的消费，方可提高效用。减少 i 的消费，增加 j 的消费，方可提高效用。jijippxuxu)()(2. 2. 必要条件的基数效用意义：边际法则必要条件的基数效用意义：边际法则l 边际效用均等法则边际效用均等法则：均衡时，把一单位货币收入不论用于购买哪一种商品以增加消费量，其所增加的效用都是一样的；拉格朗日乘数 就是均衡时货币收入的边际效用。rxpxpxppxpxupxupxu*22*112211

36、*)(*)(*)(增加 i 的消费，减少 j 的消费，方可提高效用。减少 i 的消费，增加 j 的消费，方可提高效用。jjiipxupxu)()(jjiipxupxu)()( (二二) ) 一阶一阶充分条件充分条件n 定理定理(充分条件充分条件) 设消费集合X 是 的凸子集，效用函数 u(x) 连续、拟凹且在 X 内部连续可微。则对任何价格向量 p 0、收入 r 及消费向量x*X ，若存在实数 0 使 u (x*) = p 且 p x* = r，则x*D( p, r)(即x*是消费者的均衡)。 R( (二二) ) 一阶一阶充分条件充分条件0*)()*)(*)(*)(*(lim*)(*)1 (l

37、im1*00pxpxxxxutxuxxtxutxuxttxuiiiitt 证明. 首先注意，u(x) 弱拟凹(连续+拟凹 弱拟凹)。要证明 x* D( p, r)，就是要证明(xX )( ( p x r) (u(x) u(x*) )。 第一步第一步，先证明 (xX )( (u(x) u(x*) ( p x r) )。 为此，任意给定 xX 使得 u(x) u(x*)。u的弱拟凹性保证了对任何 t(0,1)，都有 u( t x+(1- t) x*) u(x*)。于是，既然 0，因此 p x p x* = r。第一步的结论得证。 从 x*X 知，存在 wX 使 w 0，因此 pw px* = r。根据第一步的结论，便知 u(w) u(x*) u(x)。 u(x)的连续性保证了存在 t(0, 1) 使得 u(tw+(1t)x) =