机械工程控制基础5-稳定性ppt课件

1、机械工程控制根底机械工程控制根底2021.112021.11主讲人：张燕主讲人：张燕 机械类专业必修课机械类专业必修课机械与动力工程学院机械与动力工程学院1 1、课程预备、课程预备7 7、系统的性能目的与校正、系统的性能目的与校正2 2、绪、绪 论论4 4、系统的时间呼应分析、系统的时间呼应分析3 3、系统的数学模型、系统的数学模型5 5、系统的频率特性分析、系统的频率特性分析6 6、系统的稳定性分析、系统的稳定性分析第一讲第一讲 稳定性概念稳定性概念 Routh判据判据a, b 称为系统的平衡点称为系统的平衡点小球在小球在a处稳定，处稳定，在在b处不稳定处不稳定abab b摆在摆在a处稳定，

2、处稳定，在在b处不稳定。处不稳定。稳定性的根本概念c) c) 稳定稳定d) d) 临界稳定临界稳定e) e) 不稳定不稳定A Ab b、不稳定的摆、不稳定的摆A AA AAAa a、稳定的摆、稳定的摆：闭环控制的磁悬浮系统：闭环控制的磁悬浮系统 可以稳定。可以稳定。+VLight sourceRControllerFmgIuFmgI：开环控制的磁悬浮系统：开环控制的磁悬浮系统 不稳定不稳定针对不稳定对象的反响控制针对不稳定对象的反响控制大部分受控对象是稳定的，但大部分受控对象是稳定的，但反响控制所构成的闭环系统能反响控制所构成的闭环系统能够稳定，能够不稳定。够稳定，能够不稳定。针对稳定对象的反

3、响控制针对稳定对象的反响控制1)1)系统不稳定景象系统不稳定景象例：液压位置随动系统例：液压位置随动系统原理：原理：外力外力阀芯初始位移阀芯初始位移Xi(0)Xi(0)阀口阀口2 2、4 4翻开翻开活塞右移活塞右移阀口封锁回复平衡位置阀口封锁回复平衡位置惯性活塞继续右移惯性活塞继续右移阀口阀口1 1、3 3开启开启活塞左移活塞左移 平衡位置平衡位置惯性活塞继续左移惯性活塞继续左移阀口阀口2 2、4 4开启开启 随动：活塞跟随阀芯运动随动：活塞跟随阀芯运动 惯性：引起振荡惯性：引起振荡 振荡结果：振荡结果： 减幅振荡减幅振荡收敛，稳定收敛，稳定 等幅振荡等幅振荡临界稳定临界稳定 增幅振荡增幅振荡

4、发散，不稳定发散，不稳定一、系统的稳定性与稳定条件一、系统的稳定性与稳定条件三、关于稳定性的相关提法三、关于稳定性的相关提法1. 李亚普诺夫意义下的稳定性李亚普诺夫意义下的稳定性)(o 假设假设o为系统的平衡任务点，为系统的平衡任务点，扰动使系统偏离此任务点的起扰动使系统偏离此任务点的起始偏向即初态不超越域始偏向即初态不超越域，由扰动引起的输出这种初态由扰动引起的输出这种初态引起的零输入呼应及其终态引起的零输入呼应及其终态不超越预先给定的整数不超越预先给定的整数，那，那么系统是稳定的。反之，系统么系统是稳定的。反之，系统是不稳定的。是不稳定的。3. “3. “小偏向小偏向稳定性稳定性 系统初始

5、偏向初态不超越某一微小范围时的稳系统初始偏向初态不超越某一微小范围时的稳定性，称之为定性，称之为“小偏向稳定性小偏向稳定性或或 “ “部分稳定性部分稳定性。4. “4. “大范围大范围渐近稳定性渐近稳定性 假设系统在恣意初始条件下都坚持渐近稳定，那么假设系统在恣意初始条件下都坚持渐近稳定，那么系统称为系统称为“大范围渐近稳定大范围渐近稳定，反之，系统是不稳定，反之，系统是不稳定的。的。2. 2. 渐近稳定性渐近稳定性 就是线性系统的稳定性，要求由初始形状引起的就是线性系统的稳定性，要求由初始形状引起的呼应最终衰减为零。渐近稳定性满足李氏稳定性定呼应最终衰减为零。渐近稳定性满足李氏稳定性定义；对

6、非线性定义，这两种稳定性是不同的。义；对非线性定义，这两种稳定性是不同的。控制工程中希望大范控制工程中希望大范围渐近稳定，基于精围渐近稳定，基于精度要求，也需求确定度要求，也需求确定最大范围。最大范围。四、四、Routh稳定判据稳定判据1. 1. 系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件设系统的特征方程为：设系统的特征方程为：0)(0111asasasasDnnnn两边同除两边同除an)()(210111nnnnnnnssssssaasaasaasniinnnjijijinniinsssssss122,111)1(根据上式，根据上式，s的同次幂前系数应对等的同次幂前系数应对等 要使系统稳定，即系统

7、全部特征根均具有负实部，就必要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必需满足以下两个条件：需满足以下两个条件：按习惯，普通取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结按习惯，普通取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为系统特征方程的各项系数全大于为系统特征方程的各项系数全大于0 0，此即系统稳定的必要条件。，此即系统稳定的必要条件。niinnnkjikjikjinnnjijijinnniinnsaasssaassaasaa103,2, 132, 1211)1(.niinnnjijijinniinsssssss122,111)1(nnnnnnaasaasaas0111 从根与系数的关

8、系可以看出，仅仅有各项系数大于从根与系数的关系可以看出，仅仅有各项系数大于0，还，还不能断定特征根均具有负实部，也许特征根中有正有负，它不能断定特征根均具有负实部，也许特征根中有正有负，它们组合起来仍能满足们组合起来仍能满足“根与系数的关系根与系数的关系中的各式。也就是中的各式。也就是说上式为系统稳定的必要条件，而不是充要条件。说上式为系统稳定的必要条件，而不是充要条件。实例分析实例分析1 系统特征方程系统特征方程0301119)(234sssssD试用试用Routh表判别其稳定性。表判别其稳定性。4s3s2s1s0s1193011103030012030301111)19(112303011

9、1)30(改动符号一次改动符号一次改动符号一次改动符号一次解：解：由由Routh判据：判据：系统不稳定。系统不稳定。n 低阶系统的劳斯稳定判据低阶系统的劳斯稳定判据 q 二阶系统二阶系统0)(2120asasasD劳斯阵列为：劳斯阵列为：s2a0a2s1a10s0a2a00，a10，a20从而，二阶系统稳定的充要条件为：从而，二阶系统稳定的充要条件为：q 三阶系统三阶系统0)(322130asasasasD劳斯阵列为：劳斯阵列为：s3s3a0a0a2a2s2s2a1a1a3a3s1s1 0 0s0s0a3a313021)(aaaaa从而，三阶系统稳定的充要条件为：从而，三阶系统稳定的充要条件为

10、：特征方程的各项系数大于零，且：特征方程的各项系数大于零，且：a1a2-a0a30 3. Routh3. Routh判据的特殊情况判据的特殊情况1 1假设在假设在RouthRouth表中恣意一行的第一个元素为表中恣意一行的第一个元素为0 0，而其后各元不全为，而其后各元不全为0 0，那么在计算下一行的元素时，将趋向于无穷大。于是那么在计算下一行的元素时，将趋向于无穷大。于是RouthRouth表计算无法表计算无法继续，为了抑制这一困难，用一个很小的正数继续，为了抑制这一困难，用一个很小的正数替代第一列的替代第一列的0 0，然后，然后计算计算RouthRouth表的其他各元。假设表的其他各元。假

11、设上下各元符号不变，且第一列元素符上下各元符号不变，且第一列元素符号均为正，那么系统特征根中有共轭的虚根。此时，系统为临界稳定系号均为正，那么系统特征根中有共轭的虚根。此时，系统为临界稳定系统。统。2假设假设Routh表中恣意一行的一切元素都为表中恣意一行的一切元素都为0，Routh表的计算无法表的计算无法继续。此时，可以利用该行的上一行的元素构成一个辅助多项式，并用继续。此时，可以利用该行的上一行的元素构成一个辅助多项式，并用多项式的导数的系数组成多项式的导数的系数组成Routh表的下一行。这样，表的下一行。这样，Routh表就可以计表就可以计算下去。算下去。 出现这种情况，普通是由于系统的

12、特征根中，或存在两个符号相出现这种情况，普通是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根系统自在呼应发散，系统不稳定，或存在一对共轭的纯反的实根系统自在呼应发散，系统不稳定，或存在一对共轭的纯虚根即系统自在呼应维持某一频率的等幅振荡，系统临界稳定，虚根即系统自在呼应维持某一频率的等幅振荡，系统临界稳定，或是以上几种根的组合。或是以上几种根的组合。实例分析实例分析2 2 系统特征方程：系统特征方程：04244)(2345ssssssD试用试用RouthRouth表判别其稳定性。表判别其稳定性。解：列解：列RouthRouth表如下：表如下：4s3s2s1s0s1421442024 424484

13、25s0004改动符号一次改动符号一次改动符号一次改动符号一次由由Routh判据：判据：系统不稳定。系统不稳定。实例分析实例分析3 3 系统特征方程：系统特征方程：0502548242)(2345ssssssD试用试用RouthRouth表判别其稳定性。表判别其稳定性。解：列解：列RouthRouth表如下：表如下：8964s3s2s1s0s124252485000024507 .1125s00500RouthRouth表中出现表中出现0 0元行，构造辅元行，构造辅助多项式如下：助多项式如下：050482)(24sssF取取F(s)F(s)对对s s的导数得新方程：的导数得新方程：0968)(

14、3sssF用上式中的系数用上式中的系数8 8和和9696替代替代0 0元元行，继续进展运算。行，继续进展运算。改动符号一次 此表第一列各元符号改动次数为此表第一列各元符号改动次数为1 1，该系统包括一个，该系统包括一个具有正实部的特征根，系统是不稳定的。具有正实部的特征根，系统是不稳定的。根据根据RouthRouth判据，判据，2p2p的辅助多项式应该存在的辅助多项式应该存在p p对实部符号对实部符号相异、虚部数值一样的共轭复根。这些特征根可以经过相异、虚部数值一样的共轭复根。这些特征根可以经过解辅助多项式得到。解辅助多项式得到。本例中辅助多项式为：本例中辅助多项式为：050482)(24ss

15、sF解此辅助多项式可得：解此辅助多项式可得：5; 1jss这两对复根是原特征方程的根的一部分。这两对复根是原特征方程的根的一部分。五、相对稳定性的检验五、相对稳定性的检验运用运用RouthRouth判据可检验稳定系统的相对稳定性判据可检验稳定系统的相对稳定性方法如下：方法如下：A将将s平面的虚轴向左挪动某个数值，即令平面的虚轴向左挪动某个数值，即令sz 为正实数，代入系统特征方程，那么得到关于为正实数，代入系统特征方程，那么得到关于z的特征方程；的特征方程；A利用利用Routh表和表和Routh判据对新的特征方程进展稳判据对新的特征方程进展稳定性判别。假设新系统稳定，那么阐明原系统特征定性判别

16、。假设新系统稳定，那么阐明原系统特征方程的根均在新的虚轴之左边，方程的根均在新的虚轴之左边， 越大，系统相对稳越大，系统相对稳定性越好。定性越好。 系统传送函数方框图如系统传送函数方框图如以下图所示，知以下图所示，知T1T10.1s0.1s，T2T20.25s0.25s，试求，试求: :实例分析实例分析4 4)(sXi)(sXo)1)(1(21sTsTsK解：解：1 1求系统稳定时求系统稳定时K K值的取值范围值的取值范围1 1系统稳定时系统稳定时K K值的取值范围；值的取值范围；2 2假设要求系统的特征根均假设要求系统的特征根均 位于位于s s1 1线的左侧，线的左侧，K K值的取值范围。值

17、的取值范围。KssTTsTTKsHsGsGsGB221321)()()(1)()(0)()(221321KssTTsTTsD040401423Ksss由于：由于：将将T1T1和和T2T2代入得：代入得：列列RouthRouth表如下：表如下：0400404014KK140 K3s2s1s0s14014K4014404014K0K40解之得系统稳定时解之得系统稳定时K K的取值范围为：的取值范围为：由由RouthRouth表和表和RouthRouth判据得：判据得：2 2令令s sz z1 1，代入特征方程得：，代入特征方程得：040) 1(40) 1(14) 1(23Kzszz02740151

18、123Kzzz即：即：列列RouthRouth表如下：表如下：02740040192KK8 . 4675. 0 K3s2s1s0s115112740K1127401511K02740K解之得：解之得：由由RouthRouth表和表和RouthRouth判据得：判据得：与与(1)的结果比较可知，的结果比较可知，K的取值范围变小了。的取值范围变小了。A系统稳定性是指系统在干扰作用下偏离平衡位置，系统稳定性是指系统在干扰作用下偏离平衡位置，当干扰撤除后，系统自动回到平衡位置的才干；当干扰撤除后，系统自动回到平衡位置的才干；六、本讲小结六、本讲小结A系统稳定的充要条件是一切特征根具有负实部，或系统稳定

19、的充要条件是一切特征根具有负实部，或系统传送函数的一切极点均分布在系统传送函数的一切极点均分布在s平面的左半平面平面的左半平面;ARouth稳定判据是稳定判据是Routh表的第一列元素均大于表的第一列元素均大于0。利用利用Routh稳定判据不仅可断定系统的稳定性，而且稳定判据不仅可断定系统的稳定性，而且可以确定某些参数的取值范围和相对稳定性。可以确定某些参数的取值范围和相对稳定性。第二讲第二讲 Nyquist 稳定判据稳定判据K=8-4-2024-2.5-2-1.5-1-0.500.5Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis051015202530-10-5

20、051015Step ResponseTime (sec)AmplitudeK=6-3-2-10123-3-2.5-2-1.5-1-0.500.5Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis0510152025303500.511.52Step ResponseTime (sec)Amplitude( )(1)(2)KG ss ss乃奎斯特图及时间呼应乃奎斯特图及时间呼应K=4K=1-2-1012-4-3-2-101Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis010203040506000.511.52Step ResponseT

21、ime (sec)Amplitude-2-1012-4-3-2-101Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis05101500.20.40.60.811.21.4Step ResponseTime (sec)AmplitudeK=0.5-2-1012-4-3-2-101Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis05101500.20.40.60.811.21.4Step ResponseTime (sec)Amplitude 由以上可以看出：极坐标图离由以上可以看出：极坐标图离-1，j0点的远点的远近程度是系统的相对稳定性的

22、一种度量，这种度量近程度是系统的相对稳定性的一种度量，这种度量常用相角裕量常用相角裕量(度度)和幅值裕量和幅值裕量(度度)来描画。来描画。一、一、 Nyquist稳定判据稳定判据判据提出：判据提出：该稳定性判据由该稳定性判据由H.NyquistH.Nyquist于于19321932年提出，在年提出，在19401940年以后得到广泛运用。年以后得到广泛运用。判据原理：判据原理：将闭环系统的特征方程将闭环系统的特征方程 1+G(s)H(s)=0 1+G(s)H(s)=0 与开环与开环频率特性频率特性GK(j)=G(s)H(s)GK(j)=G(s)H(s)联络起来，从而将联络起来，从而将系统特性从复

23、域引入频域来分析。系统特性从复域引入频域来分析。判别方法：判别方法：经过经过GK(j)GK(j)的的NyquistNyquist图，利用图解法来判明图，利用图解法来判明闭环系统的稳定性。闭环系统的稳定性。NyquistNyquist稳定判据的数学根底是复变函数中的幅角原理。稳定判据的数学根底是复变函数中的幅角原理。n幅角原理幅角原理Cauchy定理定理例如：例如：10 11jjvujSAAA12 11jjvujSCCC12 11jjvujSEEE10 11jjvujSGGG进一步，我们思索进一步，我们思索S S平面上的一个围线封锁曲线，如图平面上的一个围线封锁曲线，如图(a)(a)平面中的平面

24、中的ABCDEFGHABCDEFGH所示，要察看该围线在所示，要察看该围线在F(S)F(S)平面上的平面上的映射，先求映射，先求A A、C C、E E、G G四个点，有如下结果四个点，有如下结果 分析一下分析一下F(s)F(s)ssssF221)(零点：零点：-2 -2极点：极点：0 0第一次第一次s平面上的曲线包围了平面上的曲线包围了F(s)的的 极点，未包含零点极点，未包含零点F(s)包围原点，旋转方向：包围原点，旋转方向： 逆时针方向逆时针方向s平面选择方向：顺时针平面选择方向：顺时针F(s)包含坐标原点，方向：逆时针！包含坐标原点，方向：逆时针！u记住：记住：假设让假设让s平面上的围线

25、同时包围平面上的围线同时包围F(s)的极点和零点的极点和零点F(s)曲线会？曲线会？不包含坐标原点不包含坐标原点sssF2)(假设再把假设再把S平面围线的平面围线的CDE段移到的段移到的-1点，这时包围点，这时包围了零点，但不包围其极点。此时，了零点，但不包围其极点。此时，F(s)平面上的围线平面上的围线包围了原点，而方向都是顺时针的！如以下图包围了原点，而方向都是顺时针的！如以下图包含坐标原点，方向：顺时针！包含坐标原点，方向：顺时针！sssF2)(n留意留意:S平面的曲线假设只包含平面的曲线假设只包含F(s)的极点：的极点：F(s)曲线将曲线将包含原点，且曲线旋转方向为逆时针。包含原点，且

26、曲线旋转方向为逆时针。S平面的曲线假设只包含平面的曲线假设只包含F(s)的零点：的零点：F(s)曲线将曲线将包含原点，且曲线旋转方向为顺时针。包含原点，且曲线旋转方向为顺时针。S平面的曲线假设既包含平面的曲线假设既包含F(s)的零点，又包含极点？的零点，又包含极点？ 刚刚我们看见的刚刚我们看见的F(s)不包含零点，即包围零点圈不包含零点，即包围零点圈数数=0。n结论结论: 假设假设s平面上的曲线包含平面上的曲线包含F(s)的的Z个零点，个零点，P个个极点，那么极点，那么F(s)绕零点的旋转圈数为：绕零点的旋转圈数为：N=Z-P (顺时针顺时针)。 j S平面ImImReReF平面单域问题单域问

27、题 N1 j S平面ImImReReF平面N=-1ImImReReF平面 j S平面N = m - n = 3 1= 2零点零点极点极点jsZ=3P=1N=2Z=0P=1N=-11.1.幅角原理幅角原理CauchyCauchy定理定理)()()()()(2121nmpspspszszszsKsFjvusF)( 设设F(s)在在s平面上除有限个奇点外为单值的延续正那么函平面上除有限个奇点外为单值的延续正那么函数，并设数，并设s平面上解析点平面上解析点s映射到映射到F(s)平面上为点平面上为点F(s)，或为，或为从原点指向此映射点的向量从原点指向此映射点的向量F(s)。假设在。假设在s平面上恣意一

28、封锁平面上恣意一封锁曲线曲线Ls，只需此曲线不经过，只需此曲线不经过F(s)的奇点，那么在的奇点，那么在F(s)平面上必平面上必有一条对应的曲线有一条对应的曲线LF，也是一条封锁曲线。，也是一条封锁曲线。 当解析点当解析点s s按顺时针方向沿按顺时针方向沿LsLs变化一周时，向量变化一周时，向量F(s)F(s)将按顺时针将按顺时针方向旋转方向旋转N N 周，即周，即F(s)F(s)以原点为中心顺时针旋转以原点为中心顺时针旋转N N 周，这就等于周，这就等于曲线曲线LFLF顺时针包围原点顺时针包围原点N N 次。假设令次。假设令Z Z 为包围于为包围于LsLs内的内的F(s)F(s)的零点的零点

29、数，数，P P 为包围于为包围于Ls Ls 内的内的F(s)F(s)的极点数，那么有的极点数，那么有N N Z ZP P取恣意拉氏函数：取恣意拉氏函数：js1s2ssLReIm)(sF)(1sF)(2sFFL向量向量F(s)F(s)的相位为的相位为njjmiipszssF11)()()(简要阐明简要阐明mnpspspszszszsKsFnm)()()()()(2121jsizizs1p1z2p3psLIm)(sFReFL)(sF 假设假设 Ls Ls 内只包围了内只包围了F(s)F(s)的一个零点的一个零点zi zi ，其它零极点均位于，其它零极点均位于Ls Ls 之外，之外，当当s s沿沿L

30、s Ls 顺时针挪动一周时，向量顺时针挪动一周时，向量s szi zi 的相位角变化为的相位角变化为22弧弧度，而其他相位角的变化为度，而其他相位角的变化为0 0。即向量。即向量F(s)F(s)的相位角变化为的相位角变化为22，或，或者说者说 F(s) F(s) 在在F(s)F(s)平面上沿平面上沿 LF LF 绕原点顺时针转了一圈。绕原点顺时针转了一圈。njjmiipszssF11)()()( 假设假设ss平面上的封锁曲线包围平面上的封锁曲线包围F(s)F(s)的的Z Z个零点，那么在个零点，那么在F(s)F(s)平面上平面上的映射曲线的映射曲线LFLF将绕原点顺时针将绕原点顺时针Z Z圈，

31、而假设圈，而假设ss平面内的封锁曲线包围平面内的封锁曲线包围这这F(s)F(s)的的P P个极点，那么平面上的映射曲线个极点，那么平面上的映射曲线LFLF将绕原点逆时针转将绕原点逆时针转P P圈。圈。假设假设LsLs包围了包围了F(s)F(s)的的Z Z个零点和个零点和P P个极点，那么个极点，那么F(s)F(s)平面上的映射曲线平面上的映射曲线LFLF将绕原点顺时针转将绕原点顺时针转N=Z-PN=Z-P圈。圈。2. Nyquist 2. Nyquist 稳定判据稳定判据: :利用开环频率特性判别闭环系统的利用开环频率特性判别闭环系统的稳定性稳定性设闭环传送函数方框图对应的开环传送函数为：设闭

32、环传送函数方框图对应的开环传送函数为：)().()()(.)()()()(2121mnpspspszszszsKsHsGsGnmK?X i (s)G(s)H(s)X o (s)其闭环传送函数为：其闭环传送函数为： )(H)(G1)()(sssGsGB特征方程特征方程 0)(H)(G1ss)(H)(G1)(sssF令令那么那么有：有：nnpspspssssssspspspszszszspspspssFnnnmn).()().()().()().()(K).()()(2121212121)()(G)(1)()()(1)()(sFssGsGsHsGsGsGKB0)(1)()(1)(sGsHsGsFK

33、由于由于:特征方程为：特征方程为：nnpspspssssssssFnn).()().()()(2121由此可知，由此可知，s1,s2,sn是是F(s)的零点，即为的零点，即为GB(s)的极点，亦即系统的极点，亦即系统特征方程的根；特征方程的根；F(s)的极点的极点p1,p2,pn即即GK(s)的极点。的极点。上述各函数零点与极点之间的对应关系如下：上述各函数零点与极点之间的对应关系如下：)(sGB)(sF)(sGK零点零点极点零点极点零点极点一样一样)().()()(.)()()()(2121mnpspspszszszsKsHsGsGnmK?)(sGB)(sF)(sGK零点零点极点零点极点零点

34、极点一样一样 定常线性系统稳定的充要条件是其闭环特征方程的定常线性系统稳定的充要条件是其闭环特征方程的全部根具有负实部，即在全部根具有负实部，即在ss右半平面内没有极点，也右半平面内没有极点，也就是说，就是说，F(s)F(s)在在ss平面的右半平面没有零点。平面的右半平面没有零点。下面我们经过幅角原理导出下面我们经过幅角原理导出Nyquist稳定判据稳定判据 为研讨为研讨F(s)F(s)有无零点位于有无零点位于ss平面的右半平面，可选择一条平面的右半平面，可选择一条包围整个包围整个ss右半平面的封锁曲线右半平面的封锁曲线LsLs，如图。，如图。LsLs由两部分组成，由两部分组成，其中，其中，L

35、1L1为为到到+的整个虚轴，的整个虚轴，L2L2为半径为半径R R趋于无趋于无穷大的半圆弧。因此，穷大的半圆弧。因此，LsLs封锁地包围了整个封锁地包围了整个ss平面的右半平平面的右半平面。这一封锁曲线面。这一封锁曲线LsLs即为即为ss平面上的平面上的 Nyquist Nyquist 轨迹。当轨迹。当到到+，轨迹的方向为顺时针方向。，轨迹的方向为顺时针方向。 由于在运用幅角原理时，由于在运用幅角原理时，LsLs不能经过不能经过F(s)F(s)函数的任何极点，函数的任何极点，所以当函数所以当函数F(s)F(s)有假设干极点处于有假设干极点处于ss平面的虚轴或原点处时，平面的虚轴或原点处时，Ls

36、Ls应以这些点为圆心，以无穷小为半径的圆弧按逆时针方向应以这些点为圆心，以无穷小为半径的圆弧按逆时针方向绕过这些点。由于绕过这些点的圆弧的半径为无穷小，因此，绕过这些点。由于绕过这些点的圆弧的半径为无穷小，因此，可以以为可以以为LsLs曲线依然包围了整个曲线依然包围了整个ss平面的右半平面。平面的右半平面。j j j01L2Lsj j j01L2Ls00 设设F(s)F(s)1 1G(s)H(s)G(s)H(s)在在ss右平面有右平面有Z Z个零点和个零点和P P个极点，由幅角个极点，由幅角原理，当原理，当s s沿沿ss平面上的平面上的NyquistNyquist轨迹挪动一周时，在轨迹挪动一周

37、时，在FF平面上平面上的映射曲线的映射曲线LFLF将顺时针包围原点将顺时针包围原点NNZ ZP P圈。圈。由于由于: G(s)H(s): G(s)H(s)F(s)F(s)1 1 可见可见GHGH平面是将平面是将FF平面的虚轴右移一个单位所构成的复平面。平面的虚轴右移一个单位所构成的复平面。FF平面上的坐标原点，就是平面上的坐标原点，就是GHGH平面上的平面上的1 1，j0j0点，点，F(s)F(s)的映的映射曲线射曲线LFLF包围原点的圈数就等于包围原点的圈数就等于G(s)H(s)G(s)H(s)的映射曲线的映射曲线LGHLGH包围包围1 1，j0j0点的圈数。点的圈数。ImRe)0, 1(j

38、0)(sFF1FLImRe)0, 1(j)()(sHsGGH1GHL0 设设F(s)F(s)1 1G(s)H(s)G(s)H(s)在在ss右平面有右平面有Z Z个零点和个零点和P P个极点，由幅角个极点，由幅角原理，当原理，当s s沿沿ss平面上的平面上的NyquistNyquist轨迹挪动一周时，在轨迹挪动一周时，在FF平面上平面上的映射曲线的映射曲线LFLF将顺时针包围将顺时针包围-1 -1，j0j0NNZ ZP P圈。圈。 对于任何物理上可实现的开环系统，其对于任何物理上可实现的开环系统，其GK(s)GK(s)的分母的的分母的阶次阶次n n 必不小于分子的阶次必不小于分子的阶次 m m

39、，即，即n m n m ，故有：，故有： 这里这里ss是指其模而言，所以，是指其模而言，所以，ss平面上半径为平面上半径为的的半圆映射到半圆映射到GHGH平面上为原点或实轴上的一点。平面上为原点或实轴上的一点。 mnmnsHsGs 当const当0)()(lim 由于，由于，LsLs为为ss平面上的整个虚轴再加上半径为无穷大的半圆平面上的整个虚轴再加上半径为无穷大的半圆弧，而弧，而ss平面上半径为无穷大的半圆弧映射到平面上半径为无穷大的半圆弧映射到 GH GH平面上只是平面上只是一个点，它对于一个点，它对于G(s)H(s) G(s)H(s) 的映射曲线的映射曲线LGHLGH对某点的包围情况无影

40、对某点的包围情况无影响，所以响，所以G(s)H(s)G(s)H(s)的绕行情况只思索的绕行情况只思索ss平面的虚轴映射到平面的虚轴映射到GHGH平面上的开环平面上的开环NyquistNyquist轨迹轨迹G(j)H(j)G(j)H(j)即可。即可。向量向量F(s)F(s)的相位为的相位为njjmiipszssF11)()()(mnpspspszszszsKsFnm)()()()()(2121jsizizs1p1z2p3psLIm)(sFReFLF(s) 假设假设ss平面上的封锁曲线包围平面上的封锁曲线包围F(s)F(s)的的Z Z个零点，那么在个零点，那么在F(s)F(s)平面上平面上的映射曲

41、线的映射曲线LFLF将绕原点顺时针将绕原点顺时针Z Z圈，而假设圈，而假设ss平面内的封锁曲线包围平面内的封锁曲线包围这这F(s)F(s)的的P P个极点，那么平面上的映射曲线个极点，那么平面上的映射曲线LFLF将绕原点逆时针转将绕原点逆时针转P P圈。圈。假设假设LsLs包围了包围了F(s)F(s)的的Z Z个零点和个零点和P P个极点，那么个极点，那么F(s)F(s)平面上的映射曲线平面上的映射曲线LFLF将绕原点顺时针转将绕原点顺时针转N=Z-PN=Z-P圈。圈。 闭环系统稳定的充要条件是：闭环系统稳定的充要条件是：F(s)F(s)在在ss平面的右半平面无零平面的右半平面无零点，即点，即

42、 Z Z0 0。因此，假设。因此，假设G(s)H(s)G(s)H(s)的的NyquistNyquist轨迹逆时针包围轨迹逆时针包围1 1，j0j0点的圈数点的圈数N N 等于等于G(s)H(s)G(s)H(s)在在ss平面的右半平面的极平面的右半平面的极点数点数P P 时，有时，有N N P P，闭环系统稳定。，闭环系统稳定。 综上所述，综上所述，NyquistNyquist稳定判据表述如下：当稳定判据表述如下：当到到+时，时，假设假设GHGH平面上的开环频率特性平面上的开环频率特性G(j)H(j)G(j)H(j)逆时针包围逆时针包围1 1，j 0j 0点点P P 圈，那么闭环系统稳定。圈，那

43、么闭环系统稳定。P P 为为G(s)H(s)G(s)H(s)在在ss平面的右平面的右半平面的极点数。半平面的极点数。 对于开环稳定的系统，有对于开环稳定的系统，有P P0 0，此时闭环系统稳定的充要条，此时闭环系统稳定的充要条件是：系统的开环频率特性件是：系统的开环频率特性G(j)H(j)G(j)H(j)不包围不包围1 1，j 0j 0点。点。 定常线性系统稳定的充要条件是其闭环特征方程的定常线性系统稳定的充要条件是其闭环特征方程的全部根具有负实部，即在全部根具有负实部，即在ss右半平面内没有极点，也右半平面内没有极点，也就是说，就是说，F(s)F(s)在在ss平面的右半平面没有零点。平面的右

44、半平面没有零点。)(sGB)(sF)(sGK零点零点极点零点极点零点极点一样一样 如图是如图是P=0P=0的系统的开环奈氏图。的系统的开环奈氏图。(a)(a)图不包围图不包围(-1(-1，j 0)j 0)点，它所对应的闭环系统稳定；点，它所对应的闭环系统稳定；(b)(b)图对应的闭环系统不图对应的闭环系统不稳定。稳定。ImRe)0, 1(j0KGH0ImRe)0, 1(j0KGH0(a)(b)实例分析实例分析 1 1实例分析实例分析 2 2知某系统的开环传送函数为：知某系统的开环传送函数为：) 1)(1)(12() 1)(1()()(321221sTsTsTsTsTsTKsHsGba其开环传送

45、函数的奈氏图如下：其开环传送函数的奈氏图如下：ImRe)0, 1(j0KGH0 由开环传送函数可知，由开环传送函数可知，P =1P =1，即在，即在ss平面的右半平面有一个极点。其平面的右半平面有一个极点。其奈氏轨迹逆时针包围奈氏轨迹逆时针包围 (-1 (-1，j 0)j 0)点一点一圈，所以闭环系统仍是稳定的。圈，所以闭环系统仍是稳定的。 这就是所谓的开环不稳定而闭环稳这就是所谓的开环不稳定而闭环稳定。开环不稳定是指开环传送函数在定。开环不稳定是指开环传送函数在ss平面的右半平面有极点。显然，平面的右半平面有极点。显然，此时的开环系统是非最小相位系统。此时的开环系统是非最小相位系统。向量向量

46、F(s)F(s)的相位为的相位为njjmiipszssF11)()()(mnpspspszszszsKsFnm)()()()()(2121jsizizs1p1z2p3psLIm)(sFReFLF(s) 假设假设ss平面上的封锁曲线包围平面上的封锁曲线包围F(s)F(s)的的Z Z个零点，那么在个零点，那么在F(s)F(s)平面上平面上的映射曲线的映射曲线LFLF将绕原点顺时针将绕原点顺时针Z Z圈，而假设圈，而假设ss平面内的封锁曲线包围平面内的封锁曲线包围这这F(s)F(s)的的P P个极点，那么平面上的映射曲线个极点，那么平面上的映射曲线LFLF将绕原点逆时针转将绕原点逆时针转P P圈。圈

47、。假设假设LsLs包围了包围了F(s)F(s)的的Z Z个零点和个零点和P P个极点，那么个极点，那么F(s)F(s)平面上的映射曲线平面上的映射曲线LFLF将绕原点顺时针转将绕原点顺时针转N=Z-PN=Z-P圈。圈。总结总结 闭环系统稳定的充要条件是：闭环系统稳定的充要条件是：F(s)F(s)在在ss平面的右半平面无零平面的右半平面无零点，即点，即 Z Z0 0。因此，假设。因此，假设G(s)H(s)G(s)H(s)的的NyquistNyquist轨迹逆时针包围轨迹逆时针包围1 1，j0j0点的圈数点的圈数N N 等于等于G(s)H(s)G(s)H(s)在在ss平面的右半平面的极平面的右半平

48、面的极点数点数P P 时，有时，有N N P P，闭环系统稳定。，闭环系统稳定。 定常线性系统稳定的充要条件是其闭环特征方程的定常线性系统稳定的充要条件是其闭环特征方程的全部根具有负实部，即在全部根具有负实部，即在ss右半平面内没有极点，也右半平面内没有极点，也就是说，就是说，F(s)F(s)在在ss平面的右半平面没有零点。平面的右半平面没有零点。)(sGB)(sF)(sGK零点零点极点零点极点零点极点一样一样3. 3. 开环含有积分环节的开环含有积分环节的NyquistNyquist轨迹轨迹轨迹特点：当系统中串联有积分环节时，开环传送函数有位于轨迹特点：当系统中串联有积分环节时，开环传送函数

49、有位于s平面坐标原点处的极点平面坐标原点处的极点 。设开环传送函数设开环传送函数 vniivmjjKsTssTKsHsGsG11) 1() 1()()()(式中，式中，为系统中积分环节的个数，当为系统中积分环节的个数，当s s 沿无穷小沿无穷小半圆弧逆时针方向挪动时，有半圆弧逆时针方向挪动时，有jrres0limj j j01L2Ls00映射到映射到GHGH平面上的平面上的NyquistNyquist轨迹为：轨迹为：jvvrresvniivmjjresserKsTssTKsHsGsHsGjrjr0lim11lim0lim) 1() 1()()()()(00lim映射到映射到GHGH平面上的平面

50、上的NyquistNyquist轨迹为：轨迹为： 因此，当因此，当s s沿小半圆从沿小半圆从0 0变化到变化到0 0时，时， 角从角从/2/2变化到变化到/2/2，这时，这时GHGH平面上的平面上的NyquistNyquist轨轨迹将沿无穷大半径按顺时针方向从迹将沿无穷大半径按顺时针方向从v/2v/2转到转到- v/2 - v/2 。jvvrresvniivmjjresserKsTssTKsHsGsHsGjrjr0lim11lim0lim) 1() 1()()()()(00lim实例分析实例分析 3 3知某系统的开环传送函数为：知某系统的开环传送函数为：) 12)(1() 14()()(2ss

51、sssHsG当当=0 =0 时，时，180jHjG当当= = 时，时，270jHjG故奈氏曲线将穿越负实轴，在交故奈氏曲线将穿越负实轴，在交点处，有点处，有 180jHjGImRe) 0, 1(j00GH0由此可算得：由此可算得：6 .10221221GH 当当 由由- - 变到变到+ + 时，经过时，经过=0 =0 时，由于时，由于G(s)H(s)G(s)H(s)分母中有分母中有两个积分环节，所以，影射到两个积分环节，所以，影射到GHGH平面上就是半径为平面上就是半径为 按顺时针按顺时针方向从方向从 到到- - 的圆弧。因的圆弧。因 P = 0 P = 0，当，当 由由-变到变到+ + 时，

52、开环时，开环奈氏轨迹顺时针包围奈氏轨迹顺时针包围(-1(-1，j 0)j 0)点两圈，所以，闭环系统不稳定。点两圈，所以，闭环系统不稳定。知某系统的开环传送函数为知某系统的开环传送函数为) 1()3()()(sssKsHsGImRe)0, 1(j0 0GH 0分析：分析：G(s)H(s)在在s平面的右半平面平面的右半平面有一个极点，为有一个极点，为s=1，所以，所以，P =1。 实例分析实例分析 4 当当 由由-变到变到+ 时，开环奈氏时，开环奈氏轨迹逆时针包围轨迹逆时针包围(-1，j 0)点一圈，点一圈，所以，闭环系统是稳定的。显然，所以，闭环系统是稳定的。显然，此时的开环系统是非最小相位系

53、统。此时的开环系统是非最小相位系统。四四. . 关于关于NyquistNyquist判据的几点阐明判据的几点阐明Nyquist判据是在判据是在GH平面判别系统的稳定性；根据平面判别系统的稳定性；根据GH轨迹包围轨迹包围(-1, j0)点的情况来判别闭环系统的稳定性。点的情况来判别闭环系统的稳定性。 Nyquist判据证明复杂，但运用简单；由于普通系统的开环系统多为判据证明复杂，但运用简单；由于普通系统的开环系统多为最小相位系统，最小相位系统，P=0，因此，只需看开环，因此，只需看开环Nyquist轨迹能否包围轨迹能否包围(-1,j0)点，假设不包围，系统就稳定。当开环系统为非最小相位系统点，假

54、设不包围，系统就稳定。当开环系统为非最小相位系统P0时，时，先求出先求出P，再看开环，再看开环Nyquist轨迹包围点轨迹包围点(-1,j0)的圈数，并留意的圈数，并留意由小由小到大的轨迹的方向，假设是逆时针包围点到大的轨迹的方向，假设是逆时针包围点(-1,j0)P圈，那么系统稳定。圈，那么系统稳定。开环稳定与闭环稳定之间的关系；开环稳定与闭环稳定之间的关系；开环开环Nyquist轨迹是对称的。轨迹是对称的。)()()()(jHjGjHjG)()()()(jHjGjHjG实例分析实例分析 5 5知系统的开环传送函数为：知系统的开环传送函数为：) 1)(1()()(21sTsTKsHsG 开环奈

55、氏轨迹如右边图所示。开环奈氏轨迹如右边图所示。由于由于P = 0P = 0，当，当 由由-变到变到+ + 时，开环奈氏轨迹不包围时，开环奈氏轨迹不包围(-1(-1，j 0)j 0)点，所以，不论点，所以，不论K K 取任何正值，取任何正值，其所对应的闭环系统都是稳定的。其所对应的闭环系统都是稳定的。ImRe)0, 1(j0KGH0 从开环传送函数的特点可知，从开环传送函数的特点可知，当当 =+ =+ 时，相位为时，相位为-，当，当 由由0 0变到变到+ + 时，开环奈氏轨迹到时，开环奈氏轨迹到不了第二象限。所以，当不了第二象限。所以，当 由由-变到变到+ + 时，开环奈氏轨迹不会包围时，开环奈

56、氏轨迹不会包围(-1(-1，j 0)j 0)点，闭环系统总是点，闭环系统总是稳定的。由此可知，开环为最小相位系统时，只需三阶及其以上，稳定的。由此可知，开环为最小相位系统时，只需三阶及其以上，其闭环系统才有能够不稳定。其闭环系统才有能够不稳定。实例分析实例分析 7某系统的开环传送函数为：某系统的开环传送函数为：) 1()()(TssKsHsGImRe)0, 1(j0GH0 右图为其开环奈氏曲线。右图为其开环奈氏曲线。显然，只需显然，只需K0，无论取何值，无论取何值，其对应的闭环系统都是稳定的。其对应的闭环系统都是稳定的。此例中只需一个积分环节，而此例中只需一个积分环节，而且是二阶系统，相位最多

57、为且是二阶系统，相位最多为- 所以，闭环系一致定是稳定的。所以，闭环系一致定是稳定的。系统的开环传送函数为系统的开环传送函数为: :) 1)(1)(1() 1()()(3214sTsTsTssTKsHsG实例分析实例分析 8 8 导前环节在系统中的重要作用导前环节在系统中的重要作用右图为开环奈氏曲线。其中曲右图为开环奈氏曲线。其中曲线线1 1的的T4T4较小，即前导作用较小，即前导作用较弱，曲线包围了较弱，曲线包围了-1 -1，j0j0点，点，所对应的闭环系统不稳定。所对应的闭环系统不稳定。ImRe)0, 1(j0GH0) 1 ()2(曲线曲线 (2) (2) 的的 T4 T4 较大，即导前作

58、较大，即导前作用较强，曲线不包围用较强，曲线不包围 (-1 (-1，j 0)j 0)点，点，所对应的闭环系统稳定。所对应的闭环系统稳定。P=0实例分析实例分析 9 9 导前环节和积分环节的作用导前环节和积分环节的作用系统的开环传送函数为：系统的开环传送函数为：) 1() 1()()(122sTssTKsHsGP=0ImRe)0, 1(j0GH 0021TT ImRe)0, 1(j0GH 0 021TT ImRe)0, 1(j0GH 0 021TT 由图可知：由图可知：1 1T2T2大，表示导前环节作用大，可使系统稳定；大，表示导前环节作用大，可使系统稳定；2 2开环系统中串联的积分环节越多，即

59、系统的型次越高，开环开环系统中串联的积分环节越多，即系统的型次越高，开环NyquistNyquist轨迹越容易包围点轨迹越容易包围点1 1，j0j0，系统越容易不稳定，故普，系统越容易不稳定，故普通型次不超越通型次不超越IIIIII型。型。) 1() 1()()(122sTssTKsHsG五五. . 具有延时环节的系统的稳定性分析具有延时环节的系统的稳定性分析)(sXi)(1sGse)(sE)(sXo那么那么幅频特性为：幅频特性为：相频特性为：相频特性为：)()(1jGjGK)()(1jGjGKjKejGjG)()(1故故具有延时环节的系统传送函数构造图为：具有延时环节的系统传送函数构造图为：

60、延时环节不改动原频率特性幅值的大小，但改动其相角的大小。延时环节不改动原频率特性幅值的大小，但改动其相角的大小。sKesGsG)()(1ImRe)0, 1(j0GH0015 .0) 1(1)(1sssG对具有延时环节的单位反响系统，其特征方程为：对具有延时环节的单位反响系统，其特征方程为：0)(11 sesG即即假设系统处于临界形状，有：假设系统处于临界形状，有：1)()(G1K sesGs) 1 (1)()(G1KjGs)2()()(1KjGjG786. 015. 1解得：解得： 此例阐明，串联延时环节对系统稳定性是不利的。即使原系统稳定，但串入延时环节后系统能够会不稳定。 此例， 1.15