有限元法(杆系)2014版

1、第第2 2章章 杆系结构有限元法杆系结构有限元法1. 1. 有限元法应用的简例（直杆）有限元法应用的简例（直杆）2. 2. 1. 有限元法的简例（直杆）有限元法的简例（直杆） 例：自重作用下的等截面直杆例：自重作用下的等截面直杆分析杆中分析杆中位移、应变和应力分布位移、应变和应力分布 材料力学解答材料力学解答 有限元法解答有限元法解答 杆的长度为杆的长度为L，截面积为，截面积为A，弹性模量为弹性模量为E，单位长度的重量为，单位长度的重量为q 材料力学解答 N(x)xuxL-xq(L-x)有限元法解答 离散化离散化 将直杆划分成将直杆划分成n个有限段个有限段 两段轴线之间的连接点称两段轴线之间的

2、连接点称为节点为节点 每个有限段称为一个单元每个有限段称为一个单元 第第i个单元的长度为个单元的长度为Li，包，包含第含第i和第和第i+1两个节点两个节点 用单元节点位移表示单元内部位移用单元节点位移表示单元内部位移 把外载荷集中到节点上把外载荷集中到节点上 建立结点的力平衡方程建立结点的力平衡方程 3单元情况单元情况 xEAqLuunnn221221)11 (2)1 (iiiiiiiLEAquuu节点2：EAqauuu23212节点3：EAqauuu24322节点4：EAqauu2243平平衡衡方方程程约束条件约束条件01uaaaEAqa252EAqa282EAqa292aaa1234有限元

3、方法分析的一般步骤有限元方法分析的一般步骤d 节点力（内、外力）平衡条件；节点力（内、外力）平衡条件；a 离散，建立有限元模型：离散，建立有限元模型：节点和单元节点和单元 b 确定单元位移分布（由确定单元位移分布（由结点位移结点位移进行进行插值插值）c 单元特性分析；单元特性分析； e 引入位移边界条件后求解；引入位移边界条件后求解；例：例：213（1）（2）F 已知已知 直杆长度为直杆长度为l，两杆夹角为两杆夹角为 45度。度。两杆的横截面面积两杆的横截面面积 为为A，材料弹性模量为材料弹性模量为E。 求：图示求：图示2 2 将系统离散为将系统离散为2个单元，个单元，3个节点个节点（其中（其

4、中1个共用个共用）213（1）（2）2bxauYXijl)(uixiF)(viyiF)(vjyjF)(ujxjF )( )( 0jiuxulxuxux：和： / )( luubuaiji0 /)( vlxuuuuiji单元特性分析（确定单元特性分析（确定应变应变、应力应力、轴力轴力） EAFx )(1ijuuldxdu jiuulEAEAF 杆端力杆端力为：为：00yjijxjyijixiFuulEAFFuulEAF矩阵形式表示矩阵形式表示jjiiyjxjyixivuvulEAlEAlEAlEAFFFF000000000000局部坐标下的局部坐标下的节点力列向量节点力列向量 局部坐标下的局部坐

5、标下的节点位移列向量节点位移列向量 eeeKF eeeKF yx 须首先进行坐标转换须首先进行坐标转换在杆系结构有限元法中，在杆系结构有限元法中，每个单元每个单元都有自己的都有自己的局部坐标系局部坐标系， 但对但对整个结构整个结构而言需而言需建立统一的整体坐标系建立统一的整体坐标系。把任意的一个单元取出来，放在整体坐标系下，考察一下该把任意的一个单元取出来，放在整体坐标系下，考察一下该单元在两种坐标系下的物理量的转换（变换）关系单元在两种坐标系下的物理量的转换（变换）关系。符号约定：局部坐标系下的物理量用加上画线来标记。符号约定：局部坐标系下的物理量用加上画线来标记。首先定义一下整体坐标系首先

6、定义一下整体坐标系x-yx-y与局部坐标系与局部坐标系 的夹角符号：的夹角符号：yx x-yx-y坐标系沿坐标系沿逆时针逆时针转动到与转动到与 坐标系重合，则坐标系重合，则x-yx-y坐标坐标系转过的系转过的角度角度 为正为正。节点力平衡方程节点力平衡方程杆端力的坐标变换 cossinsincosyixiyiyixixiFFFFFF cossinsincosyjxjyjyjxjxjFFFFFFyjxjyixiyjxjyixiFFFFFFFF cossin00sincos0000cossin00sincos矩阵形式矩阵形式表示表示 )()()(eeeFTF或同理 )()()(eeeT TxiFF

7、 F F F yjxjyiA.局部坐标系下的物理量： TxiFF F F F yjxjyiB.结构坐标系下的物理量：单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换: 在局部坐标系下，单元的刚度方程为： kF 由式（2-5）可得： FTFTFT1由式（2-6）可得： TTT1 kF 带入可得： eTeeTKTF使： TeeTKTK eeeKF 结构坐标系下的单元刚度矩阵结构坐标系下的单元刚度矩阵 结构坐标系下的单元刚度方程结构坐标系下的单元刚度方程 所以：对单元所以：对单元1，0 TeeTKTK 000001010000010110000100001000010000010100000101100

8、0010000100001)1(lEAlEAK对单元对单元2，45 212121212121212121212121212121212)2(lEAK构造结构刚度矩阵（节点力合成）构造结构刚度矩阵（节点力合成） 对于节点1有： )1(11FF节点1的节点力 单元(1)中节点1的节点力（杆端力） 同理有：对节点2： )2(2)1(22FFF )2(33FF对节点3：任一单元(e)的单元刚度方程为： eeeKF ejiejjjiijiiejiKKKKFF或对单元(1)有： 121122211211121 KKKKFF对单元(2)有： 232233322322232 KKKKFF因此，由节点1，2，3

9、节点力合成可得： 232332223232332322322222121221112122212212112111111111 KKFFFKKKKFFFFKKFFF注意到节点位移的连续性有： 32322212111 因此，把全部节点力写成矩阵形式有 321)2(33)2(32)2(23)2(22)1(22)1(21)1(12)1(113210)(0 KKKKKKKKFFF KF 或：所以，总刚为所以，总刚为221221221221002212212212210022122122122100221221221221101000000000101lEAk)(ek )()()(eeekF 单元的局部力（节点内力）单元的局部力（节点内力）单元节点位移单元节点位移K KF 结构的总力（节点内力合成）结构的总力（节点内力合成） 节点位移节点位移 K 332211332211221221221221002212212212210022122122122100221221221221101000000000101.vuvuvulEAFFFFFFkFyxyxyx00002212212212210022122122122100221221221221002212212212211010000000001010223311vulEAFFFFF