第四章弯曲应力

1、材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院1一、弯曲的概念一、弯曲的概念1、弯曲弯曲: : 杆受垂直于轴线的外力或外力偶作用时杆受垂直于轴线的外力或外力偶作用时, ,轴线由轴线由 直线变成了曲线，这种变形称为弯曲。直线变成了曲线，这种变形称为弯曲。2、梁：以、梁：以弯曲变形为主的弯曲变形为主的 构件通常称为梁。构件通常称为梁。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力4.1 4.1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念MMABF1F2q材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院23、工程实例、工程实例材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院3材料力学材料力学中南大学土木

2、工程学院中南大学土木工程学院44、平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力、平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力 在同一平面内。在同一平面内。纵向对称面纵向对称面MF1F2q平面弯曲亦称为对称弯曲（指前后对称）。平面弯曲亦称为对称弯曲（指前后对称）。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院5FA AF1F2 B对称轴对称轴纵对称面纵对称面FB 对称弯曲对称弯曲(平面弯曲平面弯曲)时时梁变形后轴线所在平面梁变形后轴线所在平面与外力所在平面相重合与外力所在平面相重合材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院6 特定条件下，发生非对称弯曲的梁变形后其轴线所在特定

3、条件下，发生非对称弯曲的梁变形后其轴线所在平面也会跟外力所在平面相重合，因而也属于平面也会跟外力所在平面相重合，因而也属于平面弯曲平面弯曲。梁不具有纵对称面；梁不具有纵对称面；梁有纵对称面，但外力没有作用在纵梁有纵对称面，但外力没有作用在纵对称面内，从而变形后轴线所在平面与对称面内，从而变形后轴线所在平面与梁的纵对称面不一致。梁的纵对称面不一致。5、非对称弯曲、非对称弯曲yzFq qxzyFq q材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院7二、梁的计算简图二、梁的计算简图 梁的支承条件与荷载情况一般都比较复杂，为了便于梁的支承条件与荷载情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行

4、必要的简化，抽象出计算简图。分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。1、构件本身的简化、构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。通常取梁的轴线来代替梁。2、荷载简化、荷载简化 作用于梁上的荷载（包括支座约束力）可简化为三种作用于梁上的荷载（包括支座约束力）可简化为三种 类型：集中力、集中力偶和分布荷载。类型：集中力、集中力偶和分布荷载。F集中力集中力ABFA集中力偶集中力偶Mqq(x)分布荷载分布荷载MA材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院8固定铰支座固定铰支座 2个约束，个约束，1个自由度。个自由度。如：桥梁下的固定支座，止如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。推滚珠

5、轴承等。可动铰支座可动铰支座 1个约束，个约束，2个自由度。个自由度。如：桥梁下的辊轴支座，如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。滚珠轴承等。AAAFAxFAyAAAAFAA3、支座简化、支座简化材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院9固定端约束固定端约束 3个约束，个约束，0个自由度。个自由度。如：游泳池的跳水板支座，如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。木桩下端的支座等。AFAyAFAxMA4 4、梁的三种基本形式、梁的三种基本形式悬臂梁悬臂梁q(x)分布荷载分布荷载M集中力偶集中力偶简支梁简支梁材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院10静定梁：由静力学

6、方程可求出全部约束力的梁，静定梁：由静力学方程可求出全部约束力的梁， 如上述三种基本形式的静定梁。如上述三种基本形式的静定梁。静不定梁：由静力学方程不能求出全部约束力的梁。静不定梁：由静力学方程不能求出全部约束力的梁。外伸梁外伸梁M集中力集中力FMq均匀分布荷载均匀分布荷载F5、静定梁与静不定梁、静定梁与静不定梁材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院11一、弯曲内力一、弯曲内力解：求外力解：求外力=0 0=0 ()=0 xAxAByAyFFFaMFlF laFFl4.2 4.2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩FFAyFAxFBAB求内力求内力截面法截面法xmm如图，已知：如图，

7、已知：F，a，l。求距求距A端端x处截面上内力。处截面上内力。FalAB材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院12S()=0 =0 yAyCAyF laFFFlMMFxM 弯曲构件弯曲构件 内力内力剪力剪力 FS弯矩弯矩 M2、弯矩：、弯矩：M 构件受弯时，作用面垂直于横截面的内力偶矩。构件受弯时，作用面垂直于横截面的内力偶矩。ACCBFAyFSFFBFSM1、剪力：、剪力：FS 构件受弯时，作用线平行于横截面的内力。构件受弯时，作用线平行于横截面的内力。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院133、内力的正负规定内力的正负规定剪力剪力FS：绕研究对象顺时针

8、转动为正；反之为负。：绕研究对象顺时针转动为正；反之为负。弯矩弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形 的为负弯矩。的为负弯矩。FS(+)M(+)M(+)M()M()FS(+)FS()FS()材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院144、内力大小的求法（按内力大小的求法（按“设正法设正法” 画图）画图）某截面剪力的大小等于该截面一侧（左或右）梁上某截面剪力的大小等于该截面一侧（左或右）梁上 所有外力的代数和。即所有外力的代数和。即 S()FFFF 上下对截面左侧梁而言，向上的外力引起正的剪力，向下的对截面左侧梁而言，向上的外力引起正的

9、剪力，向下的外力引起负的剪力。右侧则相反外力引起负的剪力。右侧则相反q1FAMCq2F1FSM1S()FFFF 下上q3FBMCF2FSM2或或应选外力比较简单的一侧计算！应选外力比较简单的一侧计算！材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院15某截面弯矩的大小等于该截面一侧所有外力对此截面某截面弯矩的大小等于该截面一侧所有外力对此截面 形心之矩的代数和。形心之矩的代数和。向上的外力引起正的弯矩，向下的外力引起负的弯矩。向上的外力引起正的弯矩，向下的外力引起负的弯矩。 截面左侧梁上顺时针转向的力偶引起正的弯矩，截面左侧梁上顺时针转向的力偶引起正的弯矩，逆时针转向的力偶引起负的弯矩

10、，右侧则相反。逆时针转向的力偶引起负的弯矩，右侧则相反。q1FAMCq2F1FSM1q3FBMCF2FSM2或或()()CCMMFMF上下+M顺顺M逆逆()()CCMMFMF上下+M逆逆M顺顺材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院163064.53018kN203030kNBAAyABBMFFqFFFFFqF S116kN2(2 1.5)30kN mAAFFFMFF S2B2B1.52kN1.51.51.531.5kN m2FqFMFq 解：解： 1、求约束力、求约束力2、计算、计算1-1截面的内力截面的内力3、计算、计算2-2截面的内力截面的内力F=12kNFAS1F1MF

11、Bq=12kN/mS2F2M求下图所示简支梁求下图所示简支梁1 1与与2 2截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=12kNABFAFB材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院17计算一个截面的内力，可直接根据方程由外力写出结果，而不计算一个截面的内力，可直接根据方程由外力写出结果，而不 必逐个作截面画受力图再列方程求解。必逐个作截面画受力图再列方程求解。求弯矩时不论取截面左侧还是取截面右侧，都是向上的外力引求弯矩时不论取截面左侧还是取截面右侧，都是向上的外力引 起正的弯矩，向下的外力引起负的弯矩，与求剪力不同。起正的弯矩

12、，向下的外力引起负的弯矩，与求剪力不同。二、剪力方程和弯矩方程二、剪力方程和弯矩方程 内力图内力图1、内力方程：内力与截面位置坐标、内力方程：内力与截面位置坐标(x)间的函数关系式。间的函数关系式。FS=FS (x) 剪力方程剪力方程M=M (x) 弯矩方程弯矩方程注意注意用方程表达内力沿轴线的变化规律，其优缺点是用方程表达内力沿轴线的变化规律，其优缺点是用积分法求弯曲变形需要列出弯矩方程；用积分法求弯曲变形需要列出弯矩方程；方程依赖于坐标系，即同一段梁用不同坐标系写出的方程依赖于坐标系，即同一段梁用不同坐标系写出的 方程不同。且内力变化规律不直观，不方便。方程不同。且内力变化规律不直观，不方

13、便。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院183、FS，M 图图(剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图)的要求的要求 与梁的轴线对齐画，并注明内力性质；与梁的轴线对齐画，并注明内力性质； 正的剪力画在梁的上方，负的剪力画在梁的下方；正的剪力画在梁的上方，负的剪力画在梁的下方； 弯矩无论正负均画在梁受拉的一侧；弯矩无论正负均画在梁受拉的一侧； (即正的弯矩画在梁的下方，负的弯矩画在梁的上方即正的弯矩画在梁的下方，负的弯矩画在梁的上方) 标明特殊截面内力数值；标明特殊截面内力数值； 标明内力的正负号；标明内力的正负号； 注明内力单位。注明内力单位。2、剪力图和弯矩图、剪力图和弯矩图将内力

14、方程画成图像，观察内力变化规律既唯一又直观。将内力方程画成图像，观察内力变化规律既唯一又直观。剪力图剪力图 FS=FS (x)的图线表示的图线表示弯矩图弯矩图 M=M (x)的图线表示的图线表示材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院19解：解：1、求约束力、求约束力2qlFFBA2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程2( )222(0)AxqlxqxM xF xqxxlx图示简支梁受集度为图示简支梁受集度为q的均布荷载作用，试作梁的剪力图和弯矩图。的均布荷载作用，试作梁的剪力图和弯矩图。BlAqFBFAxAqFAFS(x)M(x)S( )(0)2AqlF xFqxqx

15、xlA截面：截面：x=0+，B截面：截面： x=l-材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院203、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图Smax2qlFql2FS图图S( )2qlF xqxql28l/2M图图 82maxqlM2( )22qlxqxM x BlAq材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院21解：解：1、求约束力、求约束力2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程 需分两段列出需分两段列出ABFbFaFFllS( )(0)FbF xxal( )(0)FbM xxxal图示简支梁受集中荷载图示简支梁受集中荷载F作用，试作梁的剪力图和弯矩图。作用，

16、试作梁的剪力图和弯矩图。xBlAF abCFBFAAC段段FAxAM(x)FS(x)材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院22S( )()BFaF xFaxll( )()()()BFaM xF lxlxlaxlxBlAF abCFBFACB段段FBBFS(x)M(x)l-x材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院233、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图S1( )FbFxlS2( )FaFxl FS 图图FblFal2( )()FaMxlxl1( )FbMxxlM图图FablBlAF abC材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院242、列剪力

17、方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程解解: : 1、求约束力、求约束力( )( )ABMMFFll 剪力方程无需分段：剪力方程无需分段：S( )(0)AMF xFxll图示简支梁受矩为图示简支梁受矩为M 的集中力偶作用，作梁的剪力图和弯矩图。的集中力偶作用，作梁的剪力图和弯矩图。MBlACabFA FB材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院25弯矩方程弯矩方程分分AC和和CB两段两段( )(0)AMM xF xxlxa( )()()MM xlxlaxl MBlACabFA FBAC段段FAxAM(x)FS(x)CB段段FBBFS(x)M(x)l-x材料力学材料力学中南大学土木

18、工程学院中南大学土木工程学院263、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图S( )MF xlFS图图lMlM图图MalMbMBlACab分析外力偶分别移到左右两端时的内力图！并作总结！分析外力偶分别移到左右两端时的内力图！并作总结！材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院27 由剪力、弯矩图知：在集中力偶由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，其突作用点，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。变值为集中力偶的大小。结构对称、外力对称时，剪力图为反对称，弯矩图为正对称。结构对称、外力对称时，剪力图为反对称，弯矩图为正对称。结构对称、外力反对称时，剪力图为正对称，弯矩图

19、为反对称。结构对称、外力反对称时，剪力图为正对称，弯矩图为反对称。由剪力、弯矩图知：在集中力作由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，剪力图发生突变，其突变用点，剪力图发生突变，其突变值等于集中力的大小。值等于集中力的大小。FabClABlFab/MlFb/lFa/FSFSMabClABMlM /lMa/lMb/材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院28剪力图形状：位于轴线上剪力图形状：位于轴线上最左端最左端的小球在外力作用下的小球在外力作用下升降升降或无或无外力作用下外力作用下平行于轴线移动平行于轴线移动到到轴线上最右端轴线上最右端所形成的轨迹。所形成的轨迹。简支梁受简单荷载作用

20、下的弯矩图形状：柔性体在荷载作用下简支梁受简单荷载作用下的弯矩图形状：柔性体在荷载作用下变形所形成的形状。变形所形成的形状。悬臂受简单荷载作用下的弯矩图形状悬臂受简单荷载作用下的弯矩图形状22qlFlqlABFlABMlABM特别要指出的是：左右端面的内力等于相应的外力！即端面特别要指出的是：左右端面的内力等于相应的外力！即端面弯矩等于外力偶，若无外力偶作用，则端面弯矩为零！弯矩等于外力偶，若无外力偶作用，则端面弯矩为零！材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院29三、三、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系剪力、弯矩与分布荷载间的关系对对dx微段分析，由微段分析，由 F=0SSS(

21、 )( )d( ) d( )0F xq x xF xF xdxxq(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)FS(x)M(x)dxAS( )dd( )q xxFx剪力图上某点切线的斜率等剪力图上某点切线的斜率等于该点处荷载集度的大小于该点处荷载集度的大小d( )( )dF xq xxSq(x) 向上为正向上为正x坐标向右为正坐标向右为正材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院302S( )0 1( )d( )(d )( )( )d( )02AMFF xxq xxM xM xM x弯矩图上某点处切线的斜率等于该点剪力的大小。弯矩图上某点处切线的斜率等于该点剪力的大小。弯矩

22、与荷载集度的关系是：弯矩与荷载集度的关系是：d( )( )dM xF xxS22d( )( )dMxq xxq(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)FS(x)M(x)dxA材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院31 剪力、弯矩与分布荷载间的积分关系剪力、弯矩与分布荷载间的积分关系由微分关系积分得由微分关系积分得21S2S1()()( )dxxF xF xq xx2121S()()( )dxxM xM xF xx条件：条件： x1x2 ，且且 x1到到 x2 间无集中力作用。间无集中力作用。条件：条件： x1x2 ，且且x1到到x2间无集中力偶作用。间无集中力偶作用

23、。2121S()()( )dxxM xM xF xx即即用此式配合剪力图面积可以跳跃式计算某截面的弯矩！用此式配合剪力图面积可以跳跃式计算某截面的弯矩！x1到到x2间剪力图面积间剪力图面积材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院32二、剪力、弯矩与外力间的关系二、剪力、弯矩与外力间的关系外力外力FS图图特特征征M图图特特征征无外力段无外力段q=0水平直线水平直线xFSFS 0FSFS 0q0材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院33剪力图和弯矩图的定性分析剪力图和弯矩图的定性分析FSFFF1F3F4FFF1M1F3F4M2qqF5F5MM1M2材料力学材料力学

24、中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院34解解: :特殊点特殊点端点；端点；分区点（外力变化点），分区点（外力变化点），即集中力（力偶）作用点，即集中力（力偶）作用点，分布力开始和结束点等；分布力开始和结束点等；驻点驻点( (剪力为零，弯矩取极值剪力为零，弯矩取极值) )。四、作内力图的简捷方法四、作内力图的简捷方法利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。 用简捷作图法画图示梁的内力图。用简捷作图法画图示梁的内力图。aaqaqA材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院35Sd( )( )dM xF xx22d( )(

25、 )dMxq xx；线形：根据线形：根据 ddFxq xxS及集中荷载点的规律确定及集中荷载点的规律确定。FSqa2Mqa2qa252qaaaqaqA材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院36解：求约束力解：求约束力M 的驻点的驻点：2S308FMqa ；3qa2/8 22ADqaqaFF；用简捷法画简支梁的内力图。用简捷法画简支梁的内力图。Dqqaqa2ABCaaaFAFDMqa2/2+qa2/2qa2/2FSqa/2+qa/2qa/2材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院37解：解： 求约束力求约束力kN8 . 3kN2 . 7BAFFFS3(kN)4.

26、2M(kNm)3.81.413+3.82.22.1mE+外伸梁外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁内力图。承受荷载如图所示，作该梁内力图。DABC1m1m4m3kN2kN/m6kNmFAFB材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院38画出图示有中间铰的静定梁的剪力图和弯矩图画出图示有中间铰的静定梁的剪力图和弯矩图1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/mM=5kNmF=50kNMA FAyFByMA=96.5kN，FAy=81kN，FBy=29kN813129FS图图( (kN) )1.45 m96.515.53155345M图图( (kNm) )材料力学材料力学中南大

27、学土木工程学院中南大学土木工程学院39S12nS11S22Snn()()()()F FFFFFFFFF ， ，1212n12n()()()()nM FFFM FM FM F ， ，适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必须与荷载满适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必须与荷载满足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。五、按叠加原理作弯矩图五、按叠加原理作弯矩图1、叠加原理：、叠加原理： 多个荷载同时作用于结构而引起的内力等于每个荷载单独多个荷载同时作用于结构而引起的内力等于每个荷载单独作用于结构而引起内力的代数和。作用于结构而引起内力的代数和。材料力学

28、材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院402、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理 叠加方法叠加方法步骤：步骤： 分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； 将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形 的简单拼凑）。的简单拼凑）。3、对称性与反对称性的应用、对称性与反对称性的应用 对称结构在对称荷载作用下，对称结构在对称荷载作用下，FS图反对称，图反对称，M图对称；图对称；对称结构在反对称荷载作用下，对称结构在反对称荷载作用下， FS图对称，图对称，M图反对称。图

29、反对称。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院41 =+FABqABM12F a=+M222qa+M222Faqa按叠加原理作图示简支梁的弯矩图按叠加原理作图示简支梁的弯矩图。qFABaa材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院42+FlMFFlllFllFlll0.5FlM20.5Fl+M10.5Fl+材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院432/FlM2/Fl/2Fl4/Fl（1）选定外力的不连续点）选定外力的不连续点(如如集中力、集中力偶的作用点，集中力、集中力偶的作用点，分布力的起点和终点等分布力的起点和终点等)为控为控制截面，求出控

30、制截面的弯矩制截面，求出控制截面的弯矩值。值。 （2）分段画弯矩图。当控）分段画弯矩图。当控制截面之间无荷载时，该段弯制截面之间无荷载时，该段弯矩图是直线图形。当控制截面矩图是直线图形。当控制截面之间有荷载时，用叠加法作该之间有荷载时，用叠加法作该段的弯矩图。段的弯矩图。利用内力图的特性和弯矩图利用内力图的特性和弯矩图叠加法，将梁弯矩图的一般叠加法，将梁弯矩图的一般作法作法归纳如下归纳如下：2FCl/2ABFl/2l/2材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院44区段叠加法作弯矩图区段叠加法作弯矩图 设简支梁同时承受跨间设简支梁同时承受跨间荷载荷载q与端部力偶与端部力偶MA、M

31、B的的作用。其弯矩图可由简支梁作用。其弯矩图可由简支梁受端部力偶作用下的直线弯受端部力偶作用下的直线弯矩图与跨间荷载矩图与跨间荷载q单独作用下单独作用下简支梁弯矩图叠加得到。即简支梁弯矩图叠加得到。即0( )( )( )M xM xMxBMBAqMAl注意：中间数值不一定注意：中间数值不一定是该段抛物线的极值！是该段抛物线的极值！+MBMA( )M x+MBMAql2/8中间值中间值+ql2/80( )Mx材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院45FS图图5qa/3qa/38a/34qa2/3M图图qa2/185qa2/3作图示梁的剪力图和弯矩图。作图示梁的剪力图和弯矩图。B

32、3aACMe =3qa2aq解：支座约束力为：解：支座约束力为：5133ABFqaFqaFAFB材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院4649qa2/325qa2/4744ABqaqaFF；改内力图之错。改内力图之错。7qa/4FSM+qa/4qa/43qa/4qa2/4qBAa2aaqa23qa2/2材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院475kN1kNq=2kN/mM(kNm)+111.25已知已知FS图，作外荷载图及弯矩图（梁上无集中力偶）。图，作外荷载图及弯矩图（梁上无集中力偶）。FS(kN)1m1m2m231+材料力学材料力学中南大学土木工程学院中

33、南大学土木工程学院48qlqqlq作图示斜梁的弯矩图作图示斜梁的弯矩图28ql28ql弯矩方程为弯矩方程为2()22qlqMxxxxx弯矩方程为弯矩方程为2cos()2cos2qlxqMxxqq2qlcos2qlq0qlsinq均布荷载按水平尺寸计算均布荷载按水平尺寸计算材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院4928cosqlqqlqqlqx弯矩方程为弯矩方程为2( )2coscos21()22cosqlxxM xxqqlqxxqqq 28cosqlqx弯矩方程为弯矩方程为2( )2 coscos21()22cosqlxxxM xqqlqxxqqq 2cosqlq02qlql

34、tanq均布荷载按杆轴线尺寸计算均布荷载按杆轴线尺寸计算材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院50条件：完全等价条件：完全等价必须满足必须满足12coslqlqqq1lq218q lx均布荷载按水平尺寸计算均布荷载按水平尺寸计算228cosq lqq2lqx均布荷载按杆轴线尺寸计算均布荷载按杆轴线尺寸计算即即21cosqqq材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院511、平面刚架：同一平面内不同取向的杆件，通过杆端相互、平面刚架：同一平面内不同取向的杆件，通过杆端相互 刚性连接刚性连接(变形后夹角不变变形后夹角不变)而组成的结构。而组成的结构。 特特 点：刚架

35、各杆的内力通常有：点：刚架各杆的内力通常有： FN、 FS 、M 。2、内力图规定、内力图规定 弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。 剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧(通常正值通常正值画在刚架的外侧画在刚架的外侧)，但须注明正、负号。，但须注明正、负号。 4.3 4.3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图一、平面刚架一、平面刚架3、内力图画法、内力图画法 可将可将刚节点刚节点视为视为固定端固定端，刚架由不同取向的悬臂梁组成。，刚架由不同取向的悬臂梁组成。材料力学材料力学中南大学土木工程学院

36、中南大学土木工程学院52F2+FS图图F1+FN 图图F1F1aM 图图F1aF1a+F2 ll试作图示刚架的内力图。试作图示刚架的内力图。F1F2aABC材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院532qaFN图图2qa2qaFS图图2qa26qa2M图图试作图示刚架的内力图。试作图示刚架的内力图。F=2qa BCA2aa2aDq材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院54二、平面曲杆二、平面曲杆：轴线为一平面曲线的杆件：轴线为一平面曲线的杆件。 内力情况及绘制方法与平面刚架相同。内力情况及绘制方法与平面刚架相同。如图所示，已知如图所示，已知F及及R ，试绘制，

37、试绘制M 、 FS 、 FN 图。图。OFRqmmx解：建立极坐标，解：建立极坐标，O为极点，为极点，OB 极轴，极轴，q q表示截面表示截面mm的位置。的位置。( )(cos )(1 cos ) (0)MFxF RRFRqqqq N( )cos (0)FFqq S( )sin (0)FFqq AB材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院55OFRq qmmxABABOM图图OO+FS图图FN 图图2FRFF+( )(cos )(1 cos ) (0)MFxF RRFRqqqq S( )sin (0)FFqq N( )cos (0)FFqq 材料力学材料力学中南大学土木工程学院

38、中南大学土木工程学院56qABFFlxxC起吊一根自重为起吊一根自重为q(N/m)的等截面梁。起吊点位置的等截面梁。起吊点位置x应为多少才最合理？应为多少才最合理？提示：使梁的最大正弯矩与提示：使梁的最大正弯矩与最大负弯矩的绝对值相等。最大负弯矩的绝对值相等。解：解：22AqxM 2()( )()22 2222 4Clqlqlll lMFxxqACMM22440 xlxl122xl 0.207xlx为负值无意义为负值无意义取取材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院571 1、弯曲构件横截面上的应力、弯曲构件横截面上的应力MFSFSt t切应力切应力t t内力内力剪力剪力FS弯

39、矩弯矩M正应力正应力s sMs s4.4 4.4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力剪力是位于横截面内的内力系的合力，而剪力只与切应力剪力是位于横截面内的内力系的合力，而剪力只与切应力t t有关。弯矩是垂直于横截面的内力系的合力偶矩；弯矩有关。弯矩是垂直于横截面的内力系的合力偶矩；弯矩M只只与横截面上的正应力与横截面上的正应力s s有关。有关。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院58纯纯 某段梁的内力只有弯矩没某段梁的内力只有弯矩没弯弯 有剪力时，该段梁的变形有剪力时，该段梁的变形曲曲 称为纯弯曲，如称为纯弯曲，如AB段。段。MM横力弯曲横力弯曲 某段

40、梁的内力既有弯矩，又某段梁的内力既有弯矩，又有剪力时，该段梁的变形称有剪力时，该段梁的变形称为横力弯曲，如为横力弯曲，如AB以外段。以外段。 FFaaABFSMFFFa材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院592 2、研究方法、研究方法平面弯曲平面弯曲取纵向对称面研究取纵向对称面研究FA AFFB对称轴对称轴纵对称面纵对称面FB F纵向对称面纵向对称面F材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院601、梁的纯弯曲实验梁的纯弯曲实验（一）变形几何规律（一）变形几何规律一、纯弯曲时梁横截面一、纯弯曲时梁横截面 上的正应力上的正应力中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性

41、轴中性轴ababMeMe 横向线横向线( (ab、ab）变形）变形后仍为直线，但有转动；后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上面纵向线变为曲线，且上面压缩，下面伸长；各纵向压缩，下面伸长；各纵向线间距不变。横向线与纵线间距不变。横向线与纵向线变形后仍正交。向线变形后仍正交。bbaa材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院612、两个概念、两个概念中性层：梁内一层纵向线段既不伸长也不缩短，因而纵向中性层：梁内一层纵向线段既不伸长也不缩短，因而纵向线段不受正应力作用，此层纵向线段构成中性层。线段不受正应力作用，此层纵向线段构成中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。中性轴：中性层

42、与横截面的交线。中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴意意 中性层将梁分成两个上下区域：凹侧纵向线段受压缩短，中性层将梁分成两个上下区域：凹侧纵向线段受压缩短， 凸侧纵向线段受拉伸长。而中性轴上的正应义力为零。凸侧纵向线段受拉伸长。而中性轴上的正应义力为零。义义 弯曲变形可看作是横截面绕自己的中性轴转动。弯曲变形可看作是横截面绕自己的中性轴转动。材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院623、推论推论平面假设：横截面变形后仍为平面假设：横截面变形后仍为平面平面，只是绕中性轴发生，只是绕中性轴发生 转动，与中性层平行平面的各纵向线段变形相等。转动，与中性层平行平面的各纵向线

43、段变形相等。横截面上只有正应力。横截面上只有正应力。 y 轴轴纵对称轴纵对称轴 z 轴轴中性轴中性轴 y y 坐标相同的点所在纵向线段坐标相同的点所在纵向线段变形相同，因而应力相同，所以变形相同，因而应力相同，所以s s x= ss(y)横截面横截面 yz材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院634、几何方程、几何方程b1MMmmnnaabbr中性层的曲率半径中性层的曲率半径Cbbr ryO1O2dq qdxmmnn放放大大qrdd21xOO中性层纵向线段变性前后长度不变中性层纵向线段变性前后长度不变1211212xbbOObbyOOOOr变性后长度变性后长度()dbbyrq

44、mabmanbndx材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院64（二）物理关系（二）物理关系假设：各纵向线段之间的距离不变，因而纵向线段互不假设：各纵向线段之间的距离不变，因而纵向线段互不 挤压，即没有垂直于轴线的正应力。于是，任意挤压，即没有垂直于轴线的正应力。于是，任意 一点均处于一点均处于单向应力状态单向应力状态。 xxEyEssrs sxs sx即横截面上的正应力即横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化。向按直线规律变化。s stmax Ms scmax材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院65（三）静力学关系（三）静力学

45、关系0dNAAFsrsyEE0drrzAESAyE0dAyAzMs0drryzAEIAyzE0yzI对称弯曲时对称弯曲时y轴为对称轴，此条件自动满足。轴为对称轴，此条件自动满足。有以上分析可知，有以上分析可知，y、z轴为形心主惯性轴！轴为形心主惯性轴！得得 Sz=0，即中性轴，即中性轴z必过截面形心，必过截面形心，所以中性轴一定是形心轴。所以中性轴一定是形心轴。zOyzdA s sdAyx材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院66MAyMAzdsMEIAyEzArrd21zMEIr得得这是纯弯梁变形时中性层曲率的表达式。这是纯弯梁变形时中性层曲率的表达式。其中其中EIz称为梁

46、的称为梁的抗弯刚度抗弯刚度。rsyEE代入上式代入上式zOyzdA s sdAyx材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院67 弯曲正应力计算公式弯曲正应力计算公式rsyEEzEIMr1ZMyIs 弯曲正应力沿截面高度线性分布，中性轴上为弯曲正应力沿截面高度线性分布，中性轴上为零，距中性轴越远，数值越大。零，距中性轴越远，数值越大。横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化。横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化。s smax M材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院68当中性轴当中性轴 z 不是横截面的对称轴时不是横截面的对称轴时t,ma

47、xc,maxt,maxc,maxzzMyMyIIsst,maxsc,maxsOzyyt,maxyc,max材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院69 当中性轴当中性轴 z 为横截面的对称轴时为横截面的对称轴时maxmaxmaxzzzMyMMIWIys称为抗弯截面系数称为抗弯截面系数(模量模量)，单位：，单位：m3 或或mm3。中性轴为对称轴时才有，中性轴不是对称轴时不存在。中性轴为对称轴时才有，中性轴不是对称轴时不存在。根据变形来判断最大拉根据变形来判断最大拉压应力，其数值相等。压应力，其数值相等。s smax Mzybhyzd材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木

48、工程学院70简单截面的抗弯截面系数简单截面的抗弯截面系数3212/26zzzIbhbhIWh3212/26yyyIb hb hIWb644dIIyz322/2/3ddIdIWWyzyz 矩形截面矩形截面zybh 圆形截面圆形截面yzd材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院71(4) 型钢截面：参见型钢表型钢截面：参见型钢表444416464zyDIIDdyzzWDDIW431322/dD式中式中 空心圆截面空心圆截面DOdyz材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院72横力弯曲时：横力弯曲时：由于切应力的存在使梁的横截面发生翘曲；由于切应力的存在使梁的横截面发

49、生翘曲；横向力还使各纵向线之间发生挤压。横向力还使各纵向线之间发生挤压。 平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。二、横力弯曲时梁横截面上的正应力二、横力弯曲时梁横截面上的正应力1、横力弯曲变形特点、横力弯曲变形特点2、横力弯曲时的正应力、横力弯曲时的正应力Fq 采用纯弯曲正应力公式，当梁的跨高比采用纯弯曲正应力公式，当梁的跨高比 l / h5 时，误差时，误差d d 1%1%，因此，对细长梁，无论纯弯曲还是横力弯曲，横截，因此，对细长梁，无论纯弯曲还是横力弯曲，横截面上的正应力都可用下式计算：面上的正应力都可用下式计算：ZMyIs材

50、料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院73 解：解：1、作弯矩图如上、作弯矩图如上M图图mkN3754maxFlM375KNm2、查型钢表得、查型钢表得4365585cm2342 cmzzIW56号工字钢号工字钢图示简支梁由图示简支梁由56a号工字钢制成，已知号工字钢制成，已知F=150kN。试求危险截面上的最大。试求危险截面上的最大正应力正应力s smax 和同一横截面上翼缘与腹板交界处和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力点处的正应力s sa 。B5m10mAF C12.521166560za材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院74MPa160mm

51、102342mmN10375336maxmaxzWMsmax644560375 10 N mm21 mm2148 MPa65585 10 mmaazMyIs3、求正应力为、求正应力为12.521166560za材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院75120 20 1020 120206045mm120 2020 120Cy解：解：1、确定截面形心位置确定截面形心位置 选参考坐标系选参考坐标系yoz 如图示，将截面分解为如图示，将截面分解为I I和和IIII两部分，两部分， 形心形心C 的纵坐标为的纵坐标为: :如图所示悬臂梁，自由端承受集中荷载如图所示悬臂梁，自由端承受集中

52、荷载F=15kN作用。试计算截面作用。试计算截面BB的最大拉应力与最大压应力。的最大拉应力与最大压应力。400BBF2012020120IIIzCzyyCO材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院763264120201202045 103.02 10 mm12zI2、计算截面惯性矩计算截面惯性矩326420 12020 12080455.82 10 mm12zI66643.02 105.08 108.84 10 mmzI 3、计算最大弯曲正应力计算最大弯曲正应力 截面截面BB的弯矩为的弯矩为MB=6kNm 在截面在截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其的上、

53、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其值分别为：值分别为：7t,max-67c,max-66000 0.0453.05 10 Pa30.5MPa8.84 1060000.120.020.0456.45 10 Pa64.5MPa8.84 102012020120IIIzCzyyCO材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院771、两点假设、两点假设 切应力与剪力平行；切应力与剪力平行；与中性轴等距离处，与中性轴等距离处， 切应力相等。切应力相等。 2、研究方法：分离体平衡。、研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段如图在梁上取微段如图1；N2N11(d )0 xFFFbxtdxx

54、FS(x)+dFS(x)M(x)M(x)+dM(x)FS(x)dx图图1图图2xyzFN2t t1t tbFN1在微段上取一块如图在微段上取一块如图2，平衡，平衡4.5 4.5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力一、一、 矩形截面梁横截面上的切应力矩形截面梁横截面上的切应力材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院78N1ddzAAzzMSMFAAIIsN 2(d)zzMMSFIN 2N1S1dddzzzzFFF SSMb xx I bI bt由切应力互等定理由切应力互等定理S1( )zzF SyI bttt其中其中Sz* 为为y点以下的面积对中性轴之静矩；点以下的面积对中性轴

55、之静矩；M(x)+dM(x)dxxFS(x)+dFS(x)M(x)FS(x)dx图图1图图2xyzFN2t t1t tbFN1N2N11(d )0 xFFFbxt材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院79SzzF SI bt FS 整个横截面的剪力整个横截面的剪力 Sz计算点外侧面积计算点外侧面积A对对 中性轴的静矩中性轴的静矩Iz整个截面对中性轴的形心整个截面对中性轴的形心 主惯性矩主惯性矩 b计算点处截面计算点处截面有效宽度有效宽度 yFSyzhbt tA箱形截面有箱形截面有效宽度效宽度b=2d dd dd dB材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院80

56、22122224zhhbhSbyyy2hy （上、下边缘上、下边缘）t = 0y = 0（中性轴）（中性轴）Smax32FAt22SS24zzzF SFhyI bIt3、矩形截面切应力的分布、矩形截面切应力的分布hzyybt tt t 沿截面高度按抛物线规律分布沿截面高度按抛物线规律分布t tmaxzyOt tmax材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院811、腹板上的切应力、腹板上的切应力yyhdyhhbSz22/222*dddd22222yhdhbddd二、二、工字形工字形截面梁截面梁yd dhzOdbt tys s dAzyOA*dxt tt txSzzF SI dt材

57、料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院8222*222yhdhbSzddd腹板与翼缘交界处腹板与翼缘交界处Sz*最小，切应力取最小值最小，切应力取最小值Smin2zFbhI ddtd中性轴处中性轴处Sz*最大，切应力取最大值最大，切应力取最大值2*SmaxSmax222zzzF SFbdhhI dI ddtdd，t tmaxt tmint tmaxzyO材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院832、翼缘上的切应力、翼缘上的切应力因为翼缘的上、下表面无切应力，因为翼缘的上、下表面无切应力，所以翼缘上、下边缘处平行于所以翼缘上、下边缘处平行于y 轴的轴的切应力为零

58、。切应力为零。( (1) )平行于平行于y轴的切应力轴的切应力可见翼缘上平行于可见翼缘上平行于y轴的切应力很小，工程上一般不考虑。轴的切应力很小，工程上一般不考虑。S1S1d0.9AFAFt计算表明，工字形截面梁的腹板承计算表明，工字形截面梁的腹板承担的剪力担的剪力yd dhzOdbt ty材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院84*S1zzF SItd SS11222zzFFhhIIdttddd*N2N11ddzzMFFSxIt dd d *N1F*N2Ft t1 1t t1 1dxA*( (2) )垂直于垂直于y轴的切应力轴的切应力yd dhzOdbt t1y材料力学材料

59、力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院85即翼缘上垂直于即翼缘上垂直于y轴的切应力轴的切应力随随 按线性规律变化。按线性规律变化。S12zFhItd 且通过类似的推导可以得知，薄壁工字刚梁上、下且通过类似的推导可以得知，薄壁工字刚梁上、下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构成了翼缘与腹板横截面上的切应力指向构成了“切应力流切应力流”。t tmaxzyOt tmaxt tmint t1max材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院86三、圆截面梁三、圆截面梁*S( )zyzF SI b yt关于其切应力分布的假设：关于其切应力分布的假设：1、离中性轴为任意距离、离中性轴为任意距

60、离y的水平直线的水平直线段上各点处的切应力汇交于一点；段上各点处的切应力汇交于一点；2、这些切应力沿、这些切应力沿 y方向的分量方向的分量t ty沿宽沿宽度相等。度相等。切应力的分布特征：边缘各点切应切应力的分布特征：边缘各点切应力的方向与圆周相切；力的方向与圆周相切；切应力分布切应力分布与与y 轴对称；与轴对称；与y轴相交各点处的切轴相交各点处的切应力其方向与应力其方向与y轴一致。轴一致。zyOt tmaxkkOd材料力学材料力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院87*SmaxzzF SI dtSS244334FFAd2S41224364ddFdd最大切应力最大切应力t tmax 在中