数学实验第七次作业

1、4.问题：某公司将3种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙）混合生产两种产品（分别记为A,B）。按照生产工艺的要求，原料甲、乙必须首先导入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A,B。一直原料甲、乙、丙的含硫量分别是3%，1%，2%，进货价格分别为6千元/t，16千元/t，10千元/t；产品A,B的含硫量分别不能超过2.5%，1.5%，售价分别为9千元/t，15千元/t。根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应量都不能超过500t；产品A,B的最大市场需求量分别为100t，200t。(1) 应如何安排生产？(2) 如果产品A的最大市场需求量增长为600t，应如何安排生产？(3) 如果乙

2、的进货价格下降为13千元/t，应如何安排生产？分别对(1)、(2)两种情况进行讨论。模型：（只考虑问题1，问题2,3只需改变一些约束条件）设生产时使用原料甲、乙分别为t，分别取混合后的液体t再加入原料丙t生产产品A,B。有质量守恒，可得甲乙混合后的液体的含硫量可表示为，根据含硫量的要求，可得根据市场的限制，易得当然还有非负约束公司的净利润为（单位：千元）：合理选择使得z最大。计算过程：这是一个非线性规划问题，可直接用matlab优化工具箱提供的函数，不断尝试极小值点，最后找到最小值。在求解的过程中要注意将约束条件转化为标准型。编写程序：function z=exp0904(x)z=6*x(1)

3、+16*x(2)-9*x(3)-15*x(4)+x(5)-5*x(6);function c1,c2=exp09042(x)c1=(0.03*x(1)+0.01*x(2)*x(3)/(x(1)+x(2)+0.02*x(5)-0.025*(x(3)+x(5);(0.03*x(1)+0.01*x(2)*x(4)/(x(1)+x(2)+0.02*x(6)-0.015*(x(4)+x(6);c2=x(1)+x(2)-x(3)-x(4);x0=100,100,100,100,100,100;A1=1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 0 0 1 1;0 0 1 0 1 0;0 0 0

4、1 0 1;b1=500,500,500,100,200;A2=1,1,-1,-1,0,0;b2=0;v1=0,0,0,0,0,0;x,fv,ef,out,lag,grad,hess=fmincon(exp0904, x0, A1,b1, A2, b2, v1, , exp09042)实验结果：x = 8.7120 113.0749 5.0914 116.6955 0 83.3045fv = -351.3069iterations: 23不断改变初值（其他实验结果略），当x0=0,100,0,100,0,100时，发现函数只迭代一次，取到最大值。公司进货为甲0t，乙100t，丙100t，全部用

5、于生产200t产品B，获利400千元，即40万元。对于问题(2)，改变约束条件的值，发现公司进货为甲300t，乙0t，丙300t，全部用于生产600t产品A，获利600千元，即60万元。（程序略）对于问题(3)，公司利润变为若A的最大市场需求量没变，公司进货为甲50t，乙100t，丙0t，全部用于生产200t 产品B，获利750千元，即75万元。若A的最大市场需求量增长为600t，公司进货为甲50t，乙100t，丙0t，全部用于生产200t 产品B，获利750 千元，即75 万元。可以看到此结果与A 的需求量无关。（程序略）实验结果分析：本题是非线性规划问题，其约束是非线性的，必须通过不断改变

6、初值来求得不同的极值，并从中找出最值。本题要去原料甲乙先混合，这样就把产品A，B的产量联系起来，将一个线性规划问题转化为一个非线性规划问题。对比：在 A 的需求量为100t 时乙为 16 千元/t 时：甲 0t，乙100t，丙100t，全部用于生产200t 产品B，获利400 千元，即40 万元。乙为 13 千元/t 时：甲 50t，乙150t，丙0t，全部用于生产200t 产品B，获利750 千元，即75 万元。浓度都恰好满足要求，即此时成本最低。A 需求量的约束条件没有起直接约束作用，但却起到了间接约束的作用，因为在（2）中，A 的需求为600t 时，商家会选择生产A，即在本题的需求约束条

7、件，商家做出的决定为：完全满足需求量生产一种商品。8.问题：美国某三种股票（A,B,C）12年（1943-1954年）的价格（已经包括了分红在内）每年的增长情况如下表所示（表中还给出了相应年份的500种股票的价格指数的增长情况）。例如，表中第一个数据1.300倍，即收益为30%，其余数据的含义以此类推。假设你在1955年时有一笔资金准备投资这三种股票，并期望年收益率至少达到15%，那么你应当如何投资？此外，考虑一下问题：(1) 当期望的年收益率在10%100%变化时，投资组合和相应的风险如何变化？(2) 假设除了上述三种股票外，投资人还有一种无风险的投资方式，如购买国库劵。假设国库券的年收益率

8、为5%，如何考虑该投资问题？(3) 假设你手下目前握有的股票比例为：股票A占50%，B占35%，C占15%。这个比例与你得到的最优解可能有所不同，到实际股票市场上每次股票买卖通常总有交易费，例如按交易额的1%收取交易费，这时你是否仍需要对手上的股票进行买卖（换手），以便满足“最优解”的要求？年份股票A股票B股票C股票指数19431.3001.2251.1491.25899719441.1031.2901.2601.19752619451.2161.2161.4191.36436119460.9540.7280.9220.91928719470.9291.1441.1691.0570801948

9、1.0561.1070.9651.05501219491.0381.3211.13310891.3051.7321.31713019511.0901.1951.0211.24016419521.0831.3901.13110350.9281.0060.99010819541.1761.7151.9081.526236(1)模型：年投资收益率R=x1R1+x2R2+x3R3页是一个随机变量。根据概率论的知识，投资的总期望收益为ER=x1*ER1+x2*ER2+x3*ER3年投资收益率的方差为V=D(x1R1+x2R2+x3R3)=D(x1R1)

10、+ D(x2R2)+ D(x3R3)+2cov(x1R1,x2R2)+ 2cov(x1R1,x3R3)+ 2cov(x2R2,x3R3)=x12DR1+ x22DR2+ x32DR3+2x1x2cov(R1,R2)+ 2x1x3cov(R1,R3)+ 2x2x3cov(R2,R3)=xixjcov(Ri,Rj)。记股票A，B，C每年的收益率分别为R1，R2和R3(注意表中的数据减去1以后才是年收益率)，可以计算出年收益率的数学期望为同样,可以计算股票A,B,C年收益率的协方差矩阵为用决策变量x1,x2和x3分别表示投资人投资股票A,B,C的比例.假设市场上没有其他投资渠道,且受上资金(可以不妨

11、假设只有1个单位的资金)必须全部用于投资这三种股票,则：本题中，方差可表示为实际的投资者可能面临许多约束条件，这里只考虑题中要求的年收益率（的数学期望）不低于15%，即所以，最后的优化模型就是收益和资金约束下极小化收益的方差，其中ER的约束在10%100%之间波动。由于目标函数V是决策变量的二次函数，而约束都是线性函数，所以这是一个二次规划问题。计算方法：这是一个二次优化问题，可以直接利用matlab优化工具盒中给出的函数。（注意将约束转化为标准型）H=0.01080754,0.01240721,0.01307513;0.01240721,0.05839170,0.05542639;0.013

12、07513,0.05542639,0.09422681./2;f=0,0,0;A1=-0.0890833,-0.213667,-0.234583;b1=-0.15;A2=1,1,1;b2=1;v1=0,0,0;v2=1,1,1;x,fval,exit,out=quadprog(H,f,A1,b1,A2,b2,v1,v2)x = 0.5301 0.35640.1135即股票A,B,C分别投资53。01%，35.64%，11。35%。改变期望值。又股票的收益一定不会超过单个股票的最大收益，即股票C的收益，所以仅考虑收益在10%23.5%之间波动的情况。Q=;for b1=-0.1:-0.001:-

13、0.235x=quadprog(H,f,A1,b1,A2,b2,v1,v2)Q=Q,x;end-b1;Q得到结果：结果分析：发现当投资人期望增加时，他将增加股票B，C的购买比例，减少股票A的购买比例。的年收益大于21.9%时，投资人将不再购买股票A。（2）模型：若增加国库券，设国库券的购买比例为x4，则由于国库券无风险，所以它收益的方差为0，与其他股票的相关系数自然也为0。协方差阵变为：收益变为：程序变为：H=0.01080754,0.01240721,0.01307513,0;0.01240721,0.05839170,0.05542639,0;0.01307513,0.05542639,0

14、.09422681,0;0,0,0,0./2;f=0,0,0,0;A1=-0.0890833,-0.213667,-0.234583,-0.05;b1=-0.15;A2=1,1,1,1;b2=1;v1=0,0,0,0;v2=1,1,1,1; x,fval,exit,out=quadprog(H,f,A1,b1,A2,b2,v1,v2)x = 0.0869 0.4285 0.1434 0.3412股票A,B,C，国库券的投资比例为8.69%,42.85%,14.34%,34.12%。（3）模型：用x1，x2和x3分别表示投资人应当投资股票A、B、C的比例。为了避免出现非线性的情况，将买卖股票的比

15、例分离，假设购买股票A、B、C的比例为y1，y2和y3，卖出股票A、B、C的比例为z1，z2和z3。其中，yi与zi（i=1，2，3）中显然最多只能有一个严格取正数，且x1，x2，x30， y1，y2，y30， z1，z2，z30由于交易费用的存在，这是约束x1+x2+x3=1不一定还成立。关系应表示为：x1+x2+x3+0.01(y1+y2+y3+z1+z2+z3）=1.另外，考虑到当前持有的各只股票的份额ci，xi，yi与zi（i=1，2，3）之间也应该满足守恒关系式xi=ci+yi-zi, i=1,2,3.这就是新问题的约束条件，模型的其他部分不用改变。计算方法：H=0.01080754

16、,0.01240721,0.01307513;0.01240721,0.05839170,0.05542639;0.01307513,0.05542639,0.09422681./2;H=H,zeros(3,6);zeros(6,9)f=zeros(9,1);A1=-0.0890833,-0.213667,-0.234583,0,0,0,0,0,0;b1=-0.15;A2=1,1,1,0.01,0.01,0.01,0.01,0.01,0.01; 1,0,0,-1,0,0,1,0,0; 0,1,0,0,-1,0,0,1,0; 0,0,1,0,0,-1,0,0,1;b2=1,0.5,0.35,0.15;v1=0,0,0,0,0,0,0,0,0;v2=1,1,1,1,1,1,1,1,1;x,fval,exit,out=quadprog(H,f,A1,b1,A2,b2,v1,v2)x = 0.5293 0.3546 0.1155 0.0293 0.0046 0 0.0000 0 0.0345结果分析：投资人将买入股票A，卖出股票C，不交易股票B。本程序中发现股票B不满足x2=c2+y2-z2，可能