线性代数复习广东外语外贸大学2.6矩阵的秩

1、2.6 矩阵的秩矩阵的秩一、矩阵的秩一、矩阵的秩1、定义：在、定义：在 矩阵中，任取矩阵中，任取k k行行k k列列 ， 位于这些行列位于这些行列交叉处的交叉处的k k2 2个元素，个元素，不改变不改变它们它们 在在a中所处的位置次序而得到的中所处的位置次序而得到的k k阶行列式阶行列式， 称为矩阵称为矩阵a的的k k阶子式阶子式。nmnkmk1 ,11210020224200101a二阶子式二阶子式2010二阶子式二阶子式4210一阶子式一阶子式1一阶子式一阶子式0nm注：注： 矩阵矩阵a的的k阶阶 子式共有子式共有 个。个。knkmcc00002 1210020224200101aa的三阶

2、子式的三阶子式均为均为0a=0(四阶四阶)2、定义：设、定义：设a为为 矩阵，如果矩阵，如果存在存在a的的r r阶阶子式子式不为不为 零零，而，而任何任何r+1阶子式阶子式(如果存在的话如果存在的话)皆为零皆为零， 则称数则称数r为矩阵为矩阵a的的秩秩，记为，记为r(a)(或或r(a)，并，并 规定规定零矩阵的秩等于零零矩阵的秩等于零r(o)=0 。nm故上面矩阵故上面矩阵r(a)例：求矩阵例：求矩阵 的秩。的秩。00000340005213023012b行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵非零行的数目是非零行的数目是唯一的唯一的如何判断子式？如何判断子式？一阶开始？一阶开始？四阶开始？四阶开始？结论？结

3、论？ 结论存在普遍性？结论存在普遍性？二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法-当矩阵的行数与列数较高时，按定义求秩是非常麻烦的。由于当矩阵的行数与列数较高时，按定义求秩是非常麻烦的。由于 行阶梯形矩阵的秩很容易判断，而任意矩阵都可以经过有限次行阶梯形矩阵的秩很容易判断，而任意矩阵都可以经过有限次 初等行变换化为行阶梯形矩阵，因而借助初等变换法求矩阵的初等行变换化为行阶梯形矩阵，因而借助初等变换法求矩阵的 秩。秩。1、定理：若、定理：若 ，则，则ba)()(brar证明：证明：利用初等行变换求矩阵的秩的方法：利用初等行变换求矩阵的秩的方法：用初等用初等行行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中变换

4、把矩阵变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中的非零行的行数就是该矩阵的秩。的非零行的行数就是该矩阵的秩。例例1：设：设 ，求矩阵，求矩阵a的秩，的秩， 并求并求a的一个最高阶非零子式。的一个最高阶非零子式。41461351021632305023a41461351021632305023a41rr 05023351021632341461141312323rrrrrr1281216011791201134041461242343rrrr8400084000113404146134rr 000008400011340414613)(ar1023230230502623523016 2、矩阵的秩的性质：

5、、矩阵的秩的性质：(1)若矩阵若矩阵a中有某个中有某个s阶子式不为阶子式不为0，则，则sar)(2)若若a中所有中所有t阶子式全为阶子式全为0，则，则tar)(3)若若a为为 矩阵，则矩阵，则nmnmar,min)(0(4)()(tararnmar,min)(当当 时，称矩阵时，称矩阵a为为满秩矩阵满秩矩阵，否则称为，否则称为降秩矩阵降秩矩阵。上面的矩阵上面的矩阵a与与b均为降秩矩阵。均为降秩矩阵。例例2：设：设 ，已知，已知r(b)=2，求，求 与与 的值。的值。6352132111b6352132111b131253rrrr45804430211123rr 0150443021112)(b

6、r01,051,5例例3：设：设a为为n阶非奇异矩阵，阶非奇异矩阵，b为为 矩阵。试证：矩阵。试证：a与与 b之积的秩等于之积的秩等于b的秩，即的秩，即r(ab)=r(b)nm结论：若一个结论：若一个n阶矩阵阶矩阵a是满秩的，则是满秩的，则 ，即，即a为非奇异的。为非奇异的。 反之亦然。反之亦然。0aa为非奇异为非奇异0aa可逆可逆存在存在k个初等矩阵个初等矩阵g1,g2,gk，有，有kggga21bgggabk21即对即对b进行初等行变换进行初等行变换bab brabr矩阵的秩的性质：矩阵的秩的性质：(5)()(),()(),(maxbrarbarbrar(6)()()(brarbar(7)(),(min)(brarabr(8)若若 ，则，则obatnnmnbrar)()(例例3：设：设a为为n阶矩阵，证明阶矩阵，证明nearear)()()()