数列求和—裂项相消专题

1、数列求和一裂项相消专题裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达 到求和的目的常见的裂项相消形式有： 1. an丄1丄n(n 1) n n 11 11 1( )n(n 2)2 n n 21n(n_k)p（分母可分解为n的系数相同的两个因式）Ann (-n k 扁) k Bn C2.an(2n 1)(2 n 1)11 12(2n 112n 1)an(2n1)(2n3)112n 3)an(6n 5)(6 n 1)1 16(6n 516n 1)5.4.n 1n(2 1)(2 1)1 1 1 13. ann(n 1)(n 2)2 n(n 1) (n 1)(n 2)

2、an(2n 1)(2n+1 1)2n 12n+1 1n 2n(n 1)2n2(n 1) n 11n(n 1)2nn 2n1(n 1)2n1.n . n 21n n k1 ( . n 2. n)21.在数列an中，ann 1，且 *an an 1，求数列bn的前n项2.已知数列 an是首相为1,公差为1的等差数列，bn1an an 2Sn为0的前n项和,证明：k 13.等比数列an各项均为正数，且2ai 3a21,a29玄2玄6 ,(1 )求an的通项公式;(2)设 bnlog 3 a1 log3 a2log 3 an,1bn的前n项和.4.设数列an满足a10且-11,nbk，证明:Sn(1

3、)求an的通项公式;1Jan 1(2)设 bn- 1，记 Sn5. （安徽江南十校2015联考）已知各项为正数的数列an满足:an 2 2 anan 2 4am a n N）,且 ai 1 4 ,（1）证明：数列a?是等差数列；Q n A（2）设bn ， bn的前n项和为Sn，求证：Sn 1 .anan 16. 已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0,S5 4a36,且aa3,a9成等比数列,（1）求数列 an的通项公式;（2）求数列的前n项和Tn .7.等差数列an中，a1a3 6,a1121 ,(1)求数列an的通项公式;(2)设 bn，求 Snb1n(an 3)b2bn.8.(201

4、0山东)已知等差数列 an满足:a37,a5 a7 26, an的前n项和为Sn，(1)求 an 及 Sn ；1(2 )令bn (nN)，求数列bn的前n项和Tn.a； 19. （ 2013全国1）已知等差数列 an的前n项和为Sn，满足S3 0,?55 ,（1 ）求 an的通项公式；（2）求数列1的前n项和.a2n 1a2n 110.（2013 江西）正项数列 an 满足：a；（2n1）an 2n 0,（1 ）求 an的通项公式；（2 ）令 bn1，求数列bn的前n项和Tn.（n 1）an(2n 1)an 2n ,11.(2017全国3)设数列an满足a, 3a2(1 )求 an的通项公式；

5、(2)求数列an的前n项和.2n 112. (2015安徽)已知数列 an是递增的等比数列，且 a1 a4 9,a2a3 8 ,(1 )求an的通项公式;SnSn1(2)设Sn为数列an的前n项和，bna. 1，求数列bn的前n项和.13. （2014贵州适应性训练）已知数列an是等差数列，a, 2,a2,a3,a4 1成等比数列,（1 ）求an的通项公式；2（2）设bn，求数列 bn的前n项和Sn.n2）14.（2013大连育明高中模拟）已知数列 an是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为2 1 1其前n项和，且满足anS2n1（nN ），数列bn满足bn，Tn为数列bn的an an 1前n项和，（1 ）求 a1,d 和 Tn ；（2）是否存在实数，使对任意的（n N ），不等式Tn n 8恒成立？若存在，请求出实数 的取值范围；若不存在，说明理由15Sn为数列an的前n项和，已知an0, an2an4Sn 3 ,(1 )求 an的通项公式；(2 )设 bn1，求数列 bn的前n项和.anan 116.已知等比数列 4 的公比q 1 , 3i和a4的等比中项为3、3 , a2和a3的等差中项为6,数列 bn 满足 bnlog