空间解析几何2

1、二、两向量的数量积一、向量在轴上的投影 数量积 向量积上页下页铃结束返回首页三、两向量的向量积上页下页铃结束返回首页 设点O及单位向量e确定u轴 任给向量 r 作rOM 再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M 则向量 MO称为向量 r 在 u 轴上的分向量 设eMO 则数称为向量 r 在 u 轴上的投影 记作 Prjur 或(r)u 一、向量在轴上的投影上页下页铃结束返回首页 向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标ax ay az就是a在三条坐标轴上的投影 即axPrjxa ayPrjya azPrjza 性质3 Prju(a)Prjua 性质2 Prju(ab)PrjuaPrjub 性质1 Pr

2、jua|a|cos 其中为a与u轴的夹角 v投影的性质 上页下页铃结束返回首页二、两向量的数量积 设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2 以s表示位移 数量积的物理背景 由物理学知道 力F所作的功为W|F|s|cos 其中 为F与s的夹角 上页下页铃结束返回首页 对于两个向量a和b 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积 记作a b 即ab|a|b|cos v数量积的定义 力F所作的功W就是力F与位移s的数量积 即WFs 二、两向量的数量积上页下页铃结束返回首页 数量积与投影 当a0时 |b|cos Prjab 于是ab|a|Prjab 同理 当b0时

3、 ab|b|Prjba 对于两个向量a和b 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积 记作a b 即ab|a|b|cos v数量积的定义 二、两向量的数量积v数量积的性质 (1) aa|a|2 (2) 向量a与b垂直的充分必要条件是 ab0 上页下页铃结束返回首页v数量积的运算律 (1)交换律: abba (2)分配律: (ab)cacbc (3)结合律: (a)ba(b)(ab) (a)(b)(ab) 其中、为数 对于两个向量a和b 它们的模|a|、|b|及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积 记作a b 即ab|a|b|cos v数量积的定义 二、两

4、向量的数量积上页下页铃结束返回首页 例1 试用向量证明三角形的余弦定理要证c2a2b2-2abcos 则有 ca-b 从而 |c|2 cc(a-b)(a-b) aabb-2ab |a|2|b|2-2|a|b|cos(a b) 即 c2a2b2-2abcos 证明 在DABC中 BCA |CB|a |CA|b |AB|c 记CBa CAb ABc 则有 上页下页铃结束返回首页提示：v数量积的坐标表示 aaxiay jazk bbxiby jbzk ab(axiay jazk)(bxiby jbzk) axbxiiaxbyijaxbzik aybx jiayby jjaybz jk azbxkia

5、zbykjazbzkk axbxaybyazbz abaxbxaybyazbz 设a(ax ay az ) b(bx by bz ) 则 上页下页铃结束返回首页v数量积的坐标表示abaxbxaybyazbz 设a(ax ay az ) b(bx by bz ) 则 设(a b) 则当a0、b0时 有 v向量夹角余弦的坐标表示 提示: a b|a|b|cos 222222|coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababababa222222|coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababababa 上页下页铃结束返回首页 例2 已知三点M(1 1 1)、A(2 2 1)和B(2 1

6、2) 求AMB 从M到A的向量记为a 从M到B的向量记为b 则AMB 就是向量a与b的夹角 2011|222a 2101|222b 所以 21221|cosbabaAMB 从而 3AMB 因为 ab1110011 b(2 1 2)- -(1 1 1)a(2 2 1)- -(1 1 1)(1 1 0) (1 0 1) 解 上页下页铃结束返回首页 向量积的物理背景 由力学规定 力F对支点O的力矩是一向量M 它的模|M|OP|F|sin 设O为杠杆L的支点 力F作用于这杠杆上P点处 F 与OP的夹角为 而M的方向垂直于 与F所决定OP从 以不超过 的角转向F 来确定的 OP的平面 M的指向是按右手规

7、则三、两向量的向量积PMOF上页下页铃结束返回首页三、两向量的向量积 设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出: c的模 |c|a|b|sin(a b) c的方向垂直于a与b所决定的平面 c的指向按右手规则从a转向b来确定 v向量积的定义右手规则 那么 向量c叫做向量a与b的向量积 记作ab 即cab v向量积的性质 (1) aa0 (2) 向量a与b平行的充要条件是ab0 上页下页铃结束返回首页 在空间直角坐标系中 iijjkk? ij? jk? ki? (1)反交换律: ab-ba (2)分配律: (ab)cacbc (3)结合律: (a)ba(b)(ab)(为数) v向量积的运算律讨论：

8、提示： iijjkk0 ijk jki kij上页下页铃结束返回首页v向量积的坐标表示 设aaxiay jazk bbxiby jbzk 则提示： ab (aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k azbxkiazbykj ab(axiay jaz k)(bxiby jbzk)axbyijaxbzik aybx jiaybz jk(aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k iijjkk0 ijk jki kij上页下页铃结束返回首页 利用三阶行列式符号 上式可写成 记忆方法 v向量积的坐标表示 设aaxiay jazk bbxiby

9、jbzk 则 ab (aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k zyxzyxbbbaaa kjiba .yzxyxzyzxzxyaaaaaabbbbbb-ijk 二阶行列式.abadbccd-上页下页铃结束返回首页 例3 设a(2 1 -1) b(1 -1 2) 计算ab 设aaxiay jazk bbxiby jbzk 则 解 zyxzyxbbbaaa kjiba 211112-kjiba .yzxyxzyzxzxyaaaaaabbbbbb-ijk112121121211-ijk53 -ijk上页下页铃结束返回首页由于AB(2 2 2) 解 三角形ABC的面积 例4 已知三角形ABC的三个顶点分别是A(1 2 3)、B(3 4 5)、C(2 4 7) 求三角形ABC的面积 因此 421222kjiACAB|21sin|21ACABAACABSABCD|21sin|21ACABAACABSABCD (