太原理工大学物理李孟16714曲线运动

1、太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春一、运动叠加原理一、运动叠加原理14运动叠加原理运动叠加原理 曲线运动曲线运动 一个运动可以看成几个各自独立进行的运一个运动可以看成几个各自独立进行的运动叠加而成（或其任一方向的运动不受其它方动叠加而成（或其任一方向的运动不受其它方向的运动的影响）也叫运动独立性原理。向的运动的影响）也叫运动独立性原理。二、抛体运动二、抛体运动水平方向的匀速直线运动水平方向的匀速直线运动竖直方向的匀变速直线运动竖直方向的匀变速直线运动叠加叠加太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春三、自然坐标三、自然坐标 做平面运动的质点，当做平面运动的质点，当运

2、动轨迹运动轨迹已知时，采用已知时，采用自然坐标系自然坐标系描述。描述。 在轨道曲线上取定一点在轨道曲线上取定一点o o作为坐标原点，以质作为坐标原点，以质点与原点间的轨道长度点与原点间的轨道长度s s来确定质点的位置，称来确定质点的位置，称s s为为自然坐标。自然坐标。如抛体运动、圆周运动如抛体运动、圆周运动太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春质点运动时，位置质点运动时，位置)(tss 在在t到到t+ t时间内的路程时间内的路程)()(tsttsso)(ts)(tts就是自然坐标之差。就是自然坐标之差。 任意时刻，在质点所在处取相互垂直的单位任意时刻，在质点所在处取相互垂直的单

3、位矢量矢量 和和 ， 沿轨道切向，指向质点运动的方沿轨道切向，指向质点运动的方向，向， 沿轨道法线方向，指向轨道的凹侧。沿轨道法线方向，指向轨道的凹侧。tenenete太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春tevvteneo)(ts 和和 构成构成自然坐标系自然坐标系tene在自然坐标系中在自然坐标系中速度表示为速度表示为由加速度定义由加速度定义()tdedtvdtdav=ttdededtdtvv太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春曲线上各点的自然坐标曲线上各点的自然坐标轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。yzo太原理工

4、大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春可以证明可以证明2 tndaeedtvv总加速度总是指向运动轨道凹的一侧。总加速度总是指向运动轨道凹的一侧。0dtedtte的方向随时间变化，故的方向随时间变化，故dtededtdattvvtenetanaa自然坐标系中加速度为自然坐标系中加速度为ntedtedv 为轨道在该点的曲率半径为轨道在该点的曲率半径太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春解解：例例1 一质点沿半径为一质点沿半径为r的圆周按规律的圆周按规律 运动，其中运动，其中s表示弧长，求：表示弧长，求：t 时刻质点的切向加时刻质点的切向加速度、法向加速度和总加速度的大小。速度

5、、法向加速度和总加速度的大小。221bts btdtdsv速率速率tddvrbt2)(r2vbtana切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度总加速度总加速度22ntaaa242)(rbtb 太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春tevv1.1.自然坐标描述自然坐标描述四、圆周运动四、圆周运动圆周运动时，曲率为圆周运动时，曲率为r，圆周运动的加速度，圆周运动的加速度tedtdavner2v圆周运动的速度圆周运动的速度切向加速度，沿轨道切线切向加速度，沿轨道切线ttedtdavnnera2v法向加速度，指向圆心法向加速度，指向圆心太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春

6、圆周运动中，若圆周运动中，若at=恒量，恒量， 恒量恒量r0tanaa大小大小22ntaaantaaarctg222rdtdvv方向方向-与法向的夹角与法向的夹角圆周运动中，若圆周运动中，若at=0，0dtdv质点做匀速率圆周运动质点做匀速率圆周运动dtdv质点做匀变速率圆周运动质点做匀变速率圆周运动太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春2.2.圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述 做圆周运动的质点与圆心的距离不变，因此做圆周运动的质点与圆心的距离不变，因此可用一个角度来确定其位置，称为可用一个角度来确定其位置，称为角量描述法。角量描述法。 设质点在设质点在oxy平面内绕平面内绕

7、o点、作半径为点、作半径为r的圆周运动，的圆周运动，以以ox轴为参考方向。轴为参考方向。 t时刻矢径与时刻矢径与ox轴的夹轴的夹角角，称称角位置。角位置。 t时间内质点转过的角度时间内质点转过的角度 称称角位移角位移， 规规定逆时针方向为正方向。定逆时针方向为正方向。 yox)(ta)(ttb + 太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春角速度为角速度为tt0limtdd角加速度角加速度为为讨论讨论 1） 等于零，质点作匀速率圆周运动；等于零，质点作匀速率圆周运动；2） 等于常量，质点作匀变速圆周运动；等于常量，质点作匀变速圆周运动；3） 随时间变化，质点作一般的圆周运动。随时间变

8、化，质点作一般的圆周运动。tt0limdtd22dtd太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春例例 设质点做半径为设质点做半径为r的匀变速圆周运动，已知的匀变速圆周运动，已知角加速度为角加速度为 ，且，且t=0=0时，时， = 0 0， = 0 0 由由 得得dtddtd两边积分两边积分00tdtdt0得角速度方程得角速度方程at0vv与与相对应相对应再由再由dtd得得dtd太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春两边积分两边积分00tt)dtd0(得角运动方程得角运动方程20021tt20021attxvx与与相对应相对应结论：结论：两者数学形式完全相同两者数学形式完

9、全相同,说明用角量描述说明用角量描述,可把平面圆周运动转化为一维运动形式。可把平面圆周运动转化为一维运动形式。)(20 xxa-202vv)(20202对应于对应于太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春rox五、线量与角量之间的关系五、线量与角量之间的关系 + (t+ t)b(t)a在在 t 时间内，质点的时间内，质点的角位移为角位移为 ，走过的，走过的弧长弧长得到速度大小与角速度之间的关系：得到速度大小与角速度之间的关系：rvrs两边同除以两边同除以 t并取极限并取极限trtstt00limlim太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春两端对时间求导两端对时间求导r

10、at法向加速度与角速度之间的关系：法向加速度与角速度之间的关系：ran2v2rrv切向加速度与角加速度之间的关系：切向加速度与角加速度之间的关系：dtdrdtdv太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春例例2 2 质点沿半径为质点沿半径为r的圆运动，运动方程为的圆运动，运动方程为 = 3 + +2 t 2（si），），求求（1）t 时刻质点的法向加速度时刻质点的法向加速度 an 。所以所以2nm/s2216rtrarad/stdtd4解：解：已知质点的运动方程已知质点的运动方程t t 时刻质点的角速度时刻质点的角速度 由由tdd太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春2rad/s422dtdt 时刻质点的角加速度时刻质点的角加速度（2） t 时刻质点的角加速度时刻质点的角加速度 22ddddtt太原理工大学物理学院李孟春太原理工大学物理学院李孟春例例3 一质点从静止出发沿半径为一质点从静止出发沿半径为r=1m的圆周运动，的圆周运动，其加速度随其加速度随t的变化关系为的变化关系为=6=6t（sisi）求：（求：（1）质点的角速度）质点的角速度 （2）切线加速度）切线加速度at解：解：已知已知dtd及初始条件：及初始条件：t=0时，时， 0=000ddttrad/s32t=2m/s6trat=ddt 对对 两边积分两边积分 太原理工大学物理学院李孟春太原理工