概率论基础复旦李贤平PPT学习教案

1、会计学1概率论基础复旦李贤平概率论基础复旦李贤平大数定理与中心极限定理的应用大数定理与中心极限定理的应用 概率论概率论 两个常用大数定理两个常用大数定理两个常用的中心极限定理两个常用的中心极限定理第1页/共35页大数定理一、大数定律的客观背景 大量随机试验中事件发生的频率稳定于某一常数测量值的算术平均值具有稳定性大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率生产过程生产过程中的废品率中的废品率文章中字文章中字母使用频率母使用频率The law of large numbers第2页/共35页二、两个常用的大数定理Def1212,lim |1,nnnnPnXXXaPXaXXXaXa 设是一个随

2、机变量序列， 是一个常数，若对于任意正数 ，有则称序列依概率收敛于 ，记为11011lim()1nnniiniinDefXPXE XnnX设有一随机变量序列，如果对于任意有成立，则称随机变量序列服从大数定律。第3页/共35页Chebysherv 定理定理1 (Chebysherv大数定理)1211,()()()011lim()1niiinniiniiXXXE XD XMiD XMPXE Xnn设是独立的随机变量序列，每个随机变量的数学期望与存在，且存在正实数，使得对任意 有，则对任意正实数，恒有1121111()()11()()nniiiinniiiiEXE XnnMDXD Xnnn证因为明：

3、第4页/共35页1221111Chebysherv1()111()1111lim()1ninniiiiinniiniiDXMnPXE XnnnPXE Xnn 由不等式，对于任意的正实数 有所以Khintchin推论：推论：1221,1lim1nniniXXXPXn设是独立同分布随机变量序列，且数学期望为 ，方差，则对于任意的正实数 有11nPiiXn 这个定理表明第5页/共35页数定律中要判据。机变量序列是否服从大断随例。马尔科夫条件是判马尔科夫大数定律的特大数定律是然，称为马尔科夫条件。显数定律，条件该定律称为马尔科夫大，有则对于任意，满足条件推广：对随机变量序列ChebyshervXDnX

4、EnXnPXDnXnninniiniinnninn0)(1. 1)(11lim00)(1121112第6页/共35页例例4.1021122111222222112(1/ ) (1/ )1,2,()1,2,11()()2(,)1122(1)1nnnnnnniiiiiiinniiXeXXenD XnDXD XCov XXnnnnnnn设是同分布于的随机变量序列且序列中每一项仅与相邻两项相关，而与其项不相关。判定该随机变量序列是否服从大数定律？解：由于，从而有于是有22211()2(1)0nniiDXnnn第7页/共35页定理定理2 (Bernoulli大数定理)Bernoullilim1nnnnA

5、pAPpn设是 次独立重复试验中事件 出现的次数， 是事件 在每次试验中发生的概率，则对于任意正实数 ，恒有121A;0A1,2,()1()1,2,4lim1iniinniXiinXXXE XpD XpqinChebyshervPpn第 次试验出现事件证明：令第 次试验不出现事件于是有相互独立，且由大数定理有第8页/共35页三、大数定理的应用Khintchin应用Bernoulli11()nniiXnnXE Xn充分大这一定理表明：同一量 在相同条件下观测 次，当观测次数 充分大时，“观测值得算术平均值接近期望值”是一个大概率事件，即下式以大概率成立：( )nAnnAfP A充分大这一定理表明

6、：在相同条件下重复同一随机试验次，当试验次数 充分大时，“事件 发生的频率接近其概率”是一个大概率事件，即下式以大概率成立：寻找随机事件概率提供了一条实际可行的途径寻找随机事件概率提供了一条实际可行的途径寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径第9页/共35页随机变量序列的两种收敛随机变量序列的两种收敛一、随机变量序列以概率收敛 )0(/)3()2() 1 (,. 2.1lim0. 1bbaYXabYXbaYXbYaXbaYXXXXXXXPXXDefPnnPnnPnnPnPnnnPnnnnn即成立四则运算，则有果是两个实数。如是两个随机变量序列，

7、定理：设依概率收敛的运算律，记作率收敛于依概，则称，有果对于任意为一个随机变量，如为一个随机变量序列，设依概率收敛第10页/共35页 baYXbaYXPbYPaXPbaYXPbYPaXPbYaXbYaXbaYXbYaXbaYXbaYXPnnnnnnnnnnnnnPnPnnnnnnnnnPnn即有所以有，则有而由从而对于任意因为证明：仅证明0)()(lim2/2/)()(02/lim02/lim,2/2/)()(0)()(第11页/共35页二、随机变量序列以分布收敛cXcXcXXXXXXXXXxFxFxxFxFXxFXDefLnPnLnPnnLnnnnnn为常数，则设定理，则有如果是两个随机变量

8、序列，设定理两种收敛之间的关系，记作收敛于依分布，则称，有的任意连续点，如果对于布函数为为一个随机变量，其分，其对应的分布函数列为为一个随机变量序列，设依分布收敛2.1. 2.)()(lim)()()(. 1第12页/共35页 0)()(,)0()(lim)(lim)0()()()(;),(,),(),(,1证明定理2121 nnPnnnnnnnnnnnWnLnnnxxXXPXXxxXXPxFxFxxXXxXxXxXxXxXxXxxxFxFxFxFxxFxFXXxFXxFxFxFXXX知由从而有，则为此，令，有意的所以只要证明：对于任，于是有的分布函数为相应的分布函数依次为：设第13页/共35

9、页 )()(lim0)()(,)(lim)(lim)0()(lim)(xFxFxxXXPXXxxXXPxFxFxxXXxXxXxXxXxXxXxxxFxFxFxxxFxFnnnnPnnnnnnnnnxxnn 所以又有知由从而有，同理有在令求极限得对上式关于所以有第14页/共35页 cxcxxFcnxFXxFxFxFxFxFxFxFxFxFXFxFxFxxnnnnnnnnnnnnxxnn10)(, 2 , 1)(12)()(lim)()0()(lim)(lim)0()(lim)(lim)0()(lim)(lim的分布函数为，的分布函数为设性。已证明，下面证明充分的证明：必要性定理定理的连续点便有

10、在所以而由极限理论知求极限得对上式关于第15页/共35页 0lim)()()(2)()2(1220cXPxFxFxFcccFcFcXPcXPcXPcXcXcXcXcXnnWnnnnnnnnnnn所以的连续点，且都是，由于从而有有于是，对于任意的第16页/共35页成了函数列收敛问题。敛问题转化随机变量序列依分布收收敛的有效工具。它把依分布一个判断随机变量序列这个定理给人们提供了课本。有兴趣的同学可以阅读长，这里就不给出了。达比冗数学分析的知识，但表这个定理的证明只涉及。收敛于特征函数为征函数列为的充要条件为特。则，特征函数为数为布函为一个随机变量，其分，对应的特征函数列为，对应的分布函数列为为一

11、个随机变量序列，设依分布收敛的判定)()()()()()(. 3ttXXtxFXtxFXnLnnnn第17页/共35页nnontnitetentetgnnXetXnPXdtexnnXPnPXntit niennt ninnennnnxtnnnntiit)1(! 21Torlay)()()()(21lim)(11. 42)1()1(22，有展开，对于任意的有函数的的特征函数为从而的特征函数为，所以证明：因为，证明：设随机变量例题第18页/共35页 xtnnttnnnntidtexnnXPNeetgtnnott nien2222222221lim) 1 , 0()(lim2)1(! 2) 1(定理

12、知的特征函数，所以，由是而于是有第19页/共35页中心极限定理The central limit theory一、中心极限定律的客观背景 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和)影响所形成。例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的。每个随机因素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的。那么弹着点服从怎样分布呢 ？第20页/共35页定理定理3(Lindeberg-Levy中心极限定理)212212,:()()(1,2,)1lim2niinxtiinXXXE XD XixXnPxedtn 设随机变量相互独立，服从同一

13、分布，且具有数学期望和方差，则对于任意的实数 ，有21212nxtiniXnPxedtn 在定理条件下，总有理解：第21页/共35页1121(0,1)(,)niinininniiXnnXnNnXN nn即随机变量序列依分布收敛于标准正态分布这就表明由正态分布的性质1221,(,)nniinXXXXN nn近似这就是说：当 充分大时，只要独立同分布，无论他们服从什么分布，一定有即: 一个由许多独立同分布随机变量作用形成的随机变量，一个由许多独立同分布随机变量作用形成的随机变量，其概率分布一定是正态分布。其概率分布一定是正态分布。第22页/共35页)(21)(! 2)0()0()0()()()0(

14、)()0()0(0)0(0)()0()()()()(2222222211tottotttTorlaytXDXEinttnXnnXtXnnnnniiniin 展开为而知知又由于其特征函数为，则由于的特征函数为证明：设第23页/共35页) 1 , 0(21lim)(211lim)(lim)(211)(1212222222NnnXdtexnnXPetotnttotnntnniixtniintnnnn即由定理知所以第24页/共35页定理定理4(De Moivre-Laplace中心极限定理)22( , )1lim2xtnXB n pxXnpPxedtnpq设随机变量，则对于任意的实数 ，有21212(

15、 , ),()()Lindeberg-Levy1lim2nniixtnXB n pBernoulliXXXpXXE Xnp D XnpqXnpPxedtnpq因为，由大数定理证明有为独立同分布于参数为 的两点分布的随机变量，使得. 易知由中心知：极限定理证明(,).nXN np npq在理定理条件下，总有解：第25页/共35页三、中心极限定理的应用Lindeberg-Levy中心极限定理应用211,(,)nniiniiXnXN nnX近似对于独立同分布随机变量序列不管他们服从什么分布，只要存在有限数学期望和方差，当 充分大时，就有所以，的有关概率问题可利用正态分布求解。De Moivre-La

16、place中心极限定理应用( , )(,)50 0.10.9nXB n pXN np npqnnp对于随机变量，总有，因此，当 充分大时，二项分布的概率问题可利用正态分布解决。一般在实际中，应用效果较理想。第26页/共35页例例4.35010.0513Poisson某城市有个无线电寻呼台，每个寻呼台在 分钟内收到的呼叫次数服从参数的分布，求该市某时刻 分钟内各寻呼台呼叫次数总和超过 次的概率。11(1,2, )13 .( )2.5( )2.5(2.5,2.5)32.53131()2.51(0.3162)0.37451iniiXiinTP TTXE TD TLindebergLevyTNP TP

17、 T 近似设表示第 各寻呼台在给定的 分钟内接收到的呼叫次数，则该市在给定的 分钟内接收到的呼叫次数总和 ，于是，所求概率为显然由中心极限定理有所以有即该市在 分钟内解：接收到呼叫337.4次数超过 的概率约为5%。第27页/共35页例例4.4120.05 0.8 0.15400对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、名家长、名家长来参加会议的概率分别为， ，。若学校共有名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且具有相同概率分布。4501340X(1)求参加会议的家长数 超过的概率；(2)求有 名家长来参加会议的学生数不多的概率。(1)(1,2,400)kk

18、XkkX设表示第 个学生来参加会议的家长数，则的解：分布律为0120.050.800.15kXkp4001()1.1()0.191,2,4004kkkkE XD XkXX易知而由定理 可知随机变量第28页/共35页4001(400 1.1,400 0.19)400 1.1400 1.1N(0,1)400 0.19400 0.19kkXNXX近似近似即有400 1.1450400 1.1450400 0.19400 0.19400 1.111.147400 0.191(1.147)0.1257XP XPXP 所以有45012.57%X答：参加会议的家长数 超过的概率约为.第29页/共35页(2)

19、(400,0.8)YYB设 表示有一名家长来参加会议的学生数，则有-Y400 0.8 400 0.8 0.2400 0.8340400 0.8340400 0.8 0.2400 0.8 0.2400 0.82.5400 0.8 0.2(2.5)0.9938De Moivre LaplaceNYP YPYP 近似由 中心极限定理有（，）所以有134099.38%答：有 名家长来参加会议的学生数不多的概率约为.第30页/共35页例例4.5某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置、调换工件等常需停车。设每台车床开工率为0.6, 每台车床是否开工是独立的，每台车床在开工时需电力1千瓦。问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产? 解：解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验是观察该台车床在某时刻是否开工, 开工的概率0.6 ,共进行200次独立重复试验。用X表示在某时刻开工的车床数，依题意XB(200,0.6)。设有N台车床开工，