三角函数公式的推导及公式大全

1、诱导公式目录诱导公式诱导公式记忆口诀同角三角函数基本关系同角三角函数关系六角形记忆法两角和差公式倍角公式半角公式万能公式 -万能公式推导-三倍角公式-三倍角公式推导-三倍角公式联想记忆-和差化积公式-积化和差公式-和差化积公式推导诱导公式诱导公式常用的诱导公式有以下几组: 公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin (2k n + a)= sin aCOS (2k n + a)= COS atan (2k n + a)= tan aCOt (2k n + a)= COt a公式二：设a为任意角，n +a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系: sin (n + a)= s

2、in aCOS (n + a)= COs atan (n + a)= tan aCOt (n + a)= COt a公式三：任意角a与-a的三角函数值之间的关系：sin ( a) sin aCOs (a) COs a3tan ( a) tan aCOt (a) cot a公式四：利用公式二和公式三可以得到n- a与a的三角函数值之间的关系：sin (n a)= sin aCOS (n a) COS atan (n a)= tan aCOt (n a) COt a公式五：利用公式一和公式三可以得到 2 n - a与a的三角函数值之间的关系:sin (2 n-a)sinaCOS (2 n-a)CO

3、S atan (2 n -a)tanaCOt (2 n -a)COta公式六：n /2 a及3 n /2 a与a的三角函数值之间的关系:sin(n /2 + a)COs acos(n /2 + a)sin atan(n /2 + a)COt aCOt(n /2 + a)tan asin(n /2 a)COs acos(n /2 a)sin atan(n /2 a)COt aCOt(n /2 a)tan asin(3n /2 +a)COs acos(3n /2 +a)sin atan(3n /2 +a)COt aCOt(3n /2 +a)tan asin(3n /2 a)COs acos(3n

4、/2 a)sin atan(3n /2 a)COt aCOt(3n /2 a)tan a(以上k z)诱导公式记忆口诀规律总结上面这些诱导公式可以概括为：对于k n /2 a (k z)的个三角函数值， 当k是偶数时，得到a的同名函数值，即函数名不改变； 当k是奇数时，得到 a相应的余函数值，即 sin f cos;cos sin;tan cot,cot tan.(奇变偶不变) 然后在前面加上把a看成锐角时原函数值的符号。(符号看象限)例如：sin(2 n a ) = si n(4 n /2 a )， k= 4 为偶数，所以取 sin a。当 a 是锐角时，2n a (270 ，360 )，s

5、in(2 n a ) V 0,符号为“一”。所以 sin(2 n a ) = sin a上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把 a视为锐角时，角k 360 + a( k Z)，- a、180a， 360 - a所在象 限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”. 这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“ + ”，其余全部是“一”； 第三象限内切函数是“ + ”，弦函数是“一”； 第四象限内只有余弦是“ + ”，其余全

6、部是“一”其他三角函数知识：同角三角函数基本关系1同角三角函数的基本关系式倒数关系：tan a cot a= 1Sin a csc a= 1cos a sec a= 1商的关系：sin a /cos a= tan a= sec a /csc a cos a /sin a= cot a= CSC a /sec a 平方关系：sinA2( a ) + cosA2( a ) = 11 + tan A2( a ) = secA2( a)1 + cotA2( a ) = cscA2( a)同角三角函数关系六角形记忆法 六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间 1的

7、正六边形为模型。（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是 两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上 的三角函数值的平方。两角和差公式2两角和与差的三角函数公式sin (a+ B)=sin a cos B + cosasinBsin (a B)=sin a cos p cosasinBcos (a+ B)=cos a cos p sinasinBcos (a B)=cos a cos B+ sinasin

8、Btan a+ tan Btan (a + B)=1 tan a tan Btan a tan Btan (a_B)=1 + tan a tan B倍角公式3二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幕缩角公式)sin2 a= 2sin a cos acos2 a= cosA2( a ) sE2( a ) = 2cosA2( a ) 1 = 1 2sin A2( a)2ta n atan2 a=1 tanA2( a)半角公式4半角的正弦、余弦和正切公式(降幕扩角公式)1 cos asinA2( a /2)=1 + cos aC0SA2( a /2)=21 COS atanA2( a /2)=1 + CO

9、S a万能公式5万能公式2tan( a /2)sin a=1 + tanA2( a /2)1 tanA2( a /2)COS a=1 + tanA2( a /2)2tan( a /2)tan a=1 tanA2( a /2)万能公式推导附推导：Sin2 a =2sin a COS a =2sin a COS a /(COSA2( a )+SinA2( a )*,(因为 COSA2( a )+SinA2( a )=1)再把*分式上下同除cosA2( a )，可得Sin2 a= tan2 a /(1 + tan八2( a ) 然后用a /2代替a即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过

10、正弦比余弦得到。三倍角公式6三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 a= 3sin a 4sin八3( a)COS3 a= 4COSA3( a ) 3COS a3tan a tanA3( a)tan3 a=1 3tan2( a)三倍角公式推导附推导：tan3 a= sin3 a /cos3 a =(sin2 a cos a+ cos2 a sin a )/(cos2 a cos a -sin2 a sin a=(2si n a cosA2( a ) + cosA2( a )sin a sin A3( a )/(cosA3(a ) COS a sin A2( a )2si nA2( a )cos

11、a)上下同除以COsA3( a )，得：tan3 a= (3ta n a tanA3( a )/(1- 3ta 门八2( a )sin3 a= sin(2 a + a ) = sin2 a cos a+ cos2 a sin a=2sin a cosA2( a ) + (1 2sin八2( a )sin a=2sin a 2si 门八3( a ) + sin a 2sin 八2( a)=3sin a 4si门八3( a)cos3 a= cos(2 a + a ) = Cos2 a cos a Sin2 a Sin a=(2cosA2( a ) 1)cos a 2cos a Sin A2( a)

12、=2cosA3( a ) cos a+ (2cos a 2cosA3( a )=4cosA3( a)3cos a即sin3 a= 3sin a 4sin八3( a)cos3 a= 4cosA3( a ) 3cos a三倍角公式联想记忆记忆方法：谐音、联想正弦三倍角：3元减4元3角(欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”) 余弦三倍角：4元3角减3元(减完之后还有“余”)注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。和差化积公式a B2a B27三角函数的和差化积公式a + Bsin a+ sin B = 2sin - cos-2a + Bsin a sin B

13、= 2cos - sin -2a + Bcos a+ cos B = 2cos cos2a + Bcos a cos B= 2sin sin 2 积化和差公式8三角函数的积化和差公式sin a cos B = 0.5sin(a + B)+sin(a-B)cos a sin B = 0.5sin(a + B)一sin(a-B)cos a cos B = 0.5cos(a + B)+cos(a-B)sin a sin0.5cos (a +B)一cos (:a-B)和差化积公式推导附推导：首先,我们知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-

14、cosa*sinb我们把两式相加就得到sin( a+b)+si n( a-b)=2s in a*cosb所以,sin a*cosb=(s in( a+b)+s in( a-b)/2同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同样的，我们还知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理,两式相减我们就得到sina*s

15、inb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2这样,我们就得到了积化和差的四个公式：sin a*cosb=(si n(a+b)+s in (a-b)/2cosa*si nb=(si n(a+b)-si n(a-b)/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 si na*si nb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好,有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式：sin x+si ny

16、=2si n(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sin x-si ny=2cos(x+y)/2)*si n(x-y)/2) cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2) cosx-cosy=-2s in (x+y)/2)*si n(x-y)/2)利用变角思想.A=(A+B)/2+(A-B)/2B=(A+B)/2-(A-B)/2sinA+sinB=sin(A+B)/2+(A-B)/2+sin(A+B)/2-(A-B)/2=sin(A+B)/2*cos(A-B)/2+cos(A+B)/2*sin(A-B)/2+sin(A+B)/2*cos(A-B)/2-cos(A+B)

17、/2*sin(A-B)/2=2sin(A+B)/2*cos(A-B)/2其它的同理可得回答：2008-09-2115:32提问者对答案的评价9其他回答 共 1 条回答评论:举报SBB55【学长sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-cosasinb 两式求和得sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb此式从右往左即为积化和差令 a+b=x.a-b=y,则 a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 得sinx+siny=1/2*sin(x+y)/2cos(x-y)/2这就是和差化积仿此可得其余6个公式三角函数相关公式大全关键词：三角公式三

18、角函数,现在又得记一遍了=.=最近复习微积分，几个三角函数的转换弄得我晕头转向，本来高中的时候就没记熟好郁闷，进度太慢了1三角函数的定义1.1三角形中的定义图1在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC如下定义六个三角函数:? 正弦函数余切函数正切函数正割函数#余割函数131.2直角坐标系中的定义图2在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数:正切函数余弦函数余切函数15正割函数#余割函数2转化关系2.1倒数关系172.2平方关系#2和角公式21203倍角公式、半角公式3.1倍角公式223.2半角公式253.3万能公式4积化和差、和差化积4.1积化和差公式2

19、6314.2和差化积公式28三角函数公式大全三角函数与角的终边重合)：y32|si nx| sinx|41ICOSXII cosx|x|cosxl|cosx14|sinx| sinx|23SIN COS三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域1与 (0w v 360 )| k 360 ,k Z 终边在x轴上的角的集合： 终边在y轴上的角的集合： 终边在坐标轴上的角的集合： 终边在y=x轴上的角的集合：终边相同的角的集合（| k 180 ,k Z| k 18090 ,k Z| k 90 , k Z| k 18045 ,k Z终边在y x轴上的角的集合:| k 18

20、045 ,k Z若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：360 k若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：360k 180若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：180k角与角的终边互相垂直，则角与角的关系360k90ooo360 =2180 2.角度与弧度的互换关系： 注意：正角的弧度数为正数,1 =0.01745 1=57.30负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零=57 18、弧度与角度互换公式:1rad= 180 57.30 =57 18._ 0.01745( rad)1803、弧长公式:1扇形面积公式：s扇形 -lr2121I r24、三角函数:设个任意角，在的终边上任取（

21、异于曰 疋三角函数定义域f(x) si nxx | x Rf(x) cosxx | x Rf (x) tanx口1x |x R且x k -, k Z2f (x) cotxx |x RMx k , k Zf (x) secx口1x |x RMx k -,k Z2f (x) cscxx |x RMx k , k Z7.三角函数的定义域:8、同角三角函数的基本关系式:sintantancot1 csc sin1sec cos1.2222221sincos1 sectan1 csccotcoscos丄cot sin9、诱导公式：k把的三角函数化为 的三角函数，概括为:“奇变偶不变，符号看象限”三角函数

22、的公式：（一）基本关系公式组一sinx cscx=1cosx secx=1tanx cotx=1sin xtanx=cosxcosx x=sin x2 2sin x+cos x=1“丄221+tan x =sec x2 21+cot x=csc x公式组sin (2kx)si nxcos(2kx)cosxtan(2kx)tanxcot(2kx)cotx公式组三sin( x)si nxcos( x)cosxtan( x)tanxcot( x)cotx公式组四sin(x)si nxcos(x)cosxtan(x)tan xcot(x)cot x公式组五sin(2x)sin xcos(2 x) co

23、sx tan(2x)tan xcot(2x)cot x公式组六37sin(x)si nxcos(x)cosxtan(x)tanxcot(x)cotx公式组一cos()coscossinsincos()coscossinsinsin()sincoscossinsin()sincoscossin（二）角与角之间的互换公式组二sin 22 sin coscos2cos2sin22cos2211 2s in2tan22ta n1 tan2sin21 cos.2tan tantan( ) i-ton1 coscos?2tan()tan1 tan tan2；1 cos1 cossintan tan1 co

24、s sin 1 cos公式组三2ta n sinsin21tan2 cos2coscos1tan2 2sin1tan2 2sin2ta n sintan2tan2 -cos12cossin 15cos7562，,tan154sin 75 cos15cos1 sin21 .sinsinsin2sin1coscos2cossin1cos22 si ncossincos22sin2 cos -sincos2 cos-22cos22cos2si nsin22cot75235tan 75 cot15公式组四cos(-2sin(-21tan(2cos21tan(2公式组五)sin)cos)cot)sin)

25、cot)cosy sin xy cosxy tanxy cotxy Asin x(A、 0)定义域RRx| x R且x k - ,k Z2x | xRM xk , k ZR10.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:注意:ysin x与y sin x的单调性正好相反；反.般地，若y f （x）在a,b上递增（:减），则yysin x 与 ycosx的周期是.ysin( x)或 y cos( x )(0 ）的周期y cosx与y cosx的单调性也同样相 f（x）在a,b上递减（增）.x tan 2的周期为2（ TT n，如图,T 2 .翻折无效）y sin（ x ）的对称轴方程是Z ）,对称

26、中心（k ,0); y cos(对称轴方程是x（k Z ）,对称中心,o）； ytan( x）的对称中心（y cos2x原点对称cos( 2x) cos 2x当tanta n1,tantan1,k 2(k Z).COsx 与 ysin2k是同一函数，而y （ x）是偶函数，则值域1, 11, 1RRA, A周期性222奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当0,非奇非偶当0,奇函数2k 1 ,kk 1 上为减函y 2k ,2k _ k ,_ k2 2数（k Z )2k上为增函上为增函数2 (A),2k 2数(k Z )12k上为增函2k ,2(A)数；2k 1 单调性上为减函上为增函数；2 2k ,数

27、2k2k (k Z )2 (A),23上为减函2k数(k Z )2(A)上为减函数(kZ )cos( x).x ) sin( 函数y tanx在R上为增函数（ 只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域,y tan x为增函数，同样也是错误的. 定义域关于原点对称是f （x）具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是:义域关于原点对称(奇偶都要)，二是满足奇偶性条件，偶函数：f( x) f(x)，奇函数：f( x) f(x)奇偶性的单调性：奇同偶反 例如：y tanx是奇函数，y tan(x 1 )是非奇非偶(定义域不关于原点对称)奇函数特有性质：若 0 x的定义域，则f (x) 一

28、定有f(0) o.( 0 x的定义域，则无此性 质)y sinx不是周期函数；ysi nx为周期函数(T)；cosx是周期函数(如图)cosx为周期函数(y=|cos2x+1/21 图象cos2x(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期，例如:y= cos|x| 图象y f(x) 5 f(x k),k R. b y a cosbsin.a2 b2 sin() cos - 有 一 a2 b2 y .a三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.函数y= Asin (w x 的振幅|A| ,周期T 2-，频率f 1 LJ，相位 x ；初相I IT 2(即当x = 0时的相位).(当A 0,

29、w 0时以上公式可去绝对值符号)，由y= sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长(当|A| 1)或缩短(当0v |A|v 1)到原来的|A|倍，得到y= Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.(用y/A 替换y)由y= sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长(0 v|w |v 1)或缩短(|w | 1)到原来的|1|倍，得到y= sin w x的图象，叫做 周期变换 或叫做沿x轴的伸缩变换.(用w x替换x)由y= sinx的图象上所有的点向左 (当$ 0)或向右(当(f)v 0)平行移动丨$丨个单位， 得到y= sin (x + $)的图象，叫做 相位变换或

30、叫做沿x轴方向的平移.(用x+ $替换x)由y= sinx的图象上所有的点向上 (当b 0)或向下(当bv 0)平行移动丨b丨个单位， 得到y= sinx + b的图象叫做沿y轴方向的平移.(用y+(-b)替换y)由y = sinx的图象利用图象变换作函数y = As in (w x+ $) (A 0,w 0) (x R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。高中数学三角函数常见习题类型及解法1. 三角函数恒等变形的基本策略。(1 )常值代换：特别是用“ 1 ”的代换，如 仁cos2 0 +sin 2 9=tanx cotx=tan45 等。(2

31、 ) 项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos2x=(s in 2x+cos2x)+cos 2x=1+cos2x ；配凑角：a =( a + B) B, B =22(3) 降次与升次。(4)化弦(切)法。(4) 引入辅助角。asin 9 +bcos B =. a2 b2 sin( 9 + )，这里辅助角 所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan =b确定。a2. 证明三角等式的思路和方法。(1) 思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化 为同一形式。(2) 证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3. 证明三角不等式的方法：比较法、配方法

32、、反证法、分析法，利用函数的 单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4. 解答三角高考题的策略。(1) 发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。(2) 寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。(3) 合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。四、例题分析例 1.已知 tan 2，求(1); (2) sin2 sin .cos2cos2的值.cossin1sin2解:(1) cos sin cos sincos1tan13 2 2 ;1sin1tan12cos(2)2sinsin cosc 22cossin2sincos2cos22 si

33、n2 cos2sinsin22 、2占2coscos242sin/2 1 cos2 13 .说明：利用齐次式的结构特点(如果不具备，通过构造的办法得到)，进行弦、切互化，就会使解题过程简化。例 2.求函数 y 1 sinx cosx (sin x cosx)2 的值域。解：设 t sin x cosx则原函数可化为4y t2 t 1 (t )2 -，因为 t 2,2，所以2 4当 t 、2 时，ymax 3 、2，当 t 时，ymin24所以，函数的值域为y ?,3.2。4例 3.已知函数 f(x) 4sin2x 2sin 2x 2, x R。(1) 求f (x)的最小正周期、f (x)的最大

34、值及此时x的集合；(2) 证明：函数f(x)的图像关于直线x 对称。8解：f(x) 4sin2x 2sin 2x 2 2sinx 2(1 2sin2x)2sin 2x 2cos 2x 2、2 sin(2x n)4(1)所以f(x)的最小正周期T n,因为x R ,所以，当2x n 2k n n，即x kn 时，f (x)最大值为2、2 ;428证明：欲证明函数f(x)的图像关于直线x丄对称，只要证明对任意x R，8有 f( n x) f( n x)成立，8 8因为f (冗x)2 ,2sin2(x)2、2sin(-2x)2、Vcos2x ,8842f(冗8x)2,2si n2(n nx)842、

35、2sin(-22x)2 2 cos2x ,所以f(冗8x)nn气x)成立，从而函数f(x)的图像关于直线x 对称。1 .：3例 4. 已知函数 y=cos2x+ sinx cosx+1 (x R)2 2(1) 当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；(2) 该函数的图像可由y=sinx(x R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得 到？解: (1) y=2 cos2x+空 sinx -cosx+1 = (2cos 2x 1)+ -(2sinx -cosx)22444+ 1I13515=-cos2x+sin2x+ =一(cos2x sin +sin2x cos )+44426641 5 =丄 sin

36、(2x+ )+ -2 64所以 y 取最大值时，只需 2x+ =+2kn, (k Z),即 x= +kn, (k Z)。6 2 6所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为x|x= +kn ,k Z639(2)将函数y=sinx依次进行如下变换：(i )把函数y=sinx的图像向左平移一，得到函数y=sin(x+)的图像;6 -(ii )把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的6-倍(纵坐标不变)2，得到函数y=sin(2x+)的图像；6(iii )把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的11倍(横坐标不变)2,得到函数y=2sin(2x+)的图像;2 6(iv )把得到的图像向上平移5个单位长度，得到

37、函数y=sin(2x+2-)+64的图像。综上得至U y=cos2x+三 sinxcosx+12 2说明：本题是2000年全国咼考试题，的图像和性质。这类题一般有两种解法：幕后最终化成y=的图像。属中档偏容易题，主要考查三角函数 一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降 a2 b2 sin ( s x+ )+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题(1)还可以解法如下：当cosx=0时，y=1 ；当cosx丰0时,1 2 cos x y=2-?31、. 3sinxcosxtan x2+仁2+1sin x cos x1 tan x化简得：2(y 1)tan 2x 3 tanx+2y 3=03 7 tanx & =3 8(y 1)(2y 3) 0,解之得：3 y 1, （x （0 ,冗）的解集为 1若0满足cos0-,则角0的取值集合是 D.911.12.13.14.15.若 cos130 a,贝U tan50 =16.已知 f(x)=1-x1 + x，若 a ( , n，贝y f(cos a + f(- cos a可化简为三、解答题（本大题共 5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）设一扇形的周长为 C（C0），当扇形中心角为多大时，它有最大面 积？最大面积是多少？18.（本小题满分14