拉格朗日插值PPT学习教案

1、会计学1拉格朗日插值拉格朗日插值定义： 为定义在区间 上的函数， 为区间上n+1个互不 相同的点， 为给定的某一函数类。若 上的函数 满足)(xfba, 0niix)(xgnixfxgii, 0 , )()(l是否存在且唯一？l如何构造？l误差如何估计？问题0101( )( ),( )nng xf xx xxx xxf x则称为关于节点在 上的插值函数为插值节点，为被插函数第1页/共16页 ,)()()()()()()(00000ninniiinnaaxaxaxfxgxaxaxg有唯一解有唯一解系数行列式不为系数行列式不为0设设则与原函数f(x)无关特点：特点：第2页/共16页定理 ： 为n1

2、个节点， n+1维空间，则插值函数存在唯一，当且仅当 0niix,10nspan0)()()()(0000nnnnxxxx第3页/共16页, 1)(2nnxxxspanx对应于对应于则则01100nijjinnnxxxxVandermonde行列式第4页/共16页在基函数上下功夫，取基函数为nniixl 0)(要求jijixlijji, 1,0)(则00110( )( )()( )()( )()( )()nnniiig xlx f xlx f xlx f xlx f x第5页/共16页01011010)( , )(xxxxxlxxxxxl)()()()()(11001xlxfxlxfxL求ni

3、ixl0)(，可设：)()()()(110niiiixxxxxxxxaxl)()()(1110niiiiiiixxxxxxxxa0jjnijjixxxx第6页/共16页)()()()()()( )()()(120210221012012010210 xxxxxxxxxlxxxxxxxxxlxxxxxxxxxl2001122( )() ( )() ( )() ( )L xf x lxf x l xf x lx第7页/共16页)()()(xLxfxRnn解：)()()(, 0 , 0)(, 0 , )()(0nnininixxxxxkxRnixRnixLxf求?)(xk0( )( )( )( )(

4、)()( )0,0, and ( )0nnitf tL tk x txtxxinx设易知第8页/共16页)(t有n+2个零点(1)(1)(1)(1) , ( )0 ( )( )( )(1)!( ) ( )(1)!nnnnfk x nfk xn)()()!1()()(0)1(nnnxxxxnfxR第9页/共16页) 3 , 3(),1 , 2(),0 , 0(),2 , 1(例：)31)(21)(01()3)(2)(0()(0 xxxxl)23)(03)(13()2)(0)(1()(3xxxxl)32)(02)(12()3)(0)(1()(2xxxxl)30)(20)(10()3)(2)(1()

5、(1xxxxl)(3)(1)(0)(2)(3210 xlxlxlxlxg例：例：已知已知233sin,214sin,216sin 分别利用分别利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值计算插值计算 sin 50 并估计误差。并估计误差。 第10页/共16页解解：0 x1x2x185500 n = 1分别利用分别利用x0, x1 以及以及 x1, x2 计算计算4,610 xx利用利用216/4/6/214/6/4/)(1 xxxL这里这里)3,6(,sin)(,sin)()2( xxxfxxf而而)4)(6(!2)()(,23sin21)2(1 xxfxRxx00762.

6、0)185(01319. 01 Rsin 50 = 0.7660444)185(50sin10 L0.77614外推外推 /* extrapolation */ 的实际误差的实际误差 0.010010.010013,421 xx利用利用sin 50 0.76008, 00660. 018500538. 01 R内插内插 /* interpolation */ 的实际误差的实际误差 0.005960.00596内插通常优于外推。选择内插通常优于外推。选择要计算的要计算的 x 所在的区间的所在的区间的端点，插值效果较好。端点，插值效果较好。第11页/共16页n = 223)()(21)()(21)

7、()()(4363463464363646342 xxxxxxxL)185(50sin20 L0.7654323cos21;)3)(4)(6(!3cos)(2 xxxxxxR 00077. 018500044. 02 Rsin 50 = 0.76604442次插值的实际误差次插值的实际误差 0.000610.00061高次插值通常优高次插值通常优于低次插值于低次插值第12页/共16页给定 10niix任取n+1个构造)(xLn)( 1, 1)( , 0 xLnixLninn如：另取则)()()!1()()()()()()!1()()()(112)1(01)1(nnnnnnxxxxnfxLxfxxxxnfxLxf第13页/共16页近似)()(2)1(1)1(nnff则)()()()()()()(