椭圆的简单几何性质直线与椭圆的弦长公式

1、椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质( (第三课时第三课时) )直线与椭圆的弦长公式直线与椭圆的弦长公式富源二中：何慧丽1. 倾斜角、斜率：倾斜角、斜率：问题问题1 1：一、有关直线问题：一、有关直线问题2121tanyykxx（5）一般式：）一般式：（4）截距式：）截距式：（3）两点式：）两点式：（1）点斜式：）点斜式：（2）斜截式：）斜截式：2. 直线方程的五种形式直线方程的五种形式.()yyk xxykxb112121yyxxyyxx1xyab0axbyc3. 两条直线的平行与垂直两条直线的平行与垂直平行：平行：垂直：垂直：4.两条平行线两条平行线l1：ax+by+c1=0，l2：ax+

2、by+c2=0的距离的距离为：为：2221baccd1212/ /llkk12121llk k 问题问题2：直线与圆的位置关系有哪几种？：直线与圆的位置关系有哪几种？怎么判断它们之间的位置关系？怎么判断它们之间的位置关系？几何法：几何法： drd=rdr代数法：代数法：0思考思考:直线与椭圆有几种位置关直线与椭圆有几种位置关系呢？系呢？一、直线与椭圆的位置关系一、直线与椭圆的位置关系问题问题3：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？不能！不能！因为他们不像圆一样有统一的半径。因为他们不像圆一样有统一的半径。所以只能用代数法所以只能用代数法 直线与

3、椭圆的位置关系的判定直线与椭圆的位置关系的判定mx2+nx+p=0（m 0）方程组无解方程组无解相离相离无交点无交点方程组有一解方程组有一解相切相切一个交点一个交点相交相交方程组有两解方程组有两解两个交点两个交点代数方法代数方法由方程组：由方程组：222201axbycxyab= n2-4mp0消去消去y这是求解直线与这是求解直线与二次曲线有关问二次曲线有关问题的通法。题的通法。例例1、对不同的实数值、对不同的实数值m，讨论直线，讨论直线y=x+m与椭圆与椭圆2214xy的位置关系。的位置关系。回忆：直线与圆的相交弦长回忆：直线与圆的相交弦长弦长公式：弦长公式：222lrd推导：推导：设直线与

4、椭圆交于设直线与椭圆交于p1(x1,y1)，p2(x2,y2)两点，直线斜率为两点，直线斜率为k弦长公式：弦长公式：2221212121221|1()41()4abkxxx xyyy yk二、直线与椭圆的相交弦长二、直线与椭圆的相交弦长其中 、 可以由韦达定理求得12xx12x x例例2：已知斜率为：已知斜率为1的直线的直线l过椭圆过椭圆 的右焦点，的右焦点，交椭圆于交椭圆于a，b两点，求弦两点，求弦ab之长之长方法与过程：(1)联立方程组；(2)消去其中一个未知数，得到二元一次方程；(3)韦达定理；(4)弦长公式.2、过椭圆、过椭圆 的左焦点作倾斜角为的左焦点作倾斜角为 的直的直线，求弦长线

5、，求弦长ab。2224xy30课堂练习课堂练习1、过点、过点a(5,5)与椭圆与椭圆 只有一个公共点的直线只有一个公共点的直线有（有（ ）a.0条条 b.1条条 c.2条条 d.3条条1162522 yxa的坐标变为的坐标变为 (0,2)，结果如何？，结果如何？ 3、 已知椭圆已知椭圆5x2+9y2=45，判断点，判断点a(1,1)与与椭圆的位置关系椭圆的位置关系,你能求出以你能求出以a为中点椭圆为中点椭圆的弦所在的直线方程吗？的弦所在的直线方程吗？例例 ：已知椭圆：已知椭圆 过点过点p(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.解

6、法一：解法一：韦达定理韦达定理中点坐标斜率斜率三、弦中点问题三、弦中点问题课后探讨第二种解法课后探讨第二种解法例例 ：已知椭圆：已知椭圆 过点过点p(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.解法一：解法一：韦达定理韦达定理中点坐标斜率斜率三、弦中点问题三、弦中点问题课后探讨第二种解法课后探讨第二种解法例例 ：已知椭圆：已知椭圆 过点过点p(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.解法一：解法一：韦达定理韦达定理中点坐标斜率斜率三、弦中点问题三、弦中点问题课后探讨第二种

7、解法课后探讨第二种解法点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率出中点坐标和斜率所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0从而从而a ,b在直线在直线x+2y-4=0上上而过而过a,b两点的直线有且只有一条两点的直线有且只有一条解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点中点”这这一一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，练习：练习：1、如果椭圆被、如果椭圆被 的弦被点（的弦被点（4，2）平分，）平分，求这条弦所在直线方程。求这条弦所在直线方程。193622yx2、弦长弦长的计算方法：的计算方法：弦长公式：弦长公式： |ab|= = （适用于任何曲线）（适用于任何曲线） 21212411yyyyk ）（21221241xxxxk ）（小小 结结1、直线与椭圆的位置关系及其判断方法、直线与椭圆的位置关系及其判断方法3、弦中点问题弦中点问题的两种处理方法：的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减