2.4.2抛物线的简单几何性质(综合)

1、一、温故知新一、温故知新( (一一) ) 圆锥曲线的统一定义圆锥曲线的统一定义 平面内，到定点平面内，到定点F的距离与到定直线的距离与到定直线l的距离的距离比为常数比为常数e的点的轨迹的点的轨迹,当当e1时，是时，是双曲线双曲线 .当当0e0) (2)开口向左开口向左 y2 = -2px (p0)(3)开口向上开口向上 x2 = 2py (p0) (4)开口向下开口向下 x2 = -2py (p0)CMFle=1H 在平面内在平面内,与一个定点与一个定点F和和一条定直线一条定直线l(l不经过点不经过点F)的的距离相等距离相等的点的轨迹叫的点的轨迹叫抛抛物线物线.点点F叫抛物线的叫抛物线的焦点焦

2、点,直线直线l 叫抛物线的叫抛物线的准线准线d 为为 M 到到 l 的距离的距离准线准线焦焦点点d的轨迹是抛物线。则点若MMNMF, 1标准方程标准方程 图形图形焦点焦点准线准线xyOFly2=2pxy2=-2pxxyOFlx2=2pyx2=-2pyxyOFlxyOFl(,0)2pF(0,)2pF2px(0,)2pF(,0)2pF 2px 2py 2py 1抛物线x24y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为()A2 B3C4 D5v解析：点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离，即4(1)5.v答案：D答案：Byox)0,2(pFP(x,y)一、一、抛物线抛物线的的几何性质

3、几何性质抛物线在抛物线在y轴的右侧，当轴的右侧，当x的值增大时，的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。延伸。1、范围范围由抛物线由抛物线y2 =2px（p0）220pxy而而0p 0 x 所以抛物线的范围为所以抛物线的范围为0 x ( , )x y关于关于x轴轴对称对称( ,)xy 由于点由于点 也满也满足足 ，故抛物线，故抛物线(p0)关于关于x轴轴对称对称.( ,)xyy2 = 2pxy2 = 2px2、对称性、对称性yox)0,2(pFP(x,y)定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线的的顶点

4、顶点。yox)0,2(pFP(x,y)由y2 = 2px （p0）当当y=0时时,x=0, 因此抛物线的顶点顶点就是坐标原点（0，0）。注注:这与椭圆有四个顶点这与椭圆有四个顶点,双曲线有双曲线有两个顶点不同。两个顶点不同。、顶点、顶点离心率离心率4、yox)0 ,2(pFP(x,y) 抛物线上的点与焦抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的点的距离和它到准线的距离之比，叫做距离之比，叫做抛物线抛物线的的离心率离心率。 由定义知，由定义知， 抛物线抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为的离心率为e=1.5、开口方向、开口方向yox)0,2(pFP(x,y)抛物线抛物线y2 =2px（p0）的开

5、）的开口方向向右。口方向向右。pyxpyxpxypxy22222222+X，x轴正半轴，向右轴正半轴，向右-X，x轴负半轴，向左轴负半轴，向左+y，y轴正半轴，向上轴正半轴，向上-y，y轴负半轴，向下轴负半轴，向下特点：特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无虽然它可以无限延伸限延伸,但它没有渐近线但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有没有对称中心对称中心;3.抛物线只有一个顶点、抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的,为为1;思考思考：抛物线标准方程中的：抛物线

6、标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响.yox)0,2(pFP(x,y)P越大开口越大开口越大越大方程图形准线焦点对称轴)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx)0 ,(2pF) 0 ,(2pF ), 0(2pF), 0 (2pF2px2px2yp2py x轴轴x轴轴y轴轴y轴轴ox xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yl练习练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）轴上） 方程方程焦点焦点准线准线开口方向开口方向xy62yx420722 yx)0 ,(23F)0 , 1(F) 1

7、 , 0(F), 0(87F23x1x1y87yxy42开口向开口向右右开口向开口向左左开口向开口向上上开口向开口向下下（二）归纳：抛物线（二）归纳：抛物线的的几何性质几何性质图图 形形方程方程焦点焦点准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴轴y轴轴1xyOFABy2=2px2p过焦点而垂直于对称轴的弦过焦

8、点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的，称为抛物线的通径，通径，利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通、通径的两个径的两个端点端点可较准确可较准确画出反映抛物线基本特画出反映抛物线基本特征的草图征的草图. pp,2 pp,2|AB|=2p通径通径5、2p越大，抛物线张口越大越大，抛物线张口越大.P越大越大,开口越开阔开口越开阔 1、已知抛物线的顶点在原点，对称、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴为x轴，焦点在直线轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那上，那么抛物线通径长是么抛物线通径长是 . 2、一个正三角形的三个顶点，都在抛、一个正三角形的三个顶点，都在抛物线物线 上，其中一个顶点为坐标上，

9、其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为原点，则这个三角形的面积为 。24yx1648 3课堂练习：课堂练习：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的线的焦半径焦半径。|PF|=x0+p/2焦半径公式：焦半径公式：焦半径焦半径6、xyOFPx0p/2焦半径及焦半径公式焦半径及焦半径公式抛物线上一点到焦点的距离抛物线上一点到焦点的距离P(x0，y0)在在y2=2px上，上， P(x0，y0)在在y2=-2px上上,P(x0，y0)在在x2=2py上上,P(x0，y0)在在x2=-2py上上,20pxPF 02xpPF 20pyPF 02ypPF 归纳归

10、纳: (1)、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；也可以无限延伸，但没有渐近线； (2)、抛物线只有一条对称轴、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心; (3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；准线； (4)、抛物线的离心率、抛物线的离心率e是确定的为是确定的为, 、抛物线的通径为、抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张越大，抛物线的张口越大口越大.因为抛物线关于因为抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标原轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点点，并且经过点M M（，），（，

11、），22解解:所以设方程为：所以设方程为：)0(22ppxy又因为点又因为点M M在抛物线上在抛物线上：所以：所以：2( 2 2)22p2p因此所求抛物线标准方程为：因此所求抛物线标准方程为：24yx例例3 3：已知抛物线关于：已知抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标原轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点点，并且经过点M M（，），求它的标准方程（，），求它的标准方程. .22三、典例精析三、典例精析24yx作图：作图：(1)列表列表（在第一象限内列表）（在第一象限内列表）x01234y(2)描点：描点：022.83.54(3)连线：连线：11xyO课堂练习：课堂练习：求适合下列条件的抛物

12、线的方程：求适合下列条件的抛物线的方程：（1）顶点在原点，焦点顶点在原点，焦点F F为（为（0 0，5 5）; ;（2）顶点在原点，关于顶点在原点，关于x x轴对称轴对称, ,并且并且经过点经过点M(5,-4).M(5,-4).20 xy2165yx2求满足下列条件的抛物线的方程（1）顶点在原点，焦点是（0，4）（2）顶点在原点，准线是x4（3）焦点是F（0，5），准线是y5（4）顶点在原点，焦点在x轴上，过点A（2，4）练习yx162yx202xy162xy82（三）、例题讲解：（三）、例题讲解：练习练习：顶点在坐标原点，焦点在顶点在坐标原点，焦点在y y轴上，并且经过点轴上，并且经过点M

13、M（4,4,) )的的抛物线抛物线的标准方程为的标准方程为yxDyxCyxByxA212222.2.4.8.AyxxyDxyCxyBxyA364.2.2.4.22222或（三）、例题讲解：（三）、例题讲解：练习练习2 2：顶点在坐标原点，对称轴是顶点在坐标原点，对称轴是X X轴，点轴，点M M（-5, )-5, )到焦点距离为到焦点距离为6 6, ,则则抛物线抛物线的标准方程为的标准方程为52A探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。抛物镜面：抛物线

14、绕其对称轴旋转而成的曲面。灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。设计原理。平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。的理论依据。例例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为位于抛物线的焦点处。已知灯

15、口圆的直径为60cm，灯深，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。，求抛物线的标准方程和焦点位置。xyOBA(40,30)解解:所在平面内建立直所在平面内建立直角坐标系角坐标系,使反射镜使反射镜的顶点与原点重合的顶点与原点重合, x轴垂直于灯口直径轴垂直于灯口直径.在探照灯的轴截面在探照灯的轴截面设抛物线的标准方程为设抛物线的标准方程为:y2=2px由条件可得由条件可得A (40,30),代入方程得代入方程得:302=2p40解之解之: p=445故所求抛物线的标准方程为故所求抛物线的标准方程为: y2= x,245焦点为焦点为( ,0)845 1(2).lyk x 解：直线 的方程为x

16、yxky4)2(12由方程组244(21)0kyyk可得 只有一个公共点只有一个公共点200,16(21)0kkkk 或 11,0,2kk 或 或 k=有两个公共点有两个公共点2016(21)0kkk 110, 02kk 或没有公共点没有公共点2016(21)0kkk 11, 2kk 或11,0,2kkk 综上所述 当或或时,直线与抛物线只有一个公共点;11002kk 当或时,直线与抛物线有两个公共点;112kk 当或时,直线与抛物线没有公共点。24l例例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离时，拱顶离水面水面2米，水面宽米，水面宽4米米. 水下降水下降1

17、米后，水面宽多少？米后，水面宽多少？xoy若在水面上有一宽为若在水面上有一宽为2米米,高高为为1.6米米的船只，能否安全通过拱桥？的船只，能否安全通过拱桥？思考题思考题2BA（2,2）x2=2y6x B（1，y） y=0.5B到水面的距离为到水面的距离为1.5米米不能安全通过不能安全通过y=3代入得代入得26水面宽例题例题3 （1）已知点）已知点A（-2，3）与抛物线）与抛物线 的焦点的距离是的焦点的距离是5，则，则P = 。 22(0)ypx p（2）抛物线）抛物线 的弦的弦AB垂直垂直x轴，若轴，若|AB|= ， 则焦点到则焦点到AB的距离为的距离为 。 24yx4 342（3）已知直线）

18、已知直线x-y=2与抛物线与抛物线 交于交于A、B两两 点，那么线段点，那么线段AB的中点坐标是的中点坐标是 。24yx(4,2) 四、课堂练习四、课堂练习34B有困难，找准线！有困难，找准线！35已知点已知点P在抛物线在抛物线y24x上，那么点上，那么点P到到点点Q(2，1)的距离与点的距离与点P到抛物线焦点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点距离之和取得最小值时，点P的坐标为的坐标为_ ) 1,41(有困难，找准线！有困难，找准线！有困难，找准线！有困难，找准线！6、已知、已知Q(4,0)，P为抛物线为抛物线 上任一点，上任一点，则则|PQ|的最小值为的最小值为( ) A. B. C. D

19、.21yx321021923C4、求满足下列条件的抛物线的标准方程：、求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点在直线焦点在直线x-2y-4=0上上.(2)焦点在轴焦点在轴x上且截直线上且截直线2x-y+1=0所得的弦长为所得的弦长为15.22168yxxy 或22124yxyx 或v解析：y24x，2p4，p2.v由抛物线定义知：|AF|x11，|BF|x21，v|AB|AF|BF|x1x22628.故选A.v答案：A【变式训练变式训练】直线直线y ykxkx2 2与抛物线与抛物线y y2 28x8x有且只有一个公有且只有一个公共点，则共点，则k k的值为的值为( )( )（A A）1 1

20、 （B B）1 1或或3 3（C C）0 0 （D D）1 1或或0 0【解析解析】选选D.D.由由 得得kyky2 28y8y16160 0，若，若k k0 0，则则y y2 2，若，若k0k0，则，则0 0，即，即646464k64k0,0,解得解得k k1 1，此，此时直线时直线y ykxkx2 2与抛物线与抛物线y y2 28x8x有且只有一个公共点，综有且只有一个公共点，综上上,k,k0 0或或k k1.1.2ykx2,y8xDkk k0 0k = 0,k = 0,或或 =16 -16k = 0=16 -16k = 0k k = = 0 0, ,或或 k k = =1 1v题后感悟求

21、抛物线焦点弦长的一般方法v用直线方程和抛物线方程列方程组；v消元化为一元二次方程后，应用韦达定理，求根与系数的关系式，而不要求出根；v若弦过焦点，则据定义转化为x1x2|AB|p或y1y2|AB|p.结合中的结果可求解；v3.过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，求AB的中点M到抛物线准线的距离 五、归纳总结五、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大，抛物线的张口越大越大.1、范围：、范围：2、对称性：、对称性：3、顶点：、顶点：4、离心率：、离心率：5、通径：、通径：6、光学性质：、光学性质： 从焦点出发的光线，通过抛物线反射就从焦点出发的光线，通过抛物线反