概率的加法公式与乘法公式PPT学习教案

1、会计学1概率的加法公式与乘法公式概率的加法公式与乘法公式一、概率的加法公式二、条件概率三、概率的乘法公式第1页/共27页0)(APA有对任一个事件1)(,P有对必然事件)()(,1121iiiiAPAPAA则是两两互不相容的事件若设E是随机试验，是它的样本空间，对E的每一个事件A，将其对应于唯一实数，记为P(A )，称为事件A的概率，如果集合函数P()满足下列条件：一、概率的公理化定义1 非负性2 规范性3 可列可加性第2页/共27页0)(P1212()()()()nnP AAAP AP AP A两两互不相容，则若事件nAAA,21性质1性质2（有限可加性）性质3)(1)(APAPA有对任一事

2、件，则有满足若事件BABA,)()()(BPAPBAP)()(BPAP性质4 )()()(ABPAPBAP第3页/共27页 性质3)(1)(APAPA有对任一事件AAAA且因为)()()()(1APAPAAPP)(1)(APAP证明：可得由性质2第4页/共27页BAABBBAAA)(因为证明：)()()(ABPAPBAPBAAB 且),()()(BAPABPAP 所以),()(BAPB-AP 又)()()(BAPAPB-AP 于是第5页/共27页例1 设有一批产品共100件，其中5件是次品，任取3件，求：至少有一件是次品的概率。解 法一.,21321BBBBBA且两两互不相容。于是3B设A为“

3、任取三件至少有一件次品”，Bi表示“任取三件恰好有i件次品”，则123123122130595595595333100100100P( )P()P()P()P() 0. 1440ABBBBBBC CC CC CCCC=热=+=+?第6页/共27页法二.表示“任取三件全是正品”，而A8560. 0)(3100395CCAP1440. 08560. 01)(1)(APAP第7页/共27页例例2 袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一只，有放回地抽三次，求三次抽取只，有放回地抽三次，求三次抽取“颜色全同颜色全同”、“至少一只红球至少一只红球”的概率的概率解解 )

4、()(全全白白全全黄黄全全红红颜颜色色全全同同 PP)()()(全全白白全全黄黄全全红红PPP 91313131333 )()(无无红红球球至至少少一一只只红红球球PP )(1无红球无红球P 271932133 第8页/共27页定理1（加法公式）()( )( )()P ABP AP BP AB有、对任意两个事件BA)()()()()()(ABPBPAPABBPAPBAP证明：因为()ABABAABABBABABBA,)(且故()( )( ).P ABP AP B若A,B互不相容，有一般地，).()()(BPAPBAP第9页/共27页定理1可以推广到多个事件的情形。123123122313123

5、()()()()()()()()P AAAP AP AP AP A AP A AP A AP A A A推论1 若A1, A2, A3为任意三个事件，则可由归纳法证得。个事件一般地，对任意nAAAn,21第10页/共27页例例3 在例在例2中，求中，求“取到的三个球里没有红球或取到的三个球里没有红球或没有黄球没有黄球”的概率的概率解解)()(无无黄黄无无红红无无红红或或无无黄黄 PP)()()(无无黄黄且且无无红红无无黄黄无无红红PPP 95271278278 第11页/共27页)()()()(ABPAPBAPBAP3 . 0)(BP6 . 0)( BAP)( BAPAB例4 设 、 为两事件

6、，且设 ， 求解)()()()(ABPBPAPBAP而)()()()(ABPAPBPBAP所以3 . 03 . 06 . 0)(BAP于是第12页/共27页解：解：因为A、B、C 都不出现的概率为= 1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC)= 11/41/41/4+0+1/6+1/60 =15/12 = 7/12()1()P ABCP ABC 例5 P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/6, 求 A、B、C 都不出现的概率.第13页/共27页 前面讲的概率问题没有什么附加条件，但实际中前面讲的概率问题没有什么附加

7、条件，但实际中可能会经常遇到许多有条件的概率问题比如：可能会经常遇到许多有条件的概率问题比如：(1)已知某人艾兹检查为阳性，求他患艾兹的概率已知某人艾兹检查为阳性，求他患艾兹的概率；(2)在摸奖中已知第一人已经或未摸到一等奖，求在摸奖中已知第一人已经或未摸到一等奖，求第二人摸到一等奖的概率。第二人摸到一等奖的概率。(3)人寿保险中常常会考虑：已知某人已经活了人寿保险中常常会考虑：已知某人已经活了x岁，求他能再活岁，求他能再活y岁的概率。岁的概率。二、条件概率第14页/共27页 例例6：E：将一枚硬币抛二次，观察正反面出现的情况。：将一枚硬币抛二次，观察正反面出现的情况。=HH，HT，TH，TT

8、A=“至少有一次为至少有一次为H”=HH，HT THB=“两次为同一面两次为同一面”=HH，TT已知事件已知事件A发生的条件下，求事件发生的条件下，求事件B发生的概率。发生的概率。解解：(1)事件事件A发生这个条件告诉我们，试验的结果发生这个条件告诉我们，试验的结果TT不能出现，而只出现不能出现，而只出现HH，HT ，TH，这时，这时B要发生只能出现要发生只能出现结果结果HH。从而。从而P(“事件事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生发生”)=1/3P(“事件事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B不发生不发生”)=2/3(|)defP B A(|)defP B A第15页/共27页(2

9、)如果没有如果没有事件事件A发生这个条件则事件发生这个条件则事件B发生的概率为：发生的概率为：21( )42P B 1(|)3P B A(3) 事件事件A与事件与事件B同时发生的概率为：同时发生的概率为：31( ), ()44P AP AB从而有公式：从而有公式：()1(|)( )3P ABP B AP A第16页/共27页，称是两个事件，且设0)(,APBA)()()(APABPABP(3)可以验证，条件概率P(|A)满足概率公理化定义中的三条公理 定义1为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率1)|(0ABPB，有对任一个事件1)|( AP)|()|(,1121ABPABPBBBiiiin

10、有，对两两互不相容的事件1 非负性2 规范性3 可列可加性第17页/共27页( |)0;PB);|(1)|(BAPBAP )|()|()|()|(212121BAAPBAPBAPBAAP 由此可知，前面推出的概率的性质对条件概率同由此可知，前面推出的概率的性质对条件概率同样适用，例如：样适用，例如：第18页/共27页概率概率 P(B|A)与与P(AB)的区别与联的区别与联系系联系联系：事件：事件A，B都发生了都发生了 区别区别： （1）在）在P(B|A)中，事件中，事件A，B发生有时间上的差异，发生有时间上的差异，A先先B后；在后；在P（AB）中，事件）中，事件A，B同时发生。同时发生。（2）

11、样本空间不同，）样本空间不同，在在P(B|A)中，事件中，事件A成为样本成为样本空间；在空间；在P（AB）中，样本空间仍为）中，样本空间仍为 。因而有因而有 )()|(ABPABP第19页/共27页例7 一袋中有10 个球，其中3个黑球，7个白球，依次从袋中不放回取两球。试求：已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率.解次取到黑球第iAi)2, 1(i记因为15191023)(21AAP103)(1AP所以 92)()()(12112APAAPAAP第20页/共27页例例8 考虑恰有两个小孩的家庭，若已知某一家有男孩求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩（

12、相当于第二个也是男孩）的概率（假定生男生女为等可能）第21页/共27页于是得 43P(A)41 P(B)P(AB)41 P(B)P(BA1所求的两个条件概率为 314341P(A)P(AB)A)|P(B212141)P(A)P(BA)A|P(B111第22页/共27页定理1 （乘法公式）)()()(, 0)(APABPABPAP则有设0)(,12121nnAAAPnAAA个事件，且是一般地，若0)(,BPBA此，若的位置具有对称性，因由于)()()(BPABPBAP)()()(BPBAPABP则由归纳法可得：则由可得)|()|()|()()(12121312121nnnAAAAPAAAPAAP

13、APAAAP第23页/共27页例例8 8 关于某产品的检验方案为从关于某产品的检验方案为从100100件中任取一件，无放回，如为次品，认为不合格；如为正品，再抽一件；如此连续至多件中任取一件，无放回，如为次品，认为不合格；如为正品，再抽一件；如此连续至多4 4次，如连续抽取次，如连续抽取4 4件正品，则认为这批产品合格，现假定这批产品中件正品，则认为这批产品合格，现假定这批产品中5%5%是次品，问产品被拒收的概率是次品，问产品被拒收的概率 。解产品被拒收A设4 , 3 , 2 , 1,iiBi次抽得正品第4321BBBBA 则)(1)(1)(4321BBBBPAPAP因此)|()|()|()BBBPBBBPBBPBP188. 0979298939994100951第24页/共27页解：解：例例9：据以往资料，某一：据以往资料，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下特点：口之家，患某种传染病的概率有以下特点：( )0.6, (|)0.5, (|)0.4P AP B AP