单自由度体系地震作用课件

1、 1动力计算概况2单自由度体系的自由振动3阻尼对振动的影响4单自由度体系的受迫振动5单自由度体系的地震作用目 录Contents6地震反应谱7地震作用与作用效应32-1 2-1 动力计算概述动力计算概述一、动力计算的目的、内容和特点一、动力计算的目的、内容和特点1 1、静力荷载与动力荷载、静力荷载与动力荷载 “静力荷载静力荷载”是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。这是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。这类荷载类荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计对结构产生的惯性力可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都是确，由它所引起的内力和变形都是确定的。定的。 “动力荷载动力荷载”是指

2、其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷载荷载对结构产生的惯性力不能忽略对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。由它所引起的内力和变形都是时间的函数。4动力计算的特点、目的和内容动力计算的特点、目的和内容2 2、动力计算的目的、动力计算的目的 计算结构的动力反应（动内力，动位移、速度与加速度）。计算结构的动力反应（动内力，动位移、速度与加速度）。 3 3、动力计算的内容、动力计算的内容 研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。

3、研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。涉及到内外两方面的因素：涉及到内外两方面的因素： 1 1）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）；）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）； 2 2）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、 振型和阻尼等等），类似静力学中的振型和阻尼等等），类似静力学中的I等；等；计算计算动位移动位移及其幅值；计算及其幅值；计算动内力动内力及其幅值。及其幅值。5动力计算的特点、目的和内容动力计算的特点、目的和内容4 4、动力计算的特点、动力计算的特点 (1)(1)必须考虑惯性力。必须考虑惯性力。 (

4、2)(2)内力与荷载不能构成静平衡。必须考据惯性力，依达朗伯原理，内力与荷载不能构成静平衡。必须考据惯性力，依达朗伯原理，加惯性力后，将动力问题转化为静力问题。加惯性力后，将动力问题转化为静力问题。 (3)(3)分析自由振动即求自振频率、振型、阻尼参数等是求强迫振动分析自由振动即求自振频率、振型、阻尼参数等是求强迫振动动力反应的前提和准备。动力反应的前提和准备。6P(t )tPt简谐荷载（按正余弦规律变化）简谐荷载（按正余弦规律变化）一般周期荷载一般周期荷载二、动力荷载分类二、动力荷载分类 按起变化规律及其作用特点可分为：按起变化规律及其作用特点可分为：3 3）随机荷载：）随机荷载：( (非确

5、定性荷载非确定性荷载) ) 荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。（如地震荷载、风荷载）（如地震荷载、风荷载）2 2）冲击荷载：）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载）短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载）PtP(t )ttrPtrP1 1）周期荷载：随时间作周期性变化）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力）。（转动电机的偏心力）7三、动力计算中体系的自由度三、动力计算中体系的自由度 确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为体系的振动自由度体系的振动自由度。1 1、集中质量法、集中质量法 (1)(1

6、)把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。有限自由度问题。mmm梁m+m梁II2Im+m柱厂房排架水平振厂房排架水平振时的计算简图时的计算简图单自由度体系单自由度体系8 （2 2）并非一个质量集中点一个自由度（分析下例）。）并非一个质量集中点一个自由度（分析下例）。 （3 3）结构的自由度与是否超静定无关。）结构的自由度与是否超静定无关。2个自由度个自由度2个自由度个自由度4个自由度个自由度静定结构静定结构6次超静定结构次超静定结构3次超静定结构次超静定结构9 （4 4）可用加链杆的方法确定自由度。

7、）可用加链杆的方法确定自由度。101y2y1y1y2yEI111y1y2yEI12)(xmy(x,t)x无限自由度体系无限自由度体系1010）13水平振动时的计算体系水平振动时的计算体系构架式基础顶板简化成刚性块构架式基础顶板简化成刚性块(t)v(t)u(t)14四、动力计算的方法四、动力计算的方法动力平衡法（达朗伯尔原理）动力平衡法（达朗伯尔原理）m.运动方程运动方程m设其中设其中P(t).平衡方程平衡方程I(t)惯性力，与加速度成正比，方向相反惯性力，与加速度成正比，方向相反改写成改写成 P tmy t& & my tI t& & my tI t& & P tmy t& & 0P tmy

8、t& &152-2 2-2 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动 自由振动自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。：体系在振动过程中没有动荷载的作用。静平衡位置静平衡位置m获得初位移获得初位移ym获得初速度获得初速度自由振动产生原因自由振动产生原因：体系在初始时刻（：体系在初始时刻（t=t=0 0）受到外界的干扰。）受到外界的干扰。 y t&16研究单自由度体系振动的重要性研究单自由度体系振动的重要性 1 1、是工程上一些实际结构的简化。、是工程上一些实际结构的简化。 2 2、 它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。本概念。建筑物基

9、础建筑物基础水塔的水平振动水塔的水平振动要解决的问题包括：要解决的问题包括：建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼. .17 一、运动微分方程的建立一、运动微分方程的建立方法：达朗伯尔原理方法：达朗伯尔原理应用条件：微幅振动（线性微分方程）应用条件：微幅振动（线性微分方程）1 1、 刚度法刚度法：研究作用于被隔离的质量上的：研究作用于被隔离的质量上的力，建立平衡方程。力，建立平衡方程。m.yj.yd静平衡位置质量m在任一时刻的位移 y(t)=yj+ydk力学模型力学模型.ydmmWS(t)I(t)+重力重力 W弹性力弹性力 )()()(djyyktkytS

10、恒与位移反向恒与位移反向惯性力惯性力(a)其中 kyj=W 及上式可以简化为或或由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。 jdI tmy tm yy & & & &jdjdm yyk yyW& & &0jy & &0ddmyky& &0myky& &(b)182 2、 柔度法柔度法：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。.m静平衡位置I(t)k1可得与可得与 ( (b b) ) 相同的方程相同的方程刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。刚度法常

11、用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。 y tI tmy t & &(c) 0my ty t& &19二、自由振动微分方程的解二、自由振动微分方程的解改写为其中mk2它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：).(.cossin)(21dtCtCty积分常数积分常数C1，C2由初始条件确定由初始条件确定1222121212121,21200,cossinr xr xr xxrprqypyqyr ryC eC erryCC x eriyeCxCx0myky& &(b)0kyym& &02yy& &20m静平衡位置静平衡位置I(t).(cossin)(21dtCt

12、Cty设设 t=0 时时vCyC12.（d）式可以写成式可以写成).(.sincos)(etvtyty 由式可知，位移是由初位移由式可知，位移是由初位移y 引起的余弦运动和由初速度引起的余弦运动和由初速度v 引起的正弦引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动运动的合成，为了便于研究合成运动, ,令令cos,sinAvAy(e)式改写成式改写成).(.).sin()(ftAty它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和和 可由下式确定可由下式确定).(.122gvytgvyA振幅振幅相位角相位角00yyyv&21).(.sincos)(etvtyty).(.)

13、.sin()(ftAtyy0ty-yTTTvvyt0yt0 A-AtycostvsintAsin22三、结构的自振周期和频率三、结构的自振周期和频率由式由式)sin()(tAty及图可见位移方程是一个周期函数。及图可见位移方程是一个周期函数。Tyt0 A-A周期周期,2T工程频率工程频率),(21HzTf圆频率圆频率Tf2223计算频率和周期的几种形式计算频率和周期的几种形式stgWgmmk1gkmTst22频率和周期的讨论频率和周期的讨论（1 1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅无

14、关。干扰力只影响振幅A A。（2 2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率小）；）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。（3 3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用之，两个外

15、形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。下的动力性能基本一致。24例例1 1、图示三根单跨梁，、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量为常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：解：1 1）求）求EIl4831P=13l/165l/32P=1l/2EIlllllEIl7687)325216322(61321311481mlEIm据此可得据此可得：1? 2 ? 3= 1 ? 1.512 ? 2 结构约束越强结构约束越强, ,其刚度越大其刚度越大

16、, ,刚度越大刚度越大, ,其自振动频率也越大。其自振动频率也越大。25例例1 1、图示三根单跨梁，、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量为常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：解：1 1）求）求EIl4831EIl768732EIl19233311481mlEIm32277681mlEIm3331921mlEIm据此可得据此可得：1? 2 ? 3= 1 ? 1.512 ? 2 结构约束越强结构约束越强, ,其刚度越大其刚度越大, ,刚度越大刚度越大, ,其自振动频率也越大

17、。其自振动频率也越大。由单位杆端位移所引起的杆端力（刚度系数）由单位杆端位移所引起的杆端力（刚度系数）补充：补充：等截面直杆的形常数等截面直杆的形常数=1A=1EI3ili 3=1A=1EI4i2ili6li6补充：补充：等截面直杆的形常数等截面直杆的形常数补充：补充：等截面直杆的等截面直杆的载载常数常数29例例2.2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。计算图示结构的水平和竖向振动频率。mlA,E,IHE,I1HHm1E,A1VVVm1IIEI1=mh1k26hEI26hEI26hEI26hEI例例3.3.计算图示刚架的频率和周期。计算图示刚架的频率和周期。 312hEI312hEI由截面平衡

18、由截面平衡324hEIk 324mhEImkEImhT22330四、简谐自由振动的特性四、简谐自由振动的特性由式由式)sin()(tAty可得，可得，加速度为：加速度为： 在无阻尼自由振动中，在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力位移、加速度和惯性力都按正弦规都按正弦规律变化，且作律变化，且作相位相同的同步运动相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极，即它们在同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。它们的幅值产生于它们的幅值产生于1)sin(t时，其值分别为：时，其值分别为：Ay 2mAI 既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现

19、时间也一样，既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，于是可于是可在幅值处建立运动方程在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间，此时方程中将不含时间t，结果把，结果把微分微分方程转化为代数方程方程转化为代数方程了，使计算得以简化。了，使计算得以简化。惯性力为：惯性力为： sin2y tAt & & sin2I tmy tmAt & &2yA & &31例例4. 4. 计算体系自振频率计算体系自振频率( (练习题）。练习题）。ABCDEI= l /2 l /2lmm 1mm312kBCk1m2m.A1.A2lk1I2I 解：单自由度体系，解：单自由度体系， 以以 表示位移参

20、数的幅值表示位移参数的幅值, , 各质点上所受的力为：各质点上所受的力为：221211lmAmIlmlmAmI222222212331建立力矩平衡方程建立力矩平衡方程0BM023221llklIlI0232122122llkllmllm化简后得化简后得km2mk321提高：例提高：例5.5.求图示结构的自振圆频率（练习题）。求图示结构的自振圆频率（练习题）。解法解法1 1：求：求 k=1/hMBA=kh = MBCklhmIEIBAClhEIlEI33lmhEImk2323lhEIk 1h解法解法2 2：求：求 EIlhhlhEI33221221131mlhEIm33例例6.6.求图示结构的自

21、振频率求图示结构的自振频率( (练习题）。练习题）。lEImk1k11k11k33lEI解：求解：求 k3113lEIkkmkmklEI3311对于静定结构一般计算柔度系数方便。对于静定结构一般计算柔度系数方便。如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点都不能发生转动（如横梁刚度为都不能发生转动（如横梁刚度为刚架刚架) )计算刚度系数方便。计算刚度系数方便。312lEI一端铰结的杆的侧移刚度为：一端铰结的杆的侧移刚度为：33lEI两端刚结的杆的侧移刚度为：两端刚结的杆的侧移刚度为：34 实验证明，振动中的结构，不仅产生与变形成比例的弹性

22、内力，还产生实验证明，振动中的结构，不仅产生与变形成比例的弹性内力，还产生非弹性的内力，非弹性的内力，非弹性力起阻尼作用非弹性力起阻尼作用。在不考虑阻尼的情况下所得出的某些。在不考虑阻尼的情况下所得出的某些结论也反应了结构的振动规律，如：结论也反应了结构的振动规律，如：1 1、阻尼的存在、阻尼的存在忽略阻尼的振动规律忽略阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。简谐荷载作用下有可能出现共振。简谐荷载作用下有可能出现共振。自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。自由振动

23、的振幅逐渐衰减。共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅较大但为有限值。共振时的振幅较大但为有限值。2-3 2-3 阻尼对振动的影响阻尼对振动的影响关于阻尼，有两种定义或理解：关于阻尼，有两种定义或理解：1 1）使振动衰减的作用；）使振动衰减的作用；2 2）使能量耗散。）使能量耗散。352 2、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素1 1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦内摩擦”，耗散能量；，耗散能量； 2 2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散，）建筑物基础的振动引起土

24、壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散， 振动波在土壤中传播而耗散能量；振动波在土壤中传播而耗散能量；3 3）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。 振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述不同，目前主要有两种阻尼理论：不同，目前主要有两种阻尼理论：* *粘滞阻尼理论粘滞阻尼理论非弹性力与变形速度成正比：非弹性力与变形速度成正比：* *滞变阻尼理论滞变阻尼理论3 3、阻尼力的确定：、阻尼力的确定：总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关

25、系：总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系： 1 1）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。 2 2）与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。）与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。 3 3）与质点速度无关（如摩擦力）。）与质点速度无关（如摩擦力）。其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。 R tcy t &36mS(t)I(t)P(t)y.kmP(t)P(t)(tRC平衡方程平衡方程)()(tkytS4 4、阻尼对自由振动的影响、阻尼对自由振动的影响设解为：tBey特

26、征方程特征方程0222),1(22, 1特征值特征值一般解一般解tteBeBty2121)(mcmk2,( 阻尼比阻尼比）令令 I tmy t & & R tcy t & mycykyP t& &0mycyky& &0ckyyymm& &20y2yy& &37（1）低阻尼情形低阻尼情形 ( 1 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。rCC 0000yyyv&设设m 受迫振动（强迫振动）：受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。结构在动力荷载作用下的振动。ky(t)ymkyP(t )mP(t )P(t )弹性力弹性力ky、惯性力惯性力和荷载和荷载P(t

27、)之间的平衡方程为之间的平衡方程为:( )mykyP t& &一、简谐荷载：一、简谐荷载：tmFtDtDsinsinsin22tDy*sin)(22mFDtytmFy*stsin)1 (1sin)1 (22222FmFyst2单自由度体系强迫单自由度体系强迫振动的微分方程振动的微分方程特解特解：2-4 2-4 单自由度体系的受迫振动单自由度体系的受迫振动 sinP tFtmy & &2sinFyytm& &my & &最大静最大静位移位移 yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生的产生的位移）。位移）。tyystsin1122*特解可写为：特解可写为：

28、通解可写为：通解可写为：tytCtCystsin11cossin2221设设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：时的初始位移和初始速度均为零，则：0,12221CyCst)sin(sin1122ttyyst过渡阶段过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；：振动开始两种振动同时存在的阶段；平稳阶段平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）按自振频率振动按荷载频率振动平稳阶段：平稳阶段：tyystsin1122最大动位移（振幅）为：最大动位移（振幅）为：22max11styystyymax2211动力系数动力系数：1023123重

29、要的特性：重要的特性：f当当/0时时,1： 荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。f当当0 / 1，并且随并且随/的增大的增大而增大。而增大。f当当/ 1时时, ： 即当荷载频率接近于自振频率时，振幅即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为会无限增大。称为“共振共振”。通常把。通常把0.75 / 1时时, 的绝对值随的绝对值随/的增大而减小。的增大而减小。 当当很大时，荷载变化很快，结构来不及反应很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。例：已知例：已知m=300kg，EI=90105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,=80s-1 求梁中点的位

30、移幅值及最大动力弯矩。求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。2mEImkPsint2m解：解：1)1)求求kEIl212148321EIlEIlEIl1925192483331316.13451921smlEIm2)2)求求552. 11122mEIlPPy35333max1075. 51090192451020552. 119253)3)求求ymax， MmaxmkNlPM.04.31420552. 141)(41max 当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大动内力和最大截面的内力

31、、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大动内力和最大动位移可采用统一的动力系数，动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法只需将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可来计算即可。 练习练习 简支梁（简支梁（I28b），惯性矩），惯性矩I=7480cm4，截面系数，截面系数W=534cm3，E=2.1104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量。在跨度中点有电动机重量Q=35kN，转速转速n=500r/min。由。由于具有偏心，转动时产生离心力于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，P的竖向分量为的竖向分量为Psint。忽略梁的质。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力

32、系数和最大挠度和最大正应力。（梁长量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。（梁长l=4m）解：解：1 1）求自振频率和荷载频率）求自振频率和荷载频率 SQlEIg13434 .57400359807480101 . 24848Sn13 .526050014. 326022 2）求动力系数）求动力系数88. 54 .573 .5211112222EIPlEIQlystst484833maxWlPQWPlWQl4)(44maxstg175.6MPa 必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质点上受干扰力作用的情况。对于干扰力不作用于质点的单自由度体系，以及多自由度体系，均不能采用

33、这一方法。I22b3570cm4357039.739.71.35325149.2设体系在设体系在t=0时静止，然后时静止，然后有瞬时冲量有瞬时冲量S作用作用。二、一般荷载二、一般荷载一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的动力反应来推导动力反应来推导1、瞬时冲量的动力反应、瞬时冲量的动力反应P(t)tPmtPmSv000yt tmStysin)( t ttttmStysin)()(sintmStPSmv00 00cossinvy tytt2、任意荷载、任意荷载P(t)的动力反应的动力反应P(t)tdPdS)(时刻的微分冲量对时刻的微分冲量对t瞬时瞬时(t

34、 )引起的动力反应引起的动力反应: :)(sin)(tmdPdy初始静止状态的单自由度体初始静止状态的单自由度体系在任意荷载作用下的位移系在任意荷载作用下的位移公式公式: :dtPmtyt)(sin)(1)(0(Duhamel 积分积分)初始位移初始位移y0和初始速度和初始速度v0不为零在任意荷载作用下的位移公式不为零在任意荷载作用下的位移公式: :0001( )cossin( )sin()tvy tyttPtdmt3、几种典型荷载的动力反应（略）、几种典型荷载的动力反应（略）1 1）突加荷载）突加荷载 0,0, 0)(0tPttP当当P(t)tPdtPmtyt)(sin)(1)(0dtPmt

35、yt)(sin1)(00)cos1 (20tmPyst=P0=P0 /m2ysty(t)t023质点围绕静力平衡位置质点围绕静力平衡位置作简谐振动作简谐振动2)(maxstyty)cos1 (tyst2 2）短时荷载）短时荷载 ututPttP, 00,0, 0)(0P(t)tPu阶段阶段(0tu)：无荷载，体系以无荷载，体系以t=u时刻的位移时刻的位移 和速度和速度为初始条件作自由振动。为初始条件作自由振动。)cos1 ()(uyuystuyuvstsin)()(sinsin)(cos)cos1 ()(utuyutuytyststtutystcos)(cos或者直接由或者直接由Duhamel

36、积分作积分作dtPmtyt)(sin)(1)(0dtPmtyu)(sin1)(00)cos)(cos20tutmP)2(sin2sin2utuyst另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。P(t)tPP(t)tPuP(t)tPu)cos1 ()(tytyst)(cos1)(utytyst当当0t u)cos1 ()(tytyst)(cos1 (utyst)cos)(costutyst)2(sin2sin2utuyst3 3）线性渐增荷载）线性渐增荷载 rrrttPttttPtP当当,0,)(00P(t)tP0tr这种荷载引起的动力反应同样可由这种

37、荷载引起的动力反应同样可由DuhamelDuhamel积分来求积分来求解解: :rrrstrrstttttttytttttyty当当,)(sinsin11,sin)( 对于这种线性渐增荷载对于这种线性渐增荷载, ,其动力反应与升载时间的长短有很大关系。其动力反应与升载时间的长短有很大关系。其动力系数的反应谱如下：其动力系数的反应谱如下：01.02.03.04.0Ttr1.41.21.01.61.82.0trP0动力系数反应谱动力系数反应谱动力系数动力系数介于介于1 1与与2 2之间。之间。如果升载很短，如果升载很短，tr4T, ,则则接近于接近于1,1,即相当于静荷载情况。即相当于静荷载情况。

38、常取外包虚线作为设计的依据。常取外包虚线作为设计的依据。三、有阻尼的强迫振动三、有阻尼的强迫振动单独由单独由v0引起的自由振动：引起的自由振动：瞬时冲量瞬时冲量ds=Pdt=mv0所引所引起的振动，可视为以起的振动，可视为以v0=Pdt/m，y0=0为初始条件的自由振动：为初始条件的自由振动：tveyrrtsin0tmPdteyrrtsin将荷载将荷载P(t)的加载过程的加载过程 看看作一系列瞬时冲量：作一系列瞬时冲量：)(sin)()(temdPdyrtr总反应总反应dtemPtyrttr)(sin)()()(0tyvtyerrrtsincos000P(t)tddPdS)(t（1）突加荷载突

39、加荷载P0)sin(cos1 )(20ttemPtyrrrt低阻尼低阻尼y- t曲线曲线无阻尼无阻尼y- t曲线曲线ysty(t)t02345y(t)t02345静力平衡位置具有阻尼的体系在具有阻尼的体系在突加荷载作用下，突加荷载作用下，最初所引起的最大最初所引起的最大位移接近于静位移位移接近于静位移yst=P0/m2的两倍，的两倍，然后逐渐衰减，最然后逐渐衰减，最后停留在静力平衡后停留在静力平衡位置。位置。（2）简谐荷载简谐荷载P(t)=Fsint22sinFyyytm& &设特解为：设特解为：y=Asin t +Bcos t 代入得代入得：222222222222224)(2,4)(mFB

40、mFA12cossinsincostrryeCtCtAtBt齐次解加特解得到通解：齐次解加特解得到通解：自由振动，因阻尼作用，自由振动，因阻尼作用，逐渐衰减、消失。逐渐衰减、消失。纯强迫振动，平稳振动，纯强迫振动，平稳振动，振幅和周期不随时间而变化。振幅和周期不随时间而变化。结论结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯 强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。y=Asin t +Bcos t =yPsin(t )2122222222)(1)(2,4121tgyBAystP振幅振幅：yp，

41、最大静力位移最大静力位移：yst=F/k=F/m2stPyy2122222241stPyy2122222241动力系数动力系数与频率比与频率比/和阻尼比和阻尼比有关有关4.03.02.01.001.02.03.0/=0=0.1=0.2=0.3=0.5=1.0几点注意：几点注意：随随增大增大曲线渐趋平缓，曲线渐趋平缓， 特别是在特别是在/=1附近附近的的 峰值下降的最为显著峰值下降的最为显著。 21 共振时共振时当当接近接近 时，时， 增加很快，增加很快， 对对的数值影响也很大的数值影响也很大。在在0.75 / 1.25( (共振区共振区) )内，阻尼大大减小了内，阻尼大大减小了受迫振动的位移，

42、受迫振动的位移，因此因此, , 为了研究共为了研究共振时的动力反映振时的动力反映, , 阻尼的影响是不容阻尼的影响是不容忽略。忽略。在共振区之外阻尼对在共振区之外阻尼对的影响的影响较小，可按无阻尼计算。较小，可按无阻尼计算。maxmax并不发生在共振并不发生在共振/= =1 1时，而发生在，时，而发生在， 由由y=yPsin(t ) 可见，阻尼体系的可见，阻尼体系的位移比荷载位移比荷载P=Fsin t 滞后一个相位角滞后一个相位角 ， 21,11max峰21)(1)(2tg但因但因很小，可近似地认为：很小，可近似地认为：221当当时时,180体系振动得很快，体系振动得很快，FI很大，很大，S、

43、R相对说来较小，动荷相对说来较小，动荷主要由主要由FI 平衡，平衡， FI 与与y同向，同向，y与与P反向；反向；弹性力弹性力S，惯性力惯性力FI， 阻尼力阻尼力R分别为：分别为：2sin,sin,sin,cosppIppyytSkykytFmymytRcyc yt & &tsin21tFsinm22当当=时时,90由此可见：共振时（由此可见：共振时（=），），S与与FI刚好互相平衡，刚好互相平衡，yst21)(1)(2tg有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现内有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现内力为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在

44、阻尼力与动荷载力为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力与动荷载平衡，才出现位移为无限大的现象。平衡，才出现位移为无限大的现象。k=m2=m22mF)90sin(0tkySP)90sin(02tymFPI)90cos(0tycycRPtymPsin22sin,sin,sin,cosppIppyytSkykytFmymytRcyc yt & &2-5 2-5 单自由度体系的地震作用单自由度体系的地震作用根据达伦贝尔原理，单自由度弹性体系运动方程为根据达伦贝尔原理，单自由度弹性体系运动方程为体系上无干扰力，仅有地震引起的水平地面运动时体系上无干扰力，仅有地震引起的水平地面运动时即即令令

45、2/k m22ccmkm有有 mx tcx tkx tP t& & 0gm xtx tcx tkx t& & & -gmx tcx tkx tmxt& & & 22-gx tx tx txt& & &常系数二阶非齐次方程，其解包括两部分：一部分是与方程相常系数二阶非齐次方程，其解包括两部分：一部分是与方程相对应的齐次方程的通解；另一部分是方程的特解。前者代表体对应的齐次方程的通解；另一部分是方程的特解。前者代表体系的自由振动，后者代表体系在地震作用下的强迫振动。系的自由振动，后者代表体系在地震作用下的强迫振动。（1 1）齐次方程的通解）齐次方程的通解 000 cossintxxx textt&

46、（2 2）地震作用下运动方程的特解（杜哈梅积分）地震作用下运动方程的特解（杜哈梅积分） ()01( )sin()ttgx txt etd & & 22-gx tx tx txt& & &单自由度弹性体系在地震作用下相对于地面的速度反应为（初单自由度弹性体系在地震作用下相对于地面的速度反应为（初速度和初位移均为速度和初位移均为0 0）单自由度体系的绝对加速度单自由度体系的绝对加速度 ()0()0( )cos()sin()ttgttgx txt etdxt etd & & & ()022()02()0( )( )2cos()2sin()sin()ttggttgttgx tx txt etdxt etdxt