数字滤波器设计实验指导

1、实验二 IIR数字滤波器的设计一、实验目的1. 掌握双线性变换法及脉冲相应不变法设计IIR数字滤波器的具体设计方法及其原理，熟悉用双线性变换法及脉冲响应不变法设计低通、高通和带通IIR数字滤波器的计算机编程。 2. 观察双线性变换及脉冲响应不变法设计的滤波器的频域特性，了解双线性变换法及脉冲响应不变法的特点。 3. 熟悉Butterworth滤波器和Chebyshev滤波器的频率特性。 二、实验原理与方法 (1) 脉冲响应不变法 用数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t),让h(n)正好等于ha(t)的采样值，即h(n)= ha(nT)其中T为采样间隔，如果以Ha

2、(S)及H(z)分别表示ha(t)的拉式变换及h(n)的Z变换，则 (2) 双线性变换法 S平面与z平面之间满足以下映射关系：s平面的虚轴单值地映射于z平面的单位圆上，s平面的左半平面完全映射到z平面的单位圆内。双线性变换不存在混叠问题。 双线性变换时一种非线性变换 ，这种非线性引起的幅频特性畸变可通过预畸而得到校正。 IIR低通、高通、带通数字滤波器设计采用双线性原型变换公式：变换类型 变换关系式 备 注 低通 高通 带通 ：带通的上下边带临界频率 以低通数字滤波器为例，将设计步骤归纳如下：1. 确定数字滤波器的性能指标：通带临界频率fp、阻带临界频率fr；通带内的最大衰减Ap；阻带内的最小

3、衰减Ar；采样周期T； 2. 确定相应的数字角频率，p=2fpT；r=2frT； 3. 计算经过预畸的相应模拟低通原型的频率， ； 4. 根据p和r计算模拟低通原型滤波器的阶数N，并求得低通原型的传递函数Ha(s)； 5. 用上面的双线性变换公式代入Ha(s)，求出所设计的传递函数H(z)； 6. 分析滤波器特性，检查其指标是否满足要求。 三、实验内容及步骤 (1)、fp=0.3KHz,Ap=0.8dB, fr=0.2KHz,Ar=20dB,T=1ms；设计一Chebyshev高通滤波器；观察其通带损耗和阻带衰减是否满足要求。 (2)、fp=0.2KHz,Ap=1dB, fr=0.3KHz,A

4、r=25dB,T=1ms；分别用脉冲响应不变法及双线性变换法设计一Butterworth数字低通滤波器，观察所设计数字滤波器的幅频特性曲线，记录带宽和衰减量，检查是否满足要求。比较这两种方法的优缺点。(3)、利用双线性变换法分别设计满足下列指标的Butterworth型和Chebyshev型数字低通滤波器，并作图验证设计结果。fp=1.2kHz, Ap0.5dB, fr=2KHz, Ar40dB, fs=8KHz (4)、利用双线性变换法设计一Butterworth型数字带通滤波器，已知fs=30KHz，其等效的模拟滤波器指标为Ap3dB, 2KHzf3KHz, Ar5dB, f6KHz, A

5、r20dB, f1.5KHz 四、实验思考1. 双线性变换法中和之间的关系是非线性的，在实验中你注意到这种非线性关系了吗？从那几种数字滤波器的幅频特性曲线中可以观察到这种非线性关系？ 2. 能否利用公式 完成脉冲响应不变法的数字滤波器设计？为什么？ 实验三、FIR数字滤波器的设计一、实验目的1. 掌握用窗函数法，频率采样法及优化设计法设计FIR滤波器的原理及方法，熟悉响应的计算机编程； 2. 熟悉线性相位FIR滤波器的幅频特性和相频特性； 3. 了解各种不同窗函数对滤波器性能的影响。 二、实验原理与方法 线性相位实系数FIR滤波器按其N值奇偶和h(n)的奇偶对称性分为四种： 1、h(n)为偶对

6、称，N为奇数H(ej)的幅值关于=0，2成偶对称。 2、h(n)为偶对称，N为偶数H(ej)的幅值关于=成奇对称，不适合作高通。 3、h(n)为奇对称，N为奇数H(ej)的幅值关于=0，2成奇对称，不适合作高通和低通。 4、h(n)为奇对称，N为偶数H(ej) =0、20，不适合作低通。(一) 窗口法 窗函数法设计线性相位FIR滤波器步骤 确定数字滤波器的性能要求：临界频率k，滤波器单位脉冲响应长度N； 根据性能要求，合理选择单位脉冲响应h(n)的奇偶对称性，从而确定理想频率响应Hd(ej)的幅频特性和相频特性； 求理想单位脉冲响应hd(n)，在实际计算中，可对Hd(ej)按M(M远大于N)点

7、等距离采样，并对其求IDFT得hM(n)，用hM(n)代替hd(n)； 选择适当的窗函数w(n)，根据h(n)= hd(n)w(n)求所需设计的FIR滤波器单位脉冲响应； 求H(ej)，分析其幅频特性，若不满足要求，可适当改变窗函数形式或长度N，重复上述设计过程，以得到满意的结果。 窗函数的傅式变换W(ej)的主瓣决定了H(ej)过渡带宽。W(ej)的旁瓣大小和多少决定了H(ej)在通带和阻带范围内波动幅度，常用的几种窗函数有： 矩形窗 w(n)=RN(n)； Hanning窗 ； Hamming窗 ； Blackmen窗 ； Kaiser窗 。 式中Io(x)为零阶贝塞尔函数。（二）频率采样

8、法 频率采样法是从频域出发，将给定的理想频率响应Hd(ej)加以等间隔采样然后以此Hd(k)作为实际FIR数字滤波器的频率特性的采样值H(k),即令由H(k)通过IDFT可得有限长序列h(n)将上式代入到Z变换中去可得其中()是内插函数（三）FIR滤波器的优化设计 FIR滤波器的优化设计是按照最大误差最小化准则，使所设计的频响与理想频响之间的最大误差，在通带和阻带范围均为最小，而且是等波动逼近的。 为了简化起见，在优化设计中一般将线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)的对称中心置于n=0处，此时，线性相位因子=0。当N为奇数，且N=2M+1，则如希望逼近一个低通滤波器，这里M，p和s固定为

9、某个值。在这种情况下有定义一逼近误差函数：E()为在希望的滤波器通带和阻带内算出的误差值，W()为加权函数。k应当等于比值1/2，1为通带波动，2为阻带波动。在这种情况下，设计过程要求|E()|在区间 的最大值为最小，它等效于求最小2。根据数学上多项式逼近连续函数的理论，用三角多项式逼近连续函数，在一定条件下存在最佳逼近的三角多项式，而且可以证明这个多项式是唯一的。这一最佳逼近定理通常称作交替定理。 在逼近过程中，可以固定k，M，p，s而允许改变2，按照交替定理，首先估计出(M+2)个误差函数的极值频率点i，i=0,1,.,M+1，共计可以写出(M+2)个方程式中表示峰值误差。一般仅需求解出，

10、接着便可用三角多项式找到一组新的极值频率点，并求出新的峰值误差。依此反复进行，直到前、后两次值不变化为止，最小的即为所求的2。 这一算法通常称作雷米兹(Remez)交替算法。三、实验内容及步骤 (1)N=15, 。用Hanning窗设计一线性相位带通滤波器，观察它的实际3dB和20dB带宽。N=45，重复这一设计，观察幅频和相位特性的变化，注意长度N变化的影响； (2)分别改用矩形窗和Blackman窗，设计(1)中的带通滤波器，观察并记录窗函数对滤波器幅频特性的影响，比较三种窗的特点； (3)用Kaiser窗设计一专用线性相位滤波器，N=40， 如图，当0=4，6，10时，分别设计，比较它们

11、的幅频和相频特性，注意0取不同值时的影响； (4)用频率采样法设计(3)中的滤波器，过渡带分别设一个过渡点，令H(k)=0.5。比较两种不同方法的结果； (5)用雷米兹(Remez)交替算法设计(3)中的滤波器，并比较(3)、(4)、(5)三种方法的结果。四、实验思考1. 定性地说明用本实验程序设计的FIR滤波器的3dB截止频率在什么位置？它等于理想频率响应Hd(ej)的截止频率吗？ 2. 如果没有给定h(n)的长度N，而是给定了通带边缘截止频率c和阻带临界频率p，以及相应的衰减，你能根据这些条件用窗函数法设计线性相位FIR低通滤波器吗？实验四、用MATLAB信号处理工具箱进行滤波器设计训练

12、针对一个含有5Hz、15Hz和30Hz的混和正弦波信号，设计一个FIR带通滤波器并对其进行滤波。利用MATLAB实现的三种方法：程序设计法、 FDATool设计法和SPTool设计法。参数要求：采样频率fs=100Hz，通带下限截止频率fc1=10 Hz，通带上限截止频率fc2=20 Hz，过渡带宽6 Hz，通阻带波动0.01，采用凯塞窗设计。方法1 ：程序设计法，即利用MATLAB信号处理工具箱提供的各种窗函数、滤波器设计函数和滤波器实现函数来实现，要用到的函数包括：kaiserord，kaiser，fir1，freqz，filter等。方法2：利用FDATool设计法，FDATool(Filter Design & Analysis Tool)是MATLAB信号处理工具箱专用的滤波器设计分析工具，操作简单、灵活，可以采用多种方法设计FIR和IIR滤波器。在MATLAB命令窗口输入F