理论物理第三章空间力系

1、第三章第三章 空间力系空间力系3-1空间汇交力系空间汇交力系3-2力对点之矩和力对轴之矩力对点之矩和力对轴之矩3-3空间力偶空间力偶3-4空间任意力系向一点简化：主矢主矩空间任意力系向一点简化：主矢主矩3-5空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程3-6重心重心3-1空间汇交力系空间汇交力系一、力在直角坐标轴上的投影一、力在直角坐标轴上的投影第三章第三章 空间力系空间力系coscoscosffffffzyxfxyz cossinsincoscoscosfffffffzyxfxyz 第三章第三章 空间力系空间力系3-1空间汇交力系空间汇交力系一、力在直角坐标轴上的投影一、力在直角坐标轴上的投

2、影ffffffzyxcoscoscos222zyxffff在边长为在边长为 a 的正方形的正方形顶角顶角 a和和 b处，分别作用有处，分别作用有力力f1和和f2，如图所示。，如图所示。此二力在此二力在 x, y, z 轴上的轴上的投影。投影。第三章第三章 空间力系空间力系3-1空间汇交力系空间汇交力系= 33f1f1z = f1=33f1f2x = f2=22 f2f1y = （f1) f2y =0f2z = f2=22 f2解：解：由图可知由图可知：ao=bd =2ac=3 f1x = （f1）= 31f1= 33f1第三章第三章 空间力系空间力系3-1空间汇交力系空间汇交力系二、空间汇交力

3、系的合力与平衡条件二、空间汇交力系的合力与平衡条件第三章第三章 空间力系空间力系3-1空间汇交力系空间汇交力系共点力系可以通过力多边形法共点力系可以通过力多边形法合成为一个合力合成为一个合力。推知：推知： 若若汇交力系汇交力系的的，0irff000iziyixfffo300300400yabcd200200pxzsasbsca、b、c为光滑球为光滑球铰，铰，o为中间铰链连接。为中间铰链连接。ado与与abc皆为铅垂平皆为铅垂平面，且相互垂直。图中长面，且相互垂直。图中长度单位为度单位为mm,bo=co,物物重重p=5kn, 各杆重不计各杆重不计三杆所受的力三杆所受的力销钉销钉o受力如图受力如图

4、坐标如图坐标如图第三章第三章 空间力系空间力系3-1空间汇交力系空间汇交力系o300300400yabcd200200pxzsasbsc销钉销钉o受力如图受力如图坐标如图坐标如图-(sb+sc) sin(sb+sc) sin sin45+sacos-p=0cos45+sasin=0sbcos- sccos=0sa =3.571(kn) (压力）sb =sc =1.675(kn) （拉力）第三章第三章 空间力系空间力系3-1空间汇交力系空间汇交力系fiy=0:fiz=0:fix=0:3-2力对点之矩和力对轴之矩力对点之矩和力对轴之矩一、力对点之矩的矢量表示一、力对点之矩的矢量表示第三章第三章 空

5、间力系空间力系 mo（f）=fh2oab= 在平面问题中，力矩是代在平面问题中，力矩是代数量，逆时为正，顺时为负。数量，逆时为正，顺时为负。 在空间问题中，力在空间问题中，力矩是矢量，用矩是矢量，用右手螺右手螺旋法旋法确定确定=2oab一、力对点之矩的矢量表示一、力对点之矩的矢量表示第三章第三章 空间力系空间力系3-2力对点之矩和力对轴之矩力对点之矩和力对轴之矩sin)(frfhfmofhfrzyxfffzyxkji力矩是力矩是定位矢量定位矢量 力对点之矩的的单位是（力对点之矩的的单位是（nm）第三章第三章 空间力系空间力系3-2力对点之矩和力对轴之矩力对点之矩和力对轴之矩一、力对点之矩的矢量

6、表示一、力对点之矩的矢量表示=2oabsin)(frfhfmofrfrfmo)(kyfxfjxfzfizfyfxyzxyz)()()(二、力对轴之矩二、力对轴之矩 mz（f）=mo（fxy）其符号用其符号用法确定法确定fxyh=第三章第三章 空间力系空间力系3-2力对点之矩和力对轴之矩力对点之矩和力对轴之矩 mz（f）=mo（fxy）=fh（2）当力与轴平行）当力与轴平行 （fxy =0）二、力对轴之矩二、力对轴之矩（1）当力与轴相交时（）当力与轴相交时（h=0）(力与轴共面力与轴共面)第三章第三章 空间力系空间力系3-2力对点之矩和力对轴之矩力对点之矩和力对轴之矩利用合力矩定理利用合力矩定理

7、 xyzzxyyzxyfxffmxfzffmzfyffm第三章第三章 空间力系空间力系3-2力对点之矩和力对轴之矩力对点之矩和力对轴之矩三、力对点之矩与力对轴之矩的关系三、力对点之矩与力对轴之矩的关系zyxfffzyxkjifrfmo)(kyfxfjxfzfizfyfxyzxyz)()()(力对点之矩力对点之矩力对轴之矩力对轴之矩 三、力对点之矩与力对轴之矩的关系三、力对点之矩与力对轴之矩的关系第三章第三章 空间力系空间力系3-2力对点之矩和力对轴之矩力对点之矩和力对轴之矩kyfxfjxfzfizfyfxyzxyz)()()()(fmo xyzzxyyzxyfxffmxfzffmzfyffm(

8、1)先求合力对点之矩先求合力对点之矩在各个轴上的投影在各个轴上的投影 izziyyixxfmrmfmrmfmrm(2)再求合力再求合力对点之矩的模对点之矩的模 rmrmrmrmzyxo222(3)最后求合力对点最后求合力对点之矩的方向，分别用之矩的方向，分别用它们的方向余弦表示它们的方向余弦表示 rmrmrmrmrmrmozoyoxcoscoscos四、力对点之矩及合力对一点之矩的计算方法四、力对点之矩及合力对一点之矩的计算方法第三章第三章 空间力系空间力系3-2力对点之矩和力对轴之矩力对点之矩和力对轴之矩求例求例4-1中二力对各轴之矩。中二力对各轴之矩。解解： 1111 11133 01 2

9、222 02 222221133330022222200第三章第三章 空间力系空间力系3-2力对点之矩和力对轴之矩力对点之矩和力对轴之矩一、力偶矩矢一、力偶矩矢第三章第三章 空间力系空间力系3-3空间空间力偶力偶 在空间在空间力偶矩是矢量，力偶矩是矢量，满足满足法则。法则。力偶对任一点力偶对任一点o的矩为的矩为frfrrfrfrfrfrfmfmmbabababaoo)()()()()(fdm 上述结果再次说明上述结果再次说明:一、力偶矩矢一、力偶矩矢第三章第三章 空间力系空间力系3-3空间空间力偶力偶frmbafdm 只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用面内只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用

10、面内任意移动，其对刚体的作用效果不变。任意移动，其对刚体的作用效果不变。ff ff ff 二、空间力偶等效定理二、空间力偶等效定理第三章第三章 空间力系空间力系3-3空间空间力偶力偶保持力偶矩矢量不变，分别改变力和保持力偶矩矢量不变，分别改变力和 力偶臂大小，其作用效果不变。力偶臂大小，其作用效果不变。ff f / 2f / 2第三章第三章 空间力系空间力系3-3空间空间力偶力偶二、空间力偶等效定理二、空间力偶等效定理只要保持力偶矩矢量大小和方向不变只要保持力偶矩矢量大小和方向不变, ,力偶可在与力偶可在与其作用面平行的平面内移动。其作用面平行的平面内移动。 m=fdk第三章第三章 空间力系空

11、间力系3-3空间空间力偶力偶二、空间力偶等效定理二、空间力偶等效定理m=fdkff f / 2f / 2ff 第三章第三章 空间力系空间力系3-3空间空间力偶力偶二、空间力偶等效定理二、空间力偶等效定理 可有：可有：m1=f1ab， 已知：二平面上已知：二平面上 m1， m2此二力组成力偶此二力组成力偶 m根据力偶性质根据力偶性质于是于是 :m2= f2ab第三章第三章 空间力系空间力系3-3空间空间力偶力偶二、空间力偶系的合成与平衡条件二、空间力偶系的合成与平衡条件)()()()(),()(222111rmrmmfmfmmfmfmmoooooorr由合力矩定理由合力矩定理对比可得对比可得空间

12、任意个力偶时空间任意个力偶时二、空间力偶系的合成与平衡条件二、空间力偶系的合成与平衡条件第三章第三章 空间力系空间力系3-3空间空间力偶力偶0imm)()()()()()(222111rmrmmfmfmmfmfmmoooooo)()()(),()()(2121fmfmrmfmfmrmoooooo212121)()()()(mmfmfmfmfmmoooo 力偶系可以简化为一个合力偶，合力偶力偶系可以简化为一个合力偶，合力偶的力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。的力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。二、空间力偶系的合成与平衡条件二、空间力偶系的合成与平衡条件第三章第三章 空间力系空间力系3-3空间空间

13、力偶力偶imm力偶系合成的解析计算：力偶系合成的解析计算：(1)先求合力偶矩矢的三个投影先求合力偶矩矢的三个投影izziyyixxmmmmmm222zyxmmmmmmmmmmzyxcoscoscos(2)再求其模再求其模(3)最后定方向最后定方向二、空间力偶系的合成与平衡条件二、空间力偶系的合成与平衡条件第三章第三章 空间力系空间力系3-3空间空间力偶力偶 一个工件的四个面上一个工件的四个面上受有力偶作用，以达到钻孔受有力偶作用，以达到钻孔之目的，斜面倾角之目的，斜面倾角 =30 ，各力偶矩矢如图所示，它们各力偶矩矢如图所示，它们的大小相同，皆为的大小相同，皆为80nm。合力偶的大小、方向及合

14、力偶的大小、方向及在各轴上的投影。在各轴上的投影。二、空间力偶系的合成与平衡条件二、空间力偶系的合成与平衡条件第三章第三章 空间力系空间力系3-3空间空间力偶力偶解：解：则有则有各力偶矩矢如图各力偶矩矢如图:nm1208023m60cosmmm32ixn1ixnmmmmiyniy8041nmmmmmizniz2814960121.sin合力偶的三个投影合力偶的三个投影:第三章第三章 空间力系空间力系3-3空间空间力偶力偶4321mmmmm解：解：nmmmmmzyx57.207222719. 0cos385. 0cos578. 0cosmmmmmmzyxnmmx120nmmy80nmmmizni

15、z281491.合力偶的三个投影合力偶的三个投影:合力偶的方向合力偶的方向:合力偶的大小合力偶的大小:第三章第三章 空间力系空间力系3-3空间空间力偶力偶0imm000111izniziyniyixnixmmmmmm则：合力偶的三个投影则：合力偶的三个投影力偶力系，独立的平衡方程为力偶力系，独立的平衡方程为 个个第三章第三章 空间力系空间力系3-3空间空间力偶力偶力偶系的平衡条件力偶系的平衡条件长方体边长为长方体边长为a、b，不计重，由两个不计，不计重，由两个不计重的直杆悬挂。其上作重的直杆悬挂。其上作用有两个力偶用有两个力偶, m1(q,q ), m 2(p,p )长方体平衡时，长方体平衡时

16、，q与与p之比之比qq aa/2a/2bpp b第三章第三章 空间力系空间力系3-3空间空间力偶力偶解：研究对象：解：研究对象：长方体长方体 受力及坐标如图受力及坐标如图:平衡方程平衡方程qq aa/2a/2bpp bxyzssm1m2m0mix0miy0mcosm20msinm1paqbmmtg211pqabtg 又第三章第三章 空间力系空间力系3-3空间空间力偶力偶f1 m1f2 m2f3 m3)(ioioiirfmmmfff第三章第三章 空间力系空间力系3-43-4空间任意力系向一点简化空间任意力系向一点简化主矢和主矩主矢和主矩一、一、空间任意力系向一点简化空间任意力系向一点简化0m,0

17、f.1or)f(mmmioo 原力系与一个力偶等效，即原力系简化一原力系与一个力偶等效，即原力系简化一个个合力偶合力偶 m m , ,此情况下，此情况下， 简化结果不再与简化中心位置相关。简化结果不再与简化中心位置相关。第三章第三章 空间力系空间力系3-43-4空间任意力系向一点简化空间任意力系向一点简化二、空间任意力系简化结果的分析 原力系与一个力等效，即原力系简化原力系与一个力等效，即原力系简化为一个为一个合力合力f fr r ，此情况下，此情况下 ，其作用线其作用线过过简化中心简化中心o。irrfff0m,0f.2or第三章第三章 空间力系空间力系3-43-4空间任意力系向一点简化空间任

18、意力系向一点简化二、空间任意力系简化结果的分析orormf0m,0f.3且riorof)f(mfmd 可进一步合成为一个可进一步合成为一个合力合力f fr r。此情况下。此情况下 ，其作用线过简化中心以，其作用线过简化中心以外另一点外另一点 o ， o 点与点与o点间距离为点间距离为irrfff第三章第三章 空间力系空间力系3-43-4空间任意力系向一点简化空间任意力系向一点简化二、空间任意力系简化结果的分析 合力对任意一点的矩等于各个分力对该点合力对任意一点的矩等于各个分力对该点矩之矢量和。矩之矢量和。om)(rofm)(ifomorormf0m,0f.3且第三章第三章 空间力系空间力系3-

19、43-4空间任意力系向一点简化空间任意力系向一点简化二、空间任意力系简化结果的分析时，且ororm/f,0m,0f.4 与与 不能进一步合成，这已是一个最简不能进一步合成，这已是一个最简 力系，称为力系，称为力螺旋力螺旋。力螺旋中力的作用线称为。力螺旋中力的作用线称为力螺旋的力螺旋的中心轴中心轴。当。当 与与 指向相同时，为指向相同时，为右螺旋右螺旋；当与指向不同时，为；当与指向不同时，为左螺旋左螺旋。rfomrfom第三章第三章 空间力系空间力系3-43-4空间任意力系向一点简化空间任意力系向一点简化二、空间任意力系简化结果的分析由由3知，知， 与与 可进一步合成为一个力可进一步合成为一个力

20、 ,其作其作用线过简化中心以外另一点用线过简化中心以外另一点 ， 点与点与o点间点间距离为距离为 此时此时 与与 组成了组成了一力一力螺旋，螺旋，其中心轴过其中心轴过 点点 。角，成与且orormf,0m,0f.5 omrforofmdoomorfrf第三章第三章 空间力系空间力系3-43-4空间任意力系向一点简化空间任意力系向一点简化二、空间任意力系简化结果的分析原力系平衡。,0m,0f.6or 一个一个空间任意力系空间任意力系简化的最后结果简化的最后结果可能有四种情况：可能有四种情况：1）一个合力）一个合力 2）一个合力偶）一个合力偶3）一个力螺旋）一个力螺旋 4）平衡）平衡第三章第三章

21、空间力系空间力系3-43-4空间任意力系向一点简化空间任意力系向一点简化二、空间任意力系简化结果的分析0)(0iooirfmmff0)(0)(0)(000iziyixiziyixfmfmfmfff上述上述表达了空间任意力系的平衡条表达了空间任意力系的平衡条件，叫做件，叫做。六个方程可以求解。六个方程可以求解。第三章第三章 空间力系空间力系3-5空间空间任意力系的平衡方程任意力系的平衡方程，若各，若各力作用线平行于力作用线平行于z轴，轴，则独立的平衡方程只则独立的平衡方程只有有3个个0)(0)(0iyixizfmfmf0)(00iziyixfmff第三章第三章 空间力系空间力系3-5空间空间任意

22、力系的平衡方程任意力系的平衡方程平面里：平面里：fayfaxfayfazmaxmaymazma关于固定端约束问题关于固定端约束问题空间里：空间里：faz第三章第三章 空间力系空间力系3-5空间空间任意力系的平衡方程任意力系的平衡方程 能产生约束力偶的约束能产生约束力偶的约束 活页铰活页铰( (蝶形铰链蝶形铰链) )第三章第三章 空间力系空间力系3-5空间空间任意力系的平衡方程任意力系的平衡方程 能产生约束力偶的约束能产生约束力偶的约束 滑动轴承滑动轴承第三章第三章 空间力系空间力系3-5空间空间任意力系的平衡方程任意力系的平衡方程 能产生约束力偶的约束能产生约束力偶的约束 止推轴承止推轴承第三

23、章第三章 空间力系空间力系3-5空间空间任意力系的平衡方程任意力系的平衡方程 能产生约束力偶的约束能产生约束力偶的约束 夹持铰支座夹持铰支座第三章第三章 空间力系空间力系3-5空间空间任意力系的平衡方程任意力系的平衡方程 能产生约束力偶的约束能产生约束力偶的约束 三维固定端三维固定端第三章第三章 空间力系空间力系3-5空间空间任意力系的平衡方程任意力系的平衡方程：涡轮发动机叶片轴向力涡轮发动机叶片轴向力f=2kn，力偶矩，力偶矩 m=1kn.m, 斜齿的压力角斜齿的压力角 =20。,螺旋角螺旋角 =10。,齿轮节圆半径齿轮节圆半径 r=10cm。不计发动。不计发动 机自重。机自重。 o1o2=

24、l1=50cm, o2a=l2=10cm. fn, o1,o2处处的约束力。的约束力。例例3-6解解：分解nfcoscosfffnnysincosfffnanzsinfffnrnx2、受力及坐标系如图：、受力及坐标系如图：例例3-61、研究对象、研究对象:涡轮轴系统涡轮轴系统第三章第三章 空间力系空间力系3-5空间空间任意力系的平衡方程任意力系的平衡方程0ixf3、列平衡方程、列平衡方程0iyf0izf0fffrx2x10fffy2y10fffaz1解：解：例例3-6第三章第三章 空间力系空间力系3-5空间空间任意力系的平衡方程任意力系的平衡方程0)f(mx 0)f(my 0)f(mz1y2l

25、f0omrf)ll(f213、列平衡方程、列平衡方程解：解：0)ll(frflf21ra1x20例例3-6第三章第三章 空间力系空间力系3-5空间空间任意力系的平衡方程任意力系的平衡方程解上述方程，可得解上述方程，可得knfknfknfknfknfknfknfknfknfzyxyxran2702390120646737318101011122.解：解：例例3-6第三章第三章 空间力系空间力系3-5空间空间任意力系的平衡方程任意力系的平衡方程已知：已知：均质薄方板由六根杆支撑于水平位均质薄方板由六根杆支撑于水平位置。板重置。板重p，在，在a处作用水平力处作用水平力f，且，且f=2p，不计杆重。不

26、计杆重。解：解：求求: 各杆的内力各杆的内力研究对象：板研究对象：板受力及坐标如图受力及坐标如图例例3-7第三章第三章 空间力系空间力系3-5空间空间任意力系的平衡方程任意力系的平衡方程研究对象：板研究对象：板受力及坐标如图受力及坐标如图0mab压）(2pf0af2ap660mae0mac0f50f4解：解：例例3-7第三章第三章 空间力系空间力系3-5空间空间任意力系的平衡方程任意力系的平衡方程研究对象：板研究对象：板受力及坐标如图受力及坐标如图0mef0ababfaf2ap2216解：解：0f10iyf压）(fbbaf223例例3-7第三章第三章 空间力系空间力系3-5空间空间任意力系的平

27、衡方程任意力系的平衡方程0mfgp5.1f2研究对象：板研究对象：板受力及坐标如图受力及坐标如图解：解：可以列出无数个方程，但可以列出无数个方程，但 独立方程个数不变，独立方程个数不变， 可求未知数个数不变。可求未知数个数不变。例例3-7第三章第三章 空间力系空间力系3-5空间空间任意力系的平衡方程任意力系的平衡方程工程中的重心问题：工程中的重心问题：重心重心：物体重力的作用点：物体重力的作用点各微块重力之合力，即平各微块重力之合力，即平行力系之合力，该合力之行力系之合力，该合力之作用点，即作用点，即 平行力系之中心平行力系之中心钢水包，塔式起重机，传动轴钢水包，塔式起重机，传动轴第三章第三章

28、 空间力系空间力系3-6 重心重心一、平行力系中心与物体重心的坐标公式一、平行力系中心与物体重心的坐标公式f1frf2r1r2rcxyz根据合力矩定理：根据合力矩定理：xc=（ pi xi ）/ piyc=（pi yi ）/ pizc=（pi zi ）/ pi平行力系之中心平行力系之中心位置位置重心坐标式重心坐标式第三章第三章 空间力系空间力系3-6 重心重心一、平行力系中心与物体重心的坐标公式一、平行力系中心与物体重心的坐标公式xc=（ pi xi ）/ piyc=（pi yi ）/ pizc=（pi zi ）/ pi重心坐标式重心坐标式物体微块物体微块 pi = i vi，无限细分，则有：

29、无限细分，则有：vvn1iiinn1iiiincdvdvxvlimvxlimxvvcdvdvyyvvcdvdvzz重心坐标重心坐标积分式积分式vvcvvcvvcdvdvzzdvdvyydvdvxx若均质，若均质， =常量，常量，则则:vvzdvzdvzvvydvydvyvvxdvxdvxiivvciivvciivvc（体积重心）（体积形心）（体积重心）（体积形心）重重心心坐坐标标积积分分式式若均质，若均质，且薄壳板，且薄壳板， dv=hda , h 常量常量（面积重心）（面积重心）（面积形心）（面积形心）可不在曲面上可不在曲面上体积重心，体积形心体积重心，体积形心vvzzvvyyvvxxiiciiciicaazzaayyaaxxiiciiciic体积重心，体积形心体积重心，体积形心