信号与系统第3章傅里叶变换

1、第第三三章章 傅里叶变换傅里叶变换3.1 引引言言3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析3.3 典型周期信号的傅里叶级数典型周期信号的傅里叶级数3.4 傅里叶变换傅里叶变换3.5 典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换3.7 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质3.8 卷积特性（卷积定理）卷积特性（卷积定理）3.9 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换3.10 抽样信号的傅里叶变换抽样信号的傅里叶变换3.11 抽样定理抽样定理傅里叶生平傅里叶生平n1768年生于法国年生于法国n1807年

2、提出年提出“任何周期信号任何周期信号都可用正弦函数级数表示都可用正弦函数级数表示”n1829年狄里赫利第一个给出年狄里赫利第一个给出收敛条件收敛条件n拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表n1822年首次发表年首次发表“热的分析热的分析理论理论”中中傅里叶的两个最主要的贡献傅里叶的两个最主要的贡献n“周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权”傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点n“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶傅里叶的第二个主要论点的第二个主要论点频域分析频域分析从本章开始由时域转入变换域分

3、析，首先讨论傅里叶变换。从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导

4、出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。概念。 3.1 引言引言发展历史发展历史1822年，法国数学家傅里叶年，法国数学家傅里叶(j.fourier,1768-1830)在研究热传导在研究热传导理论时发表了理论时发表了“热的分析理论热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。泊松泊松(poisson)、高斯、高斯(guass)等人把这一成果应用到电学中去，等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。得到广泛应

5、用。19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。进入进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。阔的前景。在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。法具有很多的优点。“fft”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。 主要内容主要内容本章从傅里叶

6、级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。换，建立信号频谱的概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。叶分析方法的应用。对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。特殊表达形式。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。本章最后研究抽样

7、信号的傅里叶变换，引入抽样定理。*本章要点本章要点 1.利用傅立叶级数的定义式分析周期信号的离散谱。利用傅立叶级数的定义式分析周期信号的离散谱。2.利用傅立叶积分分析非周期信号的连续谱。利用傅立叶积分分析非周期信号的连续谱。3.理解信号的时域与频域间的关系。理解信号的时域与频域间的关系。4.用傅立叶变换的性质进行正逆变换。用傅立叶变换的性质进行正逆变换。5.掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义 1.从信号分析的角度从信号分析的角度将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之将

8、信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。间进行比较提供了途径。 2.从系统分析角度从系统分析角度已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应而且每个正弦分量通不同频率正弦信号同时激励下的总响应而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。过系统后，是衰减还是增强一目了然。 3.2 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数两种傅里叶级数的关系两种傅里叶级数的关系 频谱图

9、频谱图函数的对称性与傅里叶级数的关系函数的对称性与傅里叶级数的关系周期信号的功率周期信号的功率一三角函数形式的傅里叶级数一三角函数形式的傅里叶级数1.正交三角函数集正交三角函数集三角函数系三角函数系 在区间在区间-,上上正交正交，是指在三角函数系中任何不同的两个函，是指在三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间的积分等于零，即数的乘积在区间的积分等于零，即,.sin,cos,.,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx算算定定积积分分来来验验证证。以以上上等等式式都都可可以以通通过过计计),.,3 , 2 , 1,(0sinsin),.,3 , 2 , 1,(0coscos,

10、.)3 , 2 , 1,(0cossin,.)3 , 2 , 1(0sin,.)3 , 2 , 1(0cosnknknxdxkxnknknxdxkxnknxdxkxnnxdxnnxdx),.,3 , 2 , 1,(0)sin()sin(21)cos()cos(21coscos)cos()cos(21coscosnknknkxnknkxnkdxxnkxnknxdxkxnkxnkxnknxkx时时，有有当当的的公公式式利利用用三三角角学学中中积积化化和和差差证证明明： 1112 , , tttf基波角频率为基波角频率为周期为周期为周期信号周期信号在满足在满足狄氏条件狄氏条件时，可展成时，可展成 1

11、 sincos)(1110 nnntnbtnaatf 直流分量直流分量余弦分量的幅度余弦分量的幅度100dcos)(211tttnttntfta正弦分量的幅度正弦分量的幅度100dsin)(211tttnttntftb称为称为三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数，其系数，其系数2级数形式级数形式100d)(110tttttfta其中其中n1,2,3,。狄利克雷（狄利克雷（dirichlet）条件）条件条件条件3: 在一周期内，信号绝对可积，在一周期内，信号绝对可积，条件条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。条件条件1：在一周期内，如

12、果有间断点存在，则间断点的数目应是在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。有限个。等等于于有有限限值值。即即100d)(tttttf 通常我们遇到的周期性信号都能满足狄利克雷条件，因此，通常我们遇到的周期性信号都能满足狄利克雷条件，因此，以后除非特别情况，一般不再考虑这一条件。以后除非特别情况，一般不再考虑这一条件。例例1不满足条件不满足条件1的例子如右图所示，的例子如右图所示，这个信号的周期为这个信号的周期为8，它是这样组，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的一半。可见在一个周前一个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过期内

13、它的面积不会超过8，但不连，但不连续点的数目是无穷多个。续点的数目是无穷多个。ll tfo18 t821例例2不满足条件不满足条件2的一个函数是的一个函数是 10,2sintttf对此函数，其周期为对此函数，其周期为1 1，有，有 1d10ttfll tfo11 t1在一周期内，信号是在一周期内，信号是绝对可积绝对可积的的(t1为周期为周期) tttftd1100d)(tttttf tttnnttftttftfd1de11j说明说明与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数fn都是有限值都是有限值因为因为nf例例3周期信号周期信号 ，周期为周期为1，不

14、满足此条件。，不满足此条件。 10,1tttfll tfo121 2 t1周期单位冲激序列的频谱周期单位冲激序列的频谱 ttttnftttn1de122j11tnnttttf1je1)()(分析：分析：狄氏条件狄氏条件是傅里叶级数存在的是傅里叶级数存在的充分条件。根据冲激信号的定义和特充分条件。根据冲激信号的定义和特性，其积分有确定值，傅里叶级数存性，其积分有确定值，傅里叶级数存在。即在。即为为整整数数nntttnt)()(满足离散性，谐波性，不满足收敛性，频带无限宽。满足离散性，谐波性，不满足收敛性，频带无限宽。llto tt tt 1 1 nfollt11 12 12 1 例例3-2-1求

15、周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。22110110d1tttttata22111110dcos2ttnttnttata2211111dsin2ttnttnttatb 3 , 2 , 1 ) 1(1lnnan周期锯齿波的傅里叶级数展开式为周期锯齿波的傅里叶级数展开式为 ltatatf112sin2sin022 )(111tttttatf直流直流基波基波谐波谐波112t t tfa/2/221t21t 其他形式其他形式00ac 22nnnbac nnnabarctannnncacosnnncbsin余弦形式余弦形式正弦形式正弦形式00ad a

16、rctannnnabnnndasinnnndbcos110sin)(nnntnddtf22nnnbad 2 cos)(110nnntncctf将式（将式（1）中同频率项加以合并，可以写成另外两种形式：）中同频率项加以合并，可以写成另外两种形式：可画出频谱图可画出频谱图周期信号频谱具有周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性离散性、谐波性、收敛性 。 幅度频率特性和相位频率特性幅度频率特性和相位频率特性的的线线性性组组合合。基基波波角角频频率率的的整整数数倍倍）（）和和各各次次谐谐波波，基基波波（周周期期信信号号可可分分解解为为直直流流:11n关系曲线称为幅度频谱图；关系曲线称为幅度频谱图；幅度谱

17、幅度谱关系曲线称为相位频谱图。关系曲线称为相位频谱图。相位谱相位谱ncncn01c2c3c1c031n1n0131n1二指数形式的傅里叶级数二指数形式的傅里叶级数0111( )cossin nnnf taantbnt已知1111111cos()()21sin()()2jntjntjntjntnteentee1101( )()22jnjnttnnnnnajbajbf taee根据欧拉公式：根据欧拉公式：代入得：代入得：j110111( )()()jntjntnf taf nefne 1j1( )() e 4ntnf tf n令令关于关于n的偶函数的偶函数关于关于n的奇函数的奇函数因此因此代入得：

18、代入得：令令因为：因为：所以所以nnjbanf21)(1,.)2 , 1(21)(1njbanfnn00101)0()()(1afenfnfntjnn )5()(1)(100111ttttjndtetftnftjnntjkntjnnenfekfnkenf111111111)()()( 令令说明说明 变变换换对对。式式是是一一对对、惟惟一一确确定定，则则如如给给出出)5()4()(1tfnf的的线线性性组组合合。区区间间上上的的指指数数信信号号周周期期信信号号可可分分解解为为tn1je, 4 e)()(1j1tnnnftf )5()(1)(100111ttttjnndtetftnff式（式（4）

19、即）即f(t)的指数形式傅里叶级数，其系数的指数形式傅里叶级数，其系数f(n1)简写成简写成fn，由式（由式（5）计算，其中）计算，其中n为从为从到到的整数。的整数。三两种系数之间的关系及频谱图三两种系数之间的关系及频谱图是是复复数数)(),(11nfnfnnjbanf21)(1,.)2 , 1(21)(1njbanfnn,.)2, 1(4)(21212121212222220000nffbadcffjbcffbadcffjbaeffjbaeffadcfnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnjnnnnjnnnn相频特性相频特性 nnnabarctan幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性幅频特

20、性幅频特性22212121nnnnnnbadcff的的奇奇函函数数关关于于的的偶偶函函数数关关于于取取正正值值）的的奇奇函函数数（实实际际关关于于取取正正值值）的的偶偶函函数数（实实际际关关于于1111 nnnnfnbna1 13 nc0c1c3co1 13 n o 频谱图频谱图幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱离散谱，谱线离散谱，谱线曲线曲线或或nnfc曲线曲线 n请画出其幅度谱和相位谱。请画出其幅度谱和相位谱。例例3-2-210 c00236. 251 c 15. 01 12 c 25. 02 化为余弦形式化为余弦形式三角函数形式的频谱图三角函数形式的频谱图，已知已知42coscos2sin

21、1)(111ttttf 42cos)15. 0cos(51)(11tttf 三角函数形式的傅里叶级数的谱系数三角函数形式的傅里叶级数的谱系数 1 1c0c2c12 o24. 211nc12 25. 015. 0 o1 n 化为指数形式化为指数形式4j24j2jjjj111111ee21ee22eej211)(tnttttttftttttf11112j4j2j4jjjee21ee21ej211ej2111)(tnnnf1j22e10f15. 0 j11e12. 1j211ff15. 0 j1112. 1j211eff4j12e212ff4j12e212ff整理整理指数形式的傅里叶级数的系数指数形

22、式的傅里叶级数的系数谱线谱线1)0(0 ff12. 1)(11 ff12. 1)(11 ff5 . 0)2(12 ff5 . 0)2(12 ff00 15. 01 15. 01 25. 02 25. 02 指数形式的频谱图指数形式的频谱图12 5 . 0o1 1 12. 112 12. 15 . 01 1 nf12 25. 0 15. 0 o1 1 15. 012 25. 0 n 三角形式与指数形式的频谱图对三角形式与指数形式的频谱图对比比三角函数形式的频谱图三角函数形式的频谱图指数形式的频谱图指数形式的频谱图1 1c0c2c12 o24. 211nc12 25. 0 15. 0 o1 n 1

23、2 25. 0 15. 0 o1 1 15. 012 25. 0 n 12 5 . 0o1 1 12. 112 12. 15 . 01 1 nf三角级数谱与复指数谱的比较三角级数谱与复指数谱的比较1）复指数谱为双边谱，）复指数谱为双边谱，级数谱为单边谱级数谱为单边谱2）两种谱中，直流分量相等）两种谱中，直流分量相等3）交流分量中，）交流分量中，c0= a0， cn= an/2。双边谱。双边谱 对折后相加幅度等于单边谱。对折后相加幅度等于单边谱。4）两种谱的相位相同）两种谱的相位相同体现能量守恒体现能量守恒四总结四总结（1）周期信号）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式的傅里叶级数有两种形式（

24、3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质）周期信号的频谱是离散谱，三个性质（2）两种频谱图的关系）两种频谱图的关系（4）引入负频率）引入负频率(1)周期信号周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式的傅里叶级数有两种形式三角形式三角形式指数形式指数形式1110sincos)(nnntnbtnaatftnnnftf1j1e)()(100dcos)(211tttnttntfta100dsin)(211tttnttntftb其中：其中：其中：其中：110)cos(nnntnccnnjbanf21)(1,.)2 , 1(21)(1njbanfnn0001021)(acfncnfn(2)两种频谱图的关系两种频谱

25、图的关系)()( 11nn相相位位频频谱谱为为奇奇函函数数nnc，三角函数形式：三角函数形式：单边频谱单边频谱nnf，指指数数函函数数形形式式：双边频谱双边频谱关系关系)()( 11 nfnf 偶偶函函数数指指数数形形式式的的幅幅度度频频谱谱为为(3)三个性质三个性质的谱线唯一的谱线唯一惟一性：惟一性：处处现在现在（离散性），频率只出（离散性），频率只出谐波性：谐波性：收敛性：收敛性：)(,11tfnnfn(4)引入负频率引入负频率 的的实实函函数数的的性性质质不不变变。，才才能能保保证证和和数数，必必须须有有共共轭轭对对是是实实函函数数，分分解解成成虚虚指指)(ee11jjtftfnn1偶函

26、数（关于偶函数（关于t的偶函数）的偶函数）为为实实函函数数。项项。项项，只只含含直直流流项项和和余余弦弦傅傅里里叶叶级级数数中中不不含含正正弦弦)(1nf信号波形相对于纵轴是对称的信号波形相对于纵轴是对称的)()(tftf2122( )sind0ttnbf tnttt22110224( )cosd( )cosd0tttnaf tnttf tnttttnnnnabanff21j21)(10n五函数的对称性与傅里叶级数的关系五函数的对称性与傅里叶级数的关系)(tfllottet 2奇函数（关于奇函数（关于t的奇函数）的奇函数）)()(tftf对称的：对称的：波形相对于纵坐标是反波形相对于纵坐标是反

27、为为虚虚函函数数。；量量，只只可可能能包包含含正正弦弦项项傅傅里里叶叶级级数数中中无无余余弦弦分分)(1nf 0= d)(1 220ttttfta0dcos)(2221ttnttntfta2122( )sindttnbf tntttnnnnbbanffj21j21)(12010dsin)(4tttntft)(tfllottt 11 函数对称性与傅里叶系数的关系详细见教材函数对称性与傅里叶系数的关系详细见教材p98表表3-1六周期信号的功率六周期信号的功率周期信号平均功率周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量有效值的平直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和；也就是说，方和；也就是说，时域和频

28、域的能量是守恒的时域和频域的能量是守恒的。nnnnnnnfcabaa21220122202121tttftp02d)(1证明证明对于三角函数形式的傅里叶级数对于三角函数形式的傅里叶级数1110sincos)(nnntnbtnaatf平均功率平均功率 ttnbtnaatttftptnnntdsincos1d)(1201110021222021nnnbaa122012202121nnnncaca对于指数形式的傅里叶级数对于指数形式的傅里叶级数nnnfnf221tttftp02d)(100af 总平均功率总平均功率= =各次谐波的平均功率之和各次谐波的平均功率之和sin（）sincoscossins

29、in（）sincoscossincos（）coscossinsincos（）coscossinsin三角函数公式三角函数公式本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析主要讨论：频谱的特点，频谱结构，主要讨论：频谱的特点，频谱结构， 频带宽度，能量分布。频带宽度，能量分布。其他信号其他信号: 周期锯齿脉冲信号周期锯齿脉冲信号 周期三角脉冲信号周期三角脉冲信号 周期半波余弦信号周期半波余弦信号 周期全波余弦信号请自学。周期全波余弦信号请自学。3.3 典型周期信号的傅里叶级数典型周期信号的傅里叶级数频谱结构频谱结构1te周周期期为为脉脉冲冲高高度度为为脉脉宽宽为为1. 三角

30、函数形式的谱系数三角函数形式的谱系数2. 指数函数形式的谱系数指数函数形式的谱系数3. 频谱特点频谱特点)(tf2 t1t1t e2 o1三角形式的谱系数三角形式的谱系数 是是偶偶函函数数 tfnnaab, 00只只有有 122122101111tedtetdttftatt 2 222 222111111111221221111 nsaetnsatetntnsintetnsinnedtttncosetdttncostftattn112t tncosnsaetetftncostnsatetetfnn111111111122 或三角形式傅里叶级数为1112ft化为抽样函数化为抽样函数22j1122

31、j111ej1de1 =tntnntetet2j2j1111eejnntne2sin2111ntne22sin111nnte2指数形式的谱系数指数形式的谱系数111sa22nenat22j11111de )(1)(tttnttftnf)(1 nf o 2sa111 ntenf3频谱及其特点频谱及其特点(3)包络线形状：抽样函数包络线形状：抽样函数(1)离散谱（谐波性）离散谱（谐波性） 1时取值时取值当当n。处，为处，为其最大值在其最大值在10 )2(ten相相位位数数），幅幅度度函函是是复复函函数数（此此处处为为实实）（/)(51nf2)4 第第一一个个零零点点坐坐标标：（1 12 1te 2

32、 22令令 。相位为相位为，相位为，相位为, 000nnff51t图中图中4总结总结 非非周周期期信信号号。由由周周期期信信号号为为无无限限小小，时时，当当 tftet1110 1112tt 谱谱线线间间隔隔幅幅度度 矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点：矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点： 离散性、谐波性、收敛性。离散性、谐波性、收敛性。1te 即即谱谱线线的的疏疏密密不不变变不不变变，不不变变，11.ta 的的收收敛敛速速度度变变慢慢则则ncb,.包包线线的的零零值值位位置置不不变变不不变变，不不变变，谱谱线线密密集集变变时时不不变变，2.,.1btat增大增大不变不变1 t21t4

33、1t81t1et1et1et2说明说明减减少少不不变变 1t1/2t1/4t1/8t2221et1et1et频谱分析表明频谱分析表明n这是一个离散频谱，谱线间隔为基波角频率这是一个离散频谱，谱线间隔为基波角频率1，因为，因为1=2/t1，谱线间隔将取决于，谱线间隔将取决于t1，脉冲周期越大，谱线越密。，脉冲周期越大，谱线越密。n各谱线的高度正比于信号在一个周期内的平均值，即各谱线的高度正比于信号在一个周期内的平均值，即e/t1，其中其中e正是脉冲的面积。也即各分量的大小与脉冲幅度成正是脉冲的面积。也即各分量的大小与脉冲幅度成正比，与脉冲宽度成正比，与周期成反比。正比，与脉冲宽度成正比，与周期成

34、反比。n各谱线的幅度按各谱线的幅度按 包络线变化。过零点为：包络线变化。过零点为：n主要能量集中在零频和包络线第一次过零点对应的频率之主要能量集中在零频和包络线第一次过零点对应的频率之间内。在允许一定失真的条件下，传输信号往往只输送间内。在允许一定失真的条件下，传输信号往往只输送 (2/)范围内的各频率分量，所以常常把这段频率范围称为范围内的各频率分量，所以常常把这段频率范围称为频带宽度，用频带宽度，用bf或或b表示，则表示，则n谱线的密度取决于谱线的密度取决于t1与与之比，即之比，即 前面频谱图是按前面频谱图是按(t1/)5绘制的。绘制的。)(1tnsak221bbftt/2/2/21一傅里

35、叶变换一傅里叶变换)(tf：周期信号：周期信号非周期信号非周期信号 22j11111de )(1)(tttnttftnf 谱系数谱系数连续谱，幅度无限小；连续谱，幅度无限小；离散谱离散谱1. 引出引出 1t0再用再用 表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入度无限小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函频谱密度函数数，来，来表示非周期信号的频谱表示非周期信号的频谱。1nf11 2 t 谱线间隔谱线间隔0图例图例3.4 傅里叶变换傅里叶变换（1） t（2）2t（3） 4t（1） t（2）2t（3） 4t 0)( , 02111nft22j1

36、1111de )(1)(tttnttftnf 11110lim112limnftnfft 22j1111de )(limtttntttf 11dnn连续 11111121nftnfnft时，时，当当1t（1）于于有有限限值值不不再再趋趋于于零零，而而是是趋趋近近有有界界函函数数11112 ,nfnf频谱密度函数频谱密度函数简称频谱函数简称频谱函数1t 1t 左边：左边：）（或或常常记记作作变变成成一一个个连连续续函函数数，通通jffnfnft)(21111 1n e j)(tdttf 1t 21t21t 频谱密度：单位频谱密度：单位频带上的频谱值频带上的频谱值11nf频谱密度函数的表示（傅里叶

37、变换）频谱密度函数的表示（傅里叶变换）)(je| )(|)(ff )(称为傅里叶变换。称为傅里叶变换。求求由由ftf ,故可表示为故可表示为一般为复信号一般为复信号f 幅度频谱幅度频谱:f 相位频谱相位频谱:)(de )()(jtfftttfft傅里叶变换的奇偶虚实性分析傅里叶变换的奇偶虚实性分析（教材（教材p123126） 由傅里叶变换的定义由傅里叶变换的定义 dtetfftjf()的一般形式可以写作的一般形式可以写作 f()r()+j x()或或由欧拉公式，有由欧拉公式，有当当f(t) 是实函数时，则是实函数时，则 通过对以上各式分析可知：通过对以上各式分析可知： jeff tdttfxt

38、dttfrsincos rxxrjfarctan22j -j ecosjsinecosjsintttttt当当f(t)是实函数时，是实函数时， r()是是的偶函数，而的偶函数，而x()是是的奇函数，且此时的奇函数，且此时f()与与f()互为共轭复数。即互为共轭复数。即f()f * ()。当当f(t)是虚函数时，是虚函数时， r()是是的奇函数，而的奇函数，而x()是是的偶函数，且此时的偶函数，且此时f()与与f()互为共轭复数。互为共轭复数。无论无论f(t)是实函数还是虚函数，是实函数还是虚函数， 始终是始终是的偶的偶函数，而函数，而 始终是始终是的奇函数。的奇函数。当当f(t)是实偶（奇）函

39、数时，其傅里叶变换为实偶是实偶（奇）函数时，其傅里叶变换为实偶（虚奇）函数。（虚奇）函数。 f 2逆变换逆变换ntnnftf1j111e)()(2)(11lim1nft )(11lim1nftft11)(lim1nft 2f由复指数形式的傅里叶级数由复指数形式的傅里叶级数11，再乘以，再乘以除以除以tnnnftf1j1e )()(,d11n,1时时当当tn de 21jtftf3傅里叶变换对傅里叶变换对 ftf 简写简写 ffteftft1jd21)()(de )()(jtfftttfft dtfjdtfdefdeftffftjtj)(sin)(2)(cos)(21)(21)(21)(,e|

40、)(|)()()(j 写成三角函数形式：写成三角函数形式：傅里叶逆变换式也可以傅里叶逆变换式也可以dtfdtftfftfttfft)(cos)(1)(cos)(21)()()()( de )()(0j的偶函数和奇函数，则的偶函数和奇函数，则分别为频率分别为频率和和为实函数，则为实函数，则若若4. 非周期信号频谱的特点非周期信号频谱的特点 【结论【结论】n非周期信号也可以进行正交变换；非周期信号也可以进行正交变换；n非周期信号完备正交函数集是一个无限密集的连续函数集；非周期信号完备正交函数集是一个无限密集的连续函数集；n非周期信号的频谱是连续的；非周期信号的频谱是连续的；n非周期信号可以用其自身

41、的积分表示。非周期信号可以用其自身的积分表示。n非周期实信号非周期实信号是频率为无限密集、振幅为无穷小的余弦分是频率为无限密集、振幅为无穷小的余弦分量的线性组合量的线性组合频谱密度函数频谱密度函数1( )( )2j tj tf tf t edted 欧拉公式欧拉公式 ttfftde )(j ttttftfdsinjcos)()(oe二傅里叶变换的表示二傅里叶变换的表示0o0edsin)(2jdcos)(2tttftttf实部实部虚部虚部 xrffjej 实部实部虚部虚部模模相位相位实信号实信号 偶分量偶分量 奇分量奇分量 tftftfoe)( j -j ecosjsinecosjsintttt

42、tt为为实实函数，只有函数，只有 ，相位，相位 偶偶函数函数（奇奇分量为分量为零零） tf f r 0edcos)(2tttfr 的的偶偶函函数数关关于于 0odsin)(2tttfx 22 xrf rxarctan 为为虚虚函数，只有函数，只有 ，相位，相位 f 奇奇函数函数（偶偶分量为分量为零零） tf x2 的的偶偶函函数数关关于于 的的奇奇函函数数关关于于 的的奇奇函函数数关关于于 三傅里叶变换的物理意义三傅里叶变换的物理意义 1cosd21 jsind2ftft 可以证明为偶函数可以证明为偶函数 j1( )ed2tf tf j ()j1eed2tf 01( )cosdf tft 实实

43、函函数数三角形式三角形式表达式表达式 j()1ed2tf 欧拉公式欧拉公式偶偶奇奇：积分后奇奇：积分后(偶偶)0偶偶 偶偶 偶：积分偶：积分(奇）奇）dtf0)(cos)( 0 :, d1 频频域域范范围围之之和和的的连连续续余余弦弦信信号号无无穷穷多多个个振振幅幅为为无无穷穷小小 f 求和求和 振幅振幅 余弦信号余弦信号解释解释dtftf0)(cos)()(四傅里叶变换存在的条件四傅里叶变换存在的条件所有能量信号均满足此条件。所有能量信号均满足此条件。 绝对可积绝对可积即即tf )( d充充分分条条件件有有限限值值ttf 函函数数类类型型大大大大扩扩展展了了。傅傅里里叶叶变变换换的的函函数数

44、的的概概念念后后，允允许许作作当当引引入入 一矩形脉冲信号一矩形脉冲信号 22jdeteft22jejtej2ee.22j2je22sin e 2sa e 2saef幅度频谱：幅度频谱：相位频谱：相位频谱：抽样抽样信号信号12241222nnnn1412222212nnnnsin23.5 典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换0)(eo tft2 2 2 21 4 00,1,2,2 21 2 22 nnnnn lt tsa123o 12 fbb或或频谱图频谱图 2sa ef幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱频宽：频宽： 2saefn最大值矩形窗面积最大值矩形窗面积 e；零点坐标；零

45、点坐标2n窗宽；窗宽；n频宽频宽(第一零点第一零点)2窗宽；窗宽； f e 2o 4 2 f e 2o 4 2 20 4 2 n信号表达式：信号表达式：n幅频幅频n相频相频)0(00),0()(ttetftjdteedtetfdtetfftjttjtj1)()()(00221)(f)arctan()(二单边指数信号二单边指数信号 0,1, 0ff 2,2,0, 0 )(022)(f12130 f(t)t010),()(tetft2200211)(jjdteedteeftjttjt 0)(ff，而而这这是是一一个个正正实实数数频频谱谱， f(t)0t1)(f02三双边指数信号三双边指数信号 20

46、,0xx四四. 单位冲激信号单位冲激信号1)()(dtetftj1t0)(t)(f0单位冲激信号的频谱是一个均匀频谱。同理可证单位冲激信号的频谱是一个均匀频谱。同理可证 (t)是时域中变化最剧烈的函数之一，而其频谱却是频域是时域中变化最剧烈的函数之一，而其频谱却是频域最均匀的。最均匀的。 ktk jj0( )ededdtftttttt bt,01时时的的矩矩形形脉脉冲冲，看看作作1 f1 oto 1)(to tft2 2 1 f1 2o 4 2 傅氏变换傅氏变换eo tft2 2 f e 2o 4 2 to tfe o e2 比较比较 21211deftj1)(t 21)( 冲激函数的傅里叶逆

47、变换冲激函数的傅里叶逆变换)( ) t ( to 1 f1 oo 1 f t tf21o五冲激偶五冲激偶 0dftttf jj0d e e jjtttfttt 六六. 常数信号常数信号常数信号不满足绝对可积的条件，由于常数信号不满足绝对可积的条件，由于所以所以因为因为(t)是偶函数，上式可改写成是偶函数，上式可改写成交换交换与与t后可得后可得对于一般常数对于一般常数k，有，有 常数是时域中最均匀的函数，但其频谱却是一个在频常数是时域中最均匀的函数，但其频谱却是一个在频域中只在域中只在0处存在的冲激谱，这一点与我们的直觉完处存在的冲激谱，这一点与我们的直觉完全一致，常数只对应一个直流分量。全一致

48、，常数只对应一个直流分量。 1tdedefttjtj121)(21)(dedetttjtj121121)()(dtetj1)(2kk2 通过对通过对(t)和常数的频谱分析，可以看出：和常数的频谱分析，可以看出：在时域在时域中信号变化越尖锐，其频域对应的高频分量就越丰富；中信号变化越尖锐，其频域对应的高频分量就越丰富；反之，信号在时域中变化越缓慢，其频域对应的低频反之，信号在时域中变化越缓慢，其频域对应的低频分量就越多。分量就越多。ktf)(k0t kf2)()2(k0 符号函数不满足绝对可积的条件，但它可以通过极限写成符号函数不满足绝对可积的条件，但它可以通过极限写成故其傅里叶变换为故其傅里叶

49、变换为七七. 符号函数符号函数)0(1)0(1)sgn()(ttttf tuetuettta0lim)sgn( jtjjajjjdteedteedtetfaatjttjtatj2)sgn(22lim11limlimsgn)(22000002)(f)0()0()(22sgn(t)+1-12)(f)(220 单位阶跃信号不满足绝对可积的条件，但它可以表示单位阶跃信号不满足绝对可积的条件，但它可以表示为下面形式为下面形式因为因为 以及以及因此因此 由于单位阶跃信号在由于单位阶跃信号在t0处有一突变，故其频谱处有一突变，故其频谱一直延伸到无穷远。一直延伸到无穷远。八八. 单位阶跃信号单位阶跃信号212

50、1)sgn()(ttukk2jt2)sgn( jtu1)(f u(t)0t0)(1 21 j1sgn21t ttusgn2121 j1)( tuot21ot2121 tsgn21ot1 tuo o o f 上一节回顾：周期信号频谱的特上一节回顾：周期信号频谱的特点点n离散性：离散性：谱线不连续谱线不连续n谐波性：谐波性：谱线只出现在基频的整数倍处谱线只出现在基频的整数倍处n收敛性：收敛性：幅频特性幅度随谐波数增大而逐渐减小幅频特性幅度随谐波数增大而逐渐减小周期信号由无穷多个余弦分量组成周期信号由无穷多个余弦分量组成周期信号幅频谱线的大小表示谐波分量的幅值周期信号幅频谱线的大小表示谐波分量的幅值

51、相频谱线大小表示谐波分量的相位相频谱线大小表示谐波分量的相位001( )cos2nnnax tant非周期信号频谱的特点非周期信号频谱的特点n非周期信号的频谱是连续的；非周期信号的频谱是连续的；n非周期信号可以用其自身的积分表示；非周期信号可以用其自身的积分表示；n非周期实信号是频率为无限密集、振幅为无穷小非周期实信号是频率为无限密集、振幅为无穷小的余弦分量的线性组合的余弦分量的线性组合频谱密度函数频谱密度函数( )( )12jttjx txededtt 0cosdxx tt 求和求和 振幅振幅 余弦信号余弦信号周期周期矩形脉冲矩形脉冲信号频谱信号频谱周期矩形脉冲信号的频谱是单脉冲频谱的采样周

52、期矩形脉冲信号的频谱是单脉冲频谱的采样;采样周期采样周期=2/t0;幅度不同系数幅度不同系数1/t0.矩形脉冲信号的频谱矩形脉冲信号的频谱意义意义 傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了信号的时傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论傅里叶变换域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：的性质，目的在于：了解特性的内在联系；了解特性的内在联系；用性质求用性质求f()；了解在通信系统领域中的应用。了解在通信系统领域中的应用。3.7 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质教材教材p142-143表表3-2对称性质表

53、明了时域与频域函数之间的对应关系，如矩形时间对称性质表明了时域与频域函数之间的对应关系，如矩形时间脉冲的频谱是抽样函数，则抽样时间函数的频谱一定是矩形脉脉冲的频谱是抽样函数，则抽样时间函数的频谱一定是矩形脉冲。冲。一对称性一对称性1性质性质2 意义意义 tftf )()(相同，相同，形状与形状与若若 。幅度差形状相同，的频谱函数形状与则2 ,ttf)t (f 若若 则则 ftf ftf2证明证明 由傅里叶反变换的定义由傅里叶反变换的定义可得可得调换上式中两个变量，则调换上式中两个变量，则即即如果如果f(t)是一个是一个偶函数偶函数，则，则 deftftj21 deftftj2 dtetfftj

54、2 ftf2 ftf2对称性对称性 , 1t 21 tf0( 1 )(t)t02()0 1 f()0 1 f(t)tt1即即t j2则则 ,j2)sgn( tf已知已知例例3-7-1)sgn(2)sgn(jjt2)sgn( 2sa22 eftutuetf tc, 2sa2 2sa2122tetetfuuefcccccc 例例3-7-2，若若02 c0000sa() tuu则有 0000sae uuf tet t,cote2 2 tfo e 2 f 2 f2c2c 2oeotcec2 tfc2 tf f2 f tf t t)()( ftf若若 ftf2则则对称性对称性 ( ) ,2f tf tt

55、 的频谱函数形状与形状相同，幅度差。 j1 f二线性性（叠加性）二线性性（叠加性）1性质性质3例例3-7-3)()(, )()(2211ftfftf若若为常数为常数则则2122112211,)()()()(aafafatfctfc tu tsgn2121相加信号的频谱相加信号的频谱= =各单独信号的频谱和，傅里叶变换是线性各单独信号的频谱和，傅里叶变换是线性变换，满足叠加定理。变换，满足叠加定理。2含义含义线性性质应用十分广泛，形式也易于接受。该性质可由傅线性性质应用十分广泛，形式也易于接受。该性质可由傅里叶变换定义直接证明。里叶变换定义直接证明。三奇偶虚实性三奇偶虚实性 td)t (fftj

56、 e 02tdtcos)t (f td)t(fftj e在在3.4的的“傅里叶变换的表示傅里叶变换的表示”中曾介绍过。中曾介绍过。1、f(t)是实函数是实函数 实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为偶、奇函数实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为偶、奇函数若若f(t)是实偶函数，是实偶函数，f()必为必为的实偶函数的实偶函数若若f(t)是实奇函数，是实奇函数，f()必为必为的虚奇函数的虚奇函数 02tdtsin)t (fj 2、 f(t)是虚函数是虚函数虚函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱仍为偶、奇函数，虚函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱仍为偶、奇函数，但实部但实部r()为奇函数，虚部为奇函数，虚部

57、 x()为偶函数。为偶函数。令令 tjgtf dt)tsin(tgdt)tcos(tjgdtetjgftj 实部实部虚部虚部由定义由定义 )(de )()(j fttftfft jjj()()ed( )ed()( )ed( )()utuf ftfttf uuf uuf)()()()( ftfftf，则，则若若证明：证明：可以得到可以得到任意任意 f(t)，都具有如下性质，都具有如下性质 ftffftffftff)()()( ( )f f tfu = -t奇偶虚实性证明奇偶虚实性证明设设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略） ttfftde )(

58、)(j tttftttfdsinjdcos 显然显然 tttfxtttfrdsindcos rr 的的偶偶函函数数关关于于 ff 所所以以 ftff已已知知 ftff xx的奇函数的奇函数关于关于 j1edafa四尺度变换性质四尺度变换性质 为为非非零零实实常常数数则则若若aafaatfftf,1),()(ff atjedtff atf att因为：因为：1,ddat ttaa1|faa j1edafa令：令：当：当：a 0 时，时，t =当：当：a 0 时，时，t = ff at1ff atfaa1faa j1edafa j1edaf ta1|faa(1) 0a1 时域扩展，频带压缩。时域扩

59、展，频带压缩。脉冲持续时间增加脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频带压缩倍，变化慢了，信号在频域的频带压缩a倍。倍。高频分量减少，幅度上升高频分量减少，幅度上升a倍。倍。意义意义(1) 0a1 时域压缩，频域扩展时域压缩，频域扩展a倍。倍。 。 fftftfa , 1 )3( afaatf1ote2 2 tfo e 2 f 2o e2 22f ot 2tfe持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频带展宽，持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降各分量的幅度下降a倍，相应频谱密度下降了。倍，相应频谱密度下降了。此例说明：此例说明：信号的持续时间与信号

60、占有频带成反比信号的持续时间与信号占有频带成反比（2）a1 时域压缩，频域扩展时域压缩，频域扩展a倍。倍。 o 2 e 4 221 f 4ot4 4 tf 2e式式(1)(2)分别说明分别说明f(t)与与f()所覆盖的面积等于所覆盖的面积等于f()与与2f(t)在零在零点的数值点的数值f(0)与与2f(0)。如果。如果f(0)与与f(0)各自等于各自等于f()与与f(t)曲线曲线的最大值，如上图所示，这时定义的最大值，如上图所示，这时定义和和b分别为分别为f(t)和和f()的等的等效宽度，可写出以下关系式：效宽度，可写出以下关系式：等效脉冲宽度与等效频带宽度等效脉冲宽度与等效频带宽度 )0(d