(完整版)高三一轮复习平面向量知识点整理

1、-1 - 平面向量知识点整理 1、概念 (1 )向量：既有大小，又有方向的量. 数量：只有大小，没有方向的量. 有向线段的三要素：起点、方向、长度. (2)单位向量：长度等于 1个单位的向量. (3 )平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 提醒： 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念： 两个向量平行包含两个向量共线 但两条直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性！(因为有零向量) 三点A B、C 共线 =AB、AC共线 (4) 相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5) 相反向量：长度相等方向相反的

2、向量。 a 的相反向量是-a (6 )向量表示：几何表示法 AB ;字母 a 表示；坐标表示：a= xi+y j =(x, y ). uur r um r r (7) 向量的模：设OA a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：怙|. r .-2_22 r 2 2 2 (|a| x y ,a |a| x y。) (8) 零向量：长度为 0的向量。a= O | a |= 0. 【例题】1.下列命题：(1)若a b，则a b。(2)两个向量相等的充要条件是 uur umr 它们的起点相同，终点相同。(3)若AB DC，则ABCD是平行四边形。(4)若 ，一 , uuu UULT 卄 r

3、r r r r r 卄 r r r r ABCD 是平行四边形，则 AB DC。( 5)若 a b,b c,则 a c。( 6)若 a/b,b/c , 则ac。其中正确的是 _ (答: (4) (5) r r uu r 2. _ 已知 a,b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a 3b| = _ (答:.13 )； 2、向量加法运算： 三角形法则的特点：首尾相连. 平行四边形法则的特点：共起点. = AB+BC= AC -2 - r r r r r a bl| a b a b 三角形不等式: -3 - 运算性质：交换律：abba ；结合律：a b c a b c ； a o o a a.

4、(5)坐标运算：设 a x1, y. , b 3、向量减法运算： 三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量. r r 坐标运算：设 a %,% ， b x2,y2，贝U a b x1 x2,y1 y2 UJU 设、 两点的坐标分别为 x,%， x2, y2，贝 U x1 x2, y1 y2 【例题】 uun uuu uuir uuu uuir uuir (1) AB BC CD : AB AD DC uur uuu uuir uur (AB CD) (AC BD) _ uuur r r r r ,AC c，则 |a b c | = _ (答：2.2 ); uu uu uu (3)已知

5、作用在点A(1,1)的三个力Fl (3,4), F2 (2, 5),F3 (3,1)，则合力 ir uu uu uu F Fi F2 F3的终点坐标是 _ (答: (9,1) 4、向量数乘运算： 实数与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 a. a 1 na ； 当 0 时， a 的方向与 a 的方向相同； 当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反；当 0 时，a 0. 运算律： a a : a a a : a b r r a b . 坐标运算： 设 a x,y ，贝 U a x, y x, y . 【例题】(1)若 M (-3, -2), N (6, -1)，且 MP r （

6、答：（6, 3）； 与b共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 r r i i 2 i i 2 b a 设 a Xi,yi , b x?, y? , (b 0) (a b) (|a|b|) 0rara 则 X2,X2, y2y2 y1y1 X X2 2, , X1X1 uur urn r (答：AD :CB :0 )； uuu r uuu （2）若正方形 ABCD 的边长为 1，AB a,BC 1 3MN，则点P的坐标为 5、向量共线疋理 -4 - 【例题】(1)若向量a (x,1),b (4, x)，当x = _ 时a与b共线且方向相同 r r r r r r r r r r (答：2); (2

7、)已知 a (1,1)b (4, x)， u a 2b， v 2a b，且 u/v，则 x= _ (答：4); r r r r r r r r 6、向量垂直：a b a b 0 | a b| | a b| x1x2 y1y2 0. uun uur 卄 uuu uuu 【例题】(1)已知 OA( 1,2),OB (3,m)，若 OAOB，则 m _ (答:-)； 2 (2) 以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB， B 90， 则点 B 的坐标是 _ r r IT r IT (答：(1,3)或(3， 1)； (3) 已知n (a, b),向量；m，且； m，则m的坐标是

8、_ (答:(b, a)或(b,a) 7、平面向量的数量积: 若 a x, y，贝U a $ x2 y2，或 a , X2 y2 . 贝U a / b a=入 b（b 工 0） xy= X2yi. 两点间的距离：若则I AB |= J（冷码）+（丁2 片） 设a、b都是非零向量,a %X1,X1, y2 是 a 与 b 的夹角，贝 u r rb br rb b r ra a r ra a X1X2 y2 2 2 x y2 （注 |a?b| |a|b|） a| b cos a 0,b 8 80 0 性质：设a和b都是非零向量，则a a b ；当a与b反向时，a b a r r r r a b a

9、b . 运算律：a b b a ；a b a i 坐标运算：设两个非零向量 a X1,y1， b a b 0 .当a与b同向时， b ； a a a2 a ?或 a ja a . r r r r a b ; abcacbc . r r r b X2,y2 ，贝U a b X1X2 y,y2. rara 设 % X1X1 x2, y2 ，贝U a 丄 b a b = 0 X1X2 + yiy2= 0. -5 - -6 - 【例题】 (1) ABC 中，| AB | 3 , | AC | 4 , | BC | 5，则 AB BC _ (答：-9); r 1 r 1 r r rurrr u (2)

10、已知 a (1,-),b (0, -),c a kb,d a b , c 与 d 的夹角为一，则 k 等 2 2 4 于 _ (答：1)； (3) 已知 |却 2,b 5,ag) _ 3，则 b 等于 (答：J23 ); (4) _ 已知a,b是两个非零向量，且aba b，则a与a b的夹角为 _ (答：30) (5)已知a ( ,2 )，b (3 ,2)，如果 a 与 b 的夹角为锐角，贝U 的取值 8、b在a上的投影：即|b|cos，它是一个实数，但不一定大于 0 【例题】已知|a| 3，|b| 5，且 a b 12，则向量 a 在向量 b 上的投影为 十.冋量中一些常用的结论， (1)一

11、个封冈图些苜屋蓬接而成的向量和为零问量，要注蕙运用！ a-b aba-hb,特别地，当给云同向或 |a|-|5 |=|a 5 * 当弘方反问或有 0 o a- 5|= n |+ |5 | |- R * 4+ b(当氏不卫1 藏 |a I- -H程些和实数比较类似). AJ5C中I若班西步)/也县)2(阳必).则其重心的生标为 I 3 3丿 PG = (PA-PB+PC)G 为 MBC 的重心，糕別地 PA+PBPC=0oP 为的重 心i PA-PB=PBPC = PC-PAP 为酗行C 的垂心； _ T 向董2(竺+ 竺)UH 0)所在亘线的内心(是厶氐IC的角立分线所在直线” 11 MC|

12、_ _ _ 泌)tPA.PB.PC中三终点4罠C共线 o 存在买数公0使得PAOPB&L z+=l +范围是 _ (6) 已知向量 a =(sinx，cosx) 若 x =，求向量a、c的夹角； 3 4 1 (答： -或 0 且 -); 3 3 b =( sinx，sinx) , c =( 1，0)。(1) (答:150); 5 -7 - 平面向量高考经典试题 一、选择题 r r r r 1已知向量a ( 5,6) , b (6,5)，则a与b A .垂直 B .不垂直也不平行 C.平行且同向 D .平行且反向 2、已知向量a (1 , n) , b ( 1 , n),若2a b与b垂直，贝U

13、 a ( ) A. 1 B . , 2 C. 2 D . 4 3、若向量a, b满足|a | |b| 1 , a, b的夹角为 60，贝 V a a 2 1 1 2 A.- Bc D 3 3 3 3 5、若 0、E、 F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( )uuu uur uuu uuu uuu uuu A . EF OF OE B EF OF OE uuu uuur uuu uuu uu uuu C. EF OF OE D. EF OF OE 6、已知平面向量a (1,1), b (1, 1), 1 则向量一a 3b ( ) 二、填空题 uur uuur ABgAC _ 三、解答

14、题： 1、 已知从 BC 三个顶点的直角坐标分别为 A(3 , 4)、B(0, 0)、C(C , 0). (1) 若ABgAC 0,求c的值； (2)若c 5 ,求 sin / A 的值 2、 在 ABC中，角A, B , C的对边分别为a , b , c, tanC 3、7 . (1 )求 cosC ；4、在厶 ABC中，已知D是AB边上一点，若 uur AD uur ujur 2DB,CD 1 jjj -CA 3 uur CB，则 ( ) A. ( 2，1) B. (2,1) c. ( 1,0) D. (1,2) 1、 已知向量a= 2,4, b= 1,1 若向量 b (a + 则实数 的

15、值是 2、 若向量 a,b 的夹角为 1，则 ag a 3、 在平面直角坐标系中, 正方形OAB-8 - iun uun 5 (2)若 CBgCA ,且 a b 9，求 c . 2 3、在 ABC中，a, b, c分别是三个内角A B, C的对边. cos- ，求 ABC 的面积 S . 2 5 4、设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a (I)求 B 的大小； (n)若 a 3.3 , c 5，求 b. 1 3 5、在 ABC 中，tan A , tanB -. 4 5 (I)求角C的大小； (n)若 ABC最大边的边长为、17，求最小边的边长.若 a 2,

16、C - 4 2b sin A. 1 8 -9 - 答案 选择题 (3,n) ( 1,n) 1、 A. 已知向量a ( 5,6), b (6,5) , a b 30 30 0 ,则a与b垂直。 2、 2a b = (3, n)，由 2a b与b垂直可得: 3 3 - - 2 2 1 1 一 2 2 T T T T T T r r b r a r b r a r a r aa r a 4、A 在？ ABC 中，已知 D uuu CD UJO umr UJD CA AD CA 2 uuu AB 5、B 由向量的减法知 uuu EF 6、D 1 3. / a b ( 1,2). 是 AB 边上一点,

17、AD =2DB，CD 1、解析: 已知向量 2+ Z+4+ A=0 ,实数 1 2、 【解析】 2 3、解析: 2 uuu (CB 3 uuu OE uun CA) 1 uun -CA 2 uuu CB = 1CA CB，贝V 3 2 = o 3 1, (2 ,4 b (a + b)，则 r r r 2 r r r 2 r r ag a b a a b a a b cos60 uuu uuur 1. 解答题 uuu 1、解：(1) AB ( 3, 4) uuur AC (c 3, 4) 、uuu 填空题 uuu CA =3. 1 1 8 -10 - 2、解：(1) Q tanC cosC 2

18、2 又Qsin C cos C 1 解得 cosC Q ta n C 0, C是锐角. cosC uuu uuur 由 ABgAC 3(c uuu AB ( 3, 4) uuu uuur ABgAC cos A uuui iuuur ABgAC uuir AC (2, 4) 6 16 1 sin 5、20 5 3 A -1 cos2 A 2、5 5 3) 16 25 3c 0 得 25 c 一 -11 - uur uur 5 (2)QCBgCA -， abcosC ab 20. 2 2 a 2ab b 81. b2 41. 2 2 2 cab 2ab cosC 36 . 3、解： 3 4 由题意，得 cosB -, B 为锐角，sinB -, 5 c 6 . sin A sin( n B C) .3n sin - 4 7 2 7Q 由正弦定理得 10 c 7 1 S accpin B 10 4、解：（i）由 a 2b si nA，根据正弦定理得si nA 2si n Bsi nA，所以 sin B n 由厶ABC为锐角三角形得B -. 6 （n）根据余弦定理，得 b2 2 2 a c 2acco