微积分7.2多元函数基本概念

1、微积分微积分II（Calculus ）第七章第七章 多元函数微积分多元函数微积分第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学7.2 7.2 多元函数的基本概念多元函数的基本概念7.3 7.3 偏导数偏导数7.47.4全微分全微分7.5 7.5 多元复合函数的求导法则和微分法则多元复合函数的求导法则和微分法则7.6 7.6 隐函数及其求导法则隐函数及其求导法则7.7.7 7 二二元函数的极值和最值元函数的极值和最值7.8 7.8 二重积分二重积分0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 设设),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一个个点点， 是是某某一一

2、正正数数，与与点点),(000yxP距距离离小小于于 的的点点),(yxP的的全全体体，称称为为点点0P的的 邻邻域域，记记为为),(0 PU，一、区域的基本知识一、区域的基本知识 1.邻域邻域 )(0PU或0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx .)()(0| ),(),(20200yyxxyxPUo去心邻域：去心邻域： 蜡烛和蜡的不同在于：蜡烛和蜡的不同在于：2. 开集、连通集、区域开集、连通集、区域EP 41),(221 yxyxE例如，例如，即为开集即为开集 平面上的点集平面上的点集 E 称为称为开集开集, 如果对任意如果对任意一点一点 PE, 都

3、有都有 P 的一个邻域的一个邻域 U (P) E. 平面上的点集平面上的点集 E 称为称为连通集连通集, 如果如果对对于于E中任意中任意 两点两点 P , Q都可以用包含都可以用包含在在 E 中的折线连接中的折线连接 P 和和 Q.平面上的平面上的连通开集连通开集称为平面的称为平面的开区域开区域 (或简称或简称区域区域) 1. 二元函数的定义二元函数的定义二、多元函数概念二、多元函数概念2. 二元函数的定义域二元函数的定义域(1) 使得算式有意义的使得算式有意义的x,y的变化范围所确定的点集的变化范围所确定的点集. (2) 使实际问题有意义的使实际问题有意义的x,y的变化范围的变化范围 所确定

4、的点集所确定的点集. (3) 二元函数的定义域一般来说是平面上的区域二元函数的定义域一般来说是平面上的区域. .,)3arcsin(),( . 1222并作图的定义域求例yxyxyxf解：解： 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 注注: 定义域常用字母定义域常用字母D表示表示.练习：练习：P322 4(2，4)）例（类似教材3267P3. 二元函数的几何意义二元函数的几何意义),(yxfz 图形一般为曲面图形一般为曲面.),(),(),(决定决定过过通通上点上点由平面区域由平面区域曲面上点曲面上点yxfzyxPDzyxM 如

5、图如图三、三、 二元函数的极限二元函数的极限 1. ,),(lim00Ayxfyyxx .),(lim ),(),(00Ayxfyxyx 或或-二重极限二重极限 .,),(,),(, ),(),(),(,),( 00000000记为时的极限当为则称数确定的常数无限接近于一个时方式趋近于点以任何点是其内点或边界点，若的定义域为设函数yyxxyxfzAAyxfyxPyxPyxPDyxfz描述性定义描述性定义 (1)对于二元函数极限的存在是指对于二元函数极限的存在是指当当P (x, y) 以以任意方式任意方式与方向趋于定与方向趋于定点点P0(x0, y0), 函数都无限接近于函数都无限接近于A. 即

6、即极限趋近方式具有任意性特征极限趋近方式具有任意性特征.二元函数极限的说明：二元函数极限的说明： (2)判断二元函数极限不存在的方法，判断二元函数极限不存在的方法， 若当点若当点 P (x, y) 以不同方式趋于点以不同方式趋于点 时时, 函数趋于不同的值函数趋于不同的值;或或在某一路径上点在某一路径上点P (x, y) 趋于点趋于点 的极限不存在的极限不存在, 则可以断定函数在则可以断定函数在 点的极限不存在点的极限不存在.),(000yxP),(000yxP),(000yxP),(00yxxy2. 确定极限不存在的方法确定极限不存在的方法 ., ,),(),(000就就可可断断定定此此极极

7、限限不不存存在在不不同同值值函函数数趋趋于于时时以以不不同同方方式式趋趋于于当当yxPyxP在在(0,0)处时处时, 一般选择下列极限方式：一般选择下列极限方式：; )4(; )3(;0 )2(;0 )1(2kxykxyyx 即：即：如何确定极限不存在：如何确定极限不存在：).,(lim,0 00 )( 200222222yxfyxyxyxxyx,yfyx计算设：例解：解： ),(lim),(lim00kxxfyxfxxkxy 22220limxkxkxx 21kk 其值随着其值随着k的不同而改变的不同而改变. 故所求极限不存在故所求极限不存在. P269例例4（2）对照对照P269例例4（1

8、），解法有何不同？），解法有何不同？例例3 3 证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在练习练习证明证明 在在 处的极限不存在处的极限不存在2222),(yxyxyxf)0 , 0(证证 让让 沿直线沿直线 趋于趋于 ，则有，则有 ),(yxkxy )0 , 0(22222202222011)1 ()1 (limlimkkkxkxyxyxxkxyx它将随它将随k 的不同而具有不同的值的不同而具有不同的值. .22

9、2200limyxyxyx因此，极限因此，极限 不存在不存在. .3. 二元函数极限的计算二元函数极限的计算 2222001sin)(lim . 4yxyxyx求例0极限为的乘积为无穷小量知其由无穷小量和有界变量.1sinlim 221002yxexyx计算练习：Solution. 0lim210 xxe有界又221sinyx . 01sinlim221002yxexyx).1cos1sin(lim . 500 xyyxyx计算例. 0)1cos1sin(lim00 xyyxyx0极限为的乘积为无穷小量知其由无穷小量和有界变量yxyx1sinlim00 xyyx1coslim00.11lim

10、72211yxxyyx计算例11lim11xyyx.21.)ln(lim . 62201yxexyyx求例Solution.)0 , 1(f 原式原式. 2ln 能代尽量代能代尽量代分解因式分解因式.11lim . 500 xyxyyx求例Sol)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 根式有理化根式有理化能代尽量代能代尽量代例4 求极限.)sin(lim200 xyyxyxxyyxxyyxyxyx200200lim)sin(lim解等价代换等价代换0lim0 xx1. 连续性定义连续性定义)()(lim ,)(000PfPfPDPfnPP如果是其内点的

11、定义域为元函数设.)(,)(00的的间间断断点点为为则则称称处处不不连连续续在在若若PfPPPf四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性.)(0处连续在元函数则称PPfn.),(),(),(),(lim 000000连连续续在在则则称称若若yxyxfzyxfyxfyyxx 二元函数的连续性二元函数的连续性2. 闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域 D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上上至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域 D D上的多元连续函数，如果上的多元连续函数，如果在在 D D上取得

12、两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在 D D上取得上取得介于这两值之间的任何值至少一次介于这两值之间的任何值至少一次(1) 最大值和最小值定理最大值和最小值定理(2) 介值定理介值定理(3) 多元连续函数的和、差、积、商、复合多元连续函数的和、差、积、商、复合 函数仍为连续函数函数仍为连续函数. .（了解）（了解）(4) 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数.(5) 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. .).()(lim)()()()(lim00000PfPfP