选修2-2第一章：1.1-2变化率问题及导数的概念

1、高二高二 下学期下学期 数学数学 1.1.11.1.211.1变化率问题11.2导数的概念【学法指导】导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率、瞬时变化率的概念，可以从物理和几何两种角度理解导数的意义，深刻体会无限逼近的思想.1.1.11.1.2一、学习目标：一、学习目标：1、通过两个实例，体会两个名词含义的不同：、通过两个实例，体会两个名词含义的不同：变化大小变化大小与与变化快变化快慢（即变化率）慢（即变化率）；理解运动物体的速度在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)，知道函数在某点x0处的瞬时变化率就是导数，理解导数的概念和定义，会求函数在某点处的瞬时变化率瞬时变化率导数导数( (即导函数

2、值即导函数值) )2、体会、并理解平均变化率的概念，、体会、并理解平均变化率的概念，会求函数在某点的平均变化率的概念，掌握函数平均变化率的求法3、理解、理解y、x的含义。的含义。掌握导数（即导函数值）的几何意义，并会求出曲线在某点处的切线方程二、自学指导：二、自学指导：快速阅读教材，思考教材快速阅读教材，思考教材P3 探究和探究和P4 思考。思考。1.1.11.1.2瞬时变化率函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是函数f(x)从 x0到 x0 x 的平均变化率在x0 时的极限，即_limx0yx瞬时速度：物体在某一时刻的速度；切线斜率1函数的变化率定义实例平均变化率函数 yf(x)从 x1到

3、x2的平均变化率为_，简记作：yx平均速度；曲线割线的斜率预习检测：预习检测：1.1.11.1.22函数 f(x)在 xx0处的导数函数 yf(x)在 xx0处的_称为函数 yf(x)在 xx0处的导数，记作_，即 f(x0)limx0yx_.瞬时变化率瞬时变化率 6导数的发现主要与四类问题的处理相关:一、 已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数主要研究的问题：导数主要研究的问题：1.1

4、.11.1.2实际问题：实际问题：引言某市 2012 年 5 月 30 日最高气温是 33.4，而此前的两天 5 月29 日和 5 月 28 日最高气温分别是 24.4和 18.6，短短两天时间，气温“陡增”14.8，闷热中的人们无不感叹： “天气热得太快了！ ”但是， 如果我们将该市 2012年 4 月 28 日最高气温 3.5和 5 月 28 日最高气温 18.6进行比较，可以发现二者温差为 15.1，甚至超过了 14.8，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快” ，而后者变化得“缓慢” ，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？1.1.11.1.2问题分析

5、：问题分析：1.1.11.1.2问题 2：高台跳水(独立思考完成)在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t（单位:s）存在函数关系2( )4.96.510h ttt 如何用运动员在某些时间段里的平均速度v粗略地描述其运动状态?请计算00.5t 和2t1 时的平均速度. v计算运动员在65049t 这段时间里的平均速度.问题分析：问题分析：问题 2：高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间 t（单位:s）存在函数关系2( )4.96.510h ttt 答:2( )4.96.510h ttt 在00.5t 这段时间里,(0.5)

6、(0)4.05()0.5 0hhmvs在12t 这段时间里,(2)(1)8.2()2 1hhmvs 在65049t 这段时间里,65()(0)490()65049hhmvs注注: :用平均速度描述物体运动状态用平均速度描述物体运动状态, ,只能说明某一段时间只能说明某一段时间运动的运动的整体整体情况情况. . 它不能表达物体在它不能表达物体在某一时刻某一时刻的运动状态。的运动状态。1.1.11.1.2答如果问题中的函数关系用 yf(x)表示，那么问题中的变化率可用式子fx2fx1x2x1表示，我们把这个式子称为函数yf(x)从 x1到 x2的平均变化率，作用：主要用来描述一个函数在某个范围内变

7、化的快慢问题分析：问题分析：一般地,如果上述问题中的函数关系用( )f x表示,那么问题中的变化率可用式子2121()()f xf xxx表示,我们把这个式子称为函数 f x在区间12,x x上的平均变化率.习惯上用x表示21xx,y 或f(x)表示21()()f xf x,这里的x是相对于1x的一个 “增量” ， 即21xxx，则平均变化率可以表示为fx=2121fxfxxx注意：y、x、f(x)都是一个符号，是一个表示变化的量，可正可负，其中x 不能为 0，且是一个不可分割的整体，表示后面变量的变化大小，不是我们以前讲的“乘”y、“乘”x。概念分析：概念分析：1.1.11.1.2答x 表示

8、 x2x1是相对于 x1的一个“增量”，也叫变化量；y 表示 f(x2)f(x1)x、y 的值可正可负，y也可以为零，但x 不能为零1.1.11.1.2实例分析：实例分析：例 1已知函数 f(x)2x23x5.(1)求当 x14，且x1 时，函数增量y 和平均变化率yx；(2)求当 x14，且x0.1 时，函数增量y 和平均变化率yx；(3)若设 x2x1x.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义1.1.11.1.2实例分析：实例分析：1.1.11.1.2分析本题直接利用概念求平均变化率先求出表达式，再直接代入数据可以求得相应的平均变化率的值实例分析：实例分析：1.1.11.1.2 点评此

9、类题易错之处容易将平均变化率与平均数相混淆，关键是理解平均变化率的概念解析当自变量从 x0变化到 x0 x 时， 函数的平均变化率为f(x0 x)f(x0)x(x0 x)3x30 x3x203x0 x(x)2当 x01，x12时平均变化率的值为3123112（12）2194.四 当堂训练：质点运动规律23St,则在时间(3,3) t中相应的平均速度为()(A)6t(B)96tt(C)3+t(D) 9+t已知函数 f（x）=2x+1，g（x）= 2x，分别计算在区间-3，-1，0，5上 f（x）及 g（x）的平均变化率.（通过做练习，你发现了什么？）一次函数 y=kx+b 在区间m，n上的平均变

10、化率就是直线y=kx+b 的斜率.A1.1.11.1.21.1.11.1.21.1.2 导数导数（即导函数值）（即导函数值）的概念的概念1.1.11.1.2当当t趋近于趋近于0时时,平均速度有什么平均速度有什么变化趋势变化趋势?平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 例如例如（如何求如何求 t=2时的）瞬时速度？通过列表看出平均速度的变化趋势时的）瞬时速度？通过列表看出平均速度的变化趋势 ：105 . 69 . 4)(2ttth1.1.11.1.21.1.1

11、1.1.2结论函数在某点处的导数：函数 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率是limx0fx0 xfx0 xlimx0yx，我们称它为函数 yf(x)在 xx0处的导数，记作 f(x0)或 y|xx0，即f(x0)limx0fx0 xfx0 xlimx0yx.1.1.11.1.2注意：注意： 我们说函数在某一点处的导数实际上指的是在该点我们说函数在某一点处的导数实际上指的是在该点处的处的导函数值导函数值，是一个具体的数。与后面讲的导数（即，是一个具体的数。与后面讲的导数（即导函导函数数）是两个不同的概念。）是两个不同的概念。1.1.11.1.2例3利用导数的定义求函数f(x)x23x在x2处的导

12、数又 f(2x)f(2)(2x)23(2x)(2232)(x)2x，实例分析：实例分析：1.1.11.1.2一做差、二求商、三定极限一做差、二求商、三定极限1.1.11.1.21、求函数 f(x)3x22x 在 x1 处的导数当堂训练：当堂训练：1.1.11.1.2例 4将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热 如果在第x h 时， 原油的温度(单位：)为 yf(x)x27x15(0 x8)计算第 2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义1.1.11.1.2解在第2 h 和第6 h 时， 原油温度的瞬时变化率就是 f(2)和 f(6)根据导数的定义，yxf2xf2x2x272x15227215x1.1.11.1.21.1.11.1.2变式 4高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间 t(单位：s)之间的关系式为 h(t)4.9t26.5t10，求运动员在 t6598s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况1.1.11.1.2limt0ht0tht0tlimt04.96549t6.50，则ht0tht0t4.96598t26.56598t104.9659826.5659810t4.9t6549t6.5tt4.96549t6.5，1.1.11.1.2练习：练习：D B 1.1.11.1.2C 1.