西南财经大学数模校赛获奖论文 生产及库存管理问题

1、生产与库存管理问题生产与库存管理问题摘要本文根据该造船企业实际情况，通过对企业生产的规划及库存管理的优化，对企业的生产与库存管理问题进行了详尽的研究与讨论。针对问题一，分别就企业要求均衡连续生产、只要求均衡生产不要求连续生产的情况进行生产规划。将第一小题转化为求最小值的整数规划模型，运用Lingo软件进行编程求解得最小生产规模下工人数为2409人，工程师为366人，设备为447台，最小生产周期为144小时。第二小题在第一小题模型的基础上改动为求A0的最大产量，同时增加了新的约束条件，运用Lingo软件解得A0的最大产量为72件，生产资源的浪费，即一个周期内未利用的工时数分别为：工人356544

2、人*小时，工程师19872人*小时，设备32256台*小时。第三小题要求在周期既定的情况下进行生产规划，对生产各产品的产品数进行决策建立规划模型，运用Lingo软件解得A0的最大产量为91件，生产资源的浪费分别为：工人93688人*小时，工程师896人*小时，设备12600台*小时。针对问题二，基于问题一的结果，在企业均衡连续生产下，周产量的可能性组合可以确定。充分考虑各个约束条件，建立以年预期销售量最大为目标函数、以每周预期销售量为决策变量的规划模型，运用matlab软件进行编程求解得在题设库存策略下未来一年该企业的年预期销售量为1674艘。在问题三中，企业在采取均衡连续生产的方式下，生产产

3、量是最小生产规模产量的整数k倍。对问题二的模型稍作修改，运用matlab编程求解得出不同k值情况下的预期总销售量和周产量。然后建立以应保留的资源为决策变量、以成本最小化为目标函数的规划模型，运用Lingo编程求解得不同k值所对应的最大利润和资源保留量。经过数据分析，得到当k为2时企业效益预期达到最大为2.428986亿元，此时企业保留的工人为5782人，工程师为488人，设备为894台，年预期销售量为1602艘。针对问题四，首先利用大样本场合的K-S检验方法证明了未来一年每周的市场需求量服从泊松分布，在此基础上考虑最优的原材料进货和库存管理方式。我们采用定期定量的方式进行进货，并相应推出库存管

4、理方式。继而建立以进货周期及进货量为决策变量、以利润最大化为目标函数的规划模型，并用matlab编程求解得到企业效益预期最大为1.5113544亿元。此时，进货方式为：进货周期为2周，进货量为68套；库存管理方式为：生产的周每次库存为2套，不生产的周不进行库存；年预期销售量为1752艘。本文对企业生产与库存管理问题进行了深入的讨论，解决了题目中提出的几个问题，并对问题结果进行了检验、对模型进行了改进，建立的模型具有较好的推广价值。关键词： 均衡生产计划 规划 库存管理 优化 1 问题的重述现代造船模式是以统筹优化理论为指导，应用成组技术原理，以中间产品为导向组织生产，实现设计、生产、管理一体化

5、，均衡、连续的总装化造船。某造船企业生产某型轮船。问：1. 在现有资源下，企业工作人员每天工作不超过八小时，设备可不停歇的方式进行生产。（1）若企业要求均衡连续生产，求该产品的最小生产规模及最小生产周期。（2）若企业要求均衡连续生产，求该企业最大生产能力及生产资源的浪费。（3）若企业只要求均衡生产，不要求连续生产，生产周期为一周，求该企业的最大生产能力及生产资源的浪费。2. 已知该企业产品未来一年的市场需求。若企业每周生产6天，各周生产的产品数量采用见订单生产的方式，产量达不到需求量的部分将丢失销售机会。一周内采取均衡连续生产的方式，周日为设备检修与原材料进货时间，不进行生产。各周间生产规模可

6、以不相同。若企业对原材料的进货与库存管理方式为：周日一次性进货，若库存达到能满足40艘轮船生产的原料数量时不进货，否则进货，原材料的进货量为使库存量正好达到满足80艘轮船生产的原料数量。请你在此库存策略下，求出未来一年企业的年预期销售量。3. 在问题2条件下，由于该企业的生产资源存在浪费现象，企业决定调整人员和设备的数量。请你确定企业保留的人员和设备的数量，使企业效益预期达到最大，并给出企业此时的年预期销售量。4. 若该企业每周市场需求随机，未来一年销售量未知。该企业在问题3的基础上，决定重新确定对原材料的进货与库存管理方式。企业仍采用一周内均衡连续生产的方式，但每个生产周期内产量可以超过销售

7、量，超过部分在下一期销售，但数量最多为5。每周可销售产品数量达不到需求量的部分将丢失销售机会。请你优化企业原材料进货与库存管理方式，使企业效益预期达到最大，并给出企业此时的年预期销售量。2 模型假设（1） 假设中间产品有足够的备件。（2） 假设设备可以不停歇地进行生产，（3） 在问题一中，假设企业工作人员每天工作不超过八小时。（4） 在问题二中，假设周内产量不得超过需求量，同时，产量达不到需求量的部分将丢失销售机会，即不能推到下一周生产。（5） 在问题二中，假设每周生产A0的数量总是最大的，即能生产多少就生产多少。（6） 在问题二中，假设一个星期从周日开始到周六结束。（7） 在问题三中，假设不

8、能通过增加工人、工程师和设备来缩短产品基本生产时间，且不能通过增加时间来减少产品基本需求的工人、工程师和设备数。（8） 在问题三中 ，假设生产时所有工人、工程师和设备皆工作，且每个工人、工程师和设备的工作时间相同。（9） 假设货源量充足，随时都能按照需求量补充订货，且进货不需要时间。（10） 在问题四中，假设货物在周日早0：00进入仓库，从此刻开始计算库存时间。（11） 在问题四中，假设存储成品的仓库容量足够，且存储不产生额外的费用。3 符号约定T ：生产周期；ni ：一个生产周期中生产Ai的资源组数；mi：一个周期内生产Ai的数量；ti ：生产一单位Ai所需要的时间；bij：生产一单位Ai所

9、需Aj的个数；wi：生产一单位Ai所需要的工人数；ai ：生产一单位Ai所需要的工程师数；fi：生产一单位Ai所需要的车床数；lw：工人资源上限；la ：工程师资源上限；lf：车床资源上限；k ：当前生产规模最大产量是最小规模产量的k倍；qi ：第i周A0的产量；di ：第i周A0的需求量；Si ：第i周六原材料库存量；v i：第i周日的进货量；P：未来一年总预期销售量；pi：第i周预期销售量；e：未来一年的预期利润；r：未来一年的预期收入；c：未来一年的预期成本；price：每单位A0的销售价格；ti(w)：第i周工人的工作时间；ti(a)：第i周工程师的工作时间；ti(f)：第i周设备的工

10、作时间；nlw：保留的工人数；nla：保留的工程师数；nlf：保留的设备数；U：进货的周期；g：进货量；gi：第i周进货量（注：进货周进货量为g，否则为0）；Inprice：进货价格；dts(i)：第i周周六的成品库存量。4问题的分析与求解4.1 问题一4.1.1 问题一的分析问题一分别就企业要求均衡连续生产、只要求均衡生产不要求连续生产进行生产规划。 其中，最大生产能力是指生产周期内生产的最终产品的最大数量；均衡生产是指一个周期内生产的产品之间生产与消耗正好匹配；连续生产是指设备不停歇地生产一种固定产品；某产品的生产规模是指完成整个生产过程所需各资源的总和；资源浪费是指一个周期内未利用的工时

11、数。1 第一小题的分析第一小题中，我们对一个生产周期T中各产品的生产组数ni进行决策。由于在均衡条件下生产，在一个周期中，最终必然只有最终产品A0。那么在对产品A0的最小生产规模进行求解时，只需得到产品A0的最小组数，即最小的n0即可。 为保证均衡条件，我们要使单位时间内中间产品Aj的产量与其需求量匹配，即有：mj=Ttibijni为保证连续条件，Aj无时无刻不在生产，即有：Ttjnj=mj 式中：T表示生产周期，ni表示一个生产周期T中生产Ai的资源组数，mi表示一个周期内生产Ai的数量，ti表示生产一单位Ai所需要的时间，bij表示生产一单位Ai所需Aj的个数。其中,由于连续条件，生产过程

12、不能停顿，为保证mj为整数，则T为ti的公倍数，所以最小的周期T为ti的最小公倍数。对于第一小题，我们建立模型一进行求解。2. 第二小题的分析第二小题是在第一小题的条件下进行生产规划，我们在第一小题的基础上做了改动，目标是使A0的产量最大化。其中，使用的资源不能超过资源上限。资源浪费为一个周期T内未利用的工时数。对于第二小题，我们建立模型二进行求解。3. 第三小题的分析第三小题是在资源限制和周期T既定的情况下对生产各产品的产品数mi进行决策，目标是使A0的产量m0最大。为保证均衡条件，我们要使生产周期内中间产品Aj的产量与其需求量匹配，即有：mj=bijmi 式中：mi表示一个周期内生产Ai的

13、数量，bij表示生产一单位Ai所需Aj的个数。其中，使用的资源不能超过资源上限，资源浪费为一个周期T内未利用的工时数。对于第三小题，我们建立模型三进行求解。4.1.2模型一的建立 模型一的决策变量为生产产品Ai的产品组数ni。由问题分析和题意可知目标函数为min n=n0约束条件为保证均衡连续：njtj=bijniti其他：n01ni0且niz式中： ni表示一个生产周期T中生产Ai的资源组数， ti表示生产一单位Ai所需要的时间，bij表示生产一单位Ai所需Aj的个数。于是可以建立如下规划模型：min n=n0s.t 4.1.3模型一的求解运用Lingo编程（程序见附录1）求解得：最小的n0

14、=3。一个生产周期内各个产品生产情况如下：表1 一个生产周期内各个产品生产情况表生产数（件）工人（人）工程师（人）设备（台）A035499A1848248A212108012A34886414496A44527013545A521252042A6182165436A71995970199合计3542409366447最小生产规模分别为：工人数2409人，工程师数366人，设备数447台。最小生产周期T为144小时。4.1.4 模型二的建立模型二的决策变量为生产产品Ai的产品组数ni。由问题分析和题意可知目标函数为max m0=n0Tt0约束条件为保证均衡连续：njtj=bijniti资源上限约

15、束：3winilw3ainilafinilf其他：n01ni0且niz式中：T表示生产周期， ni表示一个生产周期T中生产Ai的资源组数， ti表示生产一单位Ai所需要的时间，bij表示生产一单位Ai所需Aj的个数，wi表示生产一单位Ai所需要的工人数，ai表示生产一单位Ai所需要的工程师数，fi表示生产一单位Ai所需要的车床数，lw表示工人资源上限，la表示工程师资源上限，lf表示车床资源上限。于是可以建立如下规划模型：min m0=n0Tt0 s.t4.1.5 模型二的求解运用Lingo编程（程序见附录2）求解得最大产量为m0=72。一个生产周期内各个产品生产情况如表2所示：表2 一个生产

16、周期内各个产品生产情况表生产数（件）工人（人）工程师（人）设备（台）A0122163636A1321929632A248432048A31923456576384A41801080540180A58410080168A672864216144A779623880796合计1416963614641788生产资源的浪费情况为：表3 生产资源浪费情况表工人（人*小时）工程师（人*小时）设备（台*小时）3565441987232256生产资源的浪费, 即一个周期T内未利用的工时数分别为：工人356544人*小时，工程师19872人*小时，设备32256台*小时。4.1.6 模型三的建立模型三的决策变

17、量为各产品产品数mi。由问题分析和题意可知目标函数为max m0=m0约束条件为保证均衡：mj=bijmi资源约束：3wimilwT33aimilaT3fimilfT其他：mi0且miz式中：T表示生产周期， mi表示一个周期内生产Ai的数量，bij表示生产一单位Ai所需Aj的个数， ai表示生产一单位Ai所需要的工程师数，fi表示生产一单位Ai所需要的车床数，wi表示生产一单位Ai所需要的工人数，lw表示工人资源上限，la表示工程师资源上限，lf表示车床资源上限。于是可以建立如下规划模型：max m0=m0s.t4.1.7 模型三的求解运用Lingo编程（程序见附录3）求解，得最大产量为m0

18、=91。一个生产周期内各个产品生产情况如表4所示：表4 一个生产周期内各产品生产情况表（单位：件）A091A1364A2364A31456A4455A51911A6546A718109生产资源的浪费情况为：表5 生产资源浪费情况表工人（人*小时）工程师（人*小时）设备（台*小时）9368889612600生产资源的浪费, 即一个周期T，即144小时内未利用的工时数分别为：工人93688*人小时，工程师896人*小时，设备12600台*小时。4.2 问题二4.2.1 问题二的分析 由问题一的第一小题、第二小题可知，在均衡连续的条件下，当每周生产六天，即生产周期T=144时，一周内生产的产量最小为

19、Tn0t0=18,最大产量max m0=72。则一周内生产的产量可能性组合为0,18,36,54,72。每周的产量qi还受到该周需求量及上一周库存量的制约。 在每周产量最大化，即能生产多少就生产多少的前提下，我们可以求出每周的预期销售量qi和总的预期销售量p。对于问题二，我们建立模型四进行求解。4.2.2 模型四的建立第i周的产量为qi=min18di18, 18si+vi18,72(注：其中“”表示取整，最大产量72为第一题中第二小题的结论)第i周六的储蓄量为si=si-1+vi-qis0=0第i周日的进货量为vi=0 ,Si-140 80- Si-1,Si-140 分别对每一周求解，加总后

20、可得到总预期销售量。则预期销售量为p=qi式中：qi表示第i周A0的产量，di表示第i周A0的需求量，Si表示第i周六原材料库存量，vi表示第i周日的进货量，p表示总的预期销售量。4.2.3 模型四的求解运用matlab软件编程（程序见附录4）求解，算法流程示意图如下：图1 算法流程图未来一年该企业产品的销售量如表6所示： 表6 未来一年该企业产品的销售量（单位：艘/周）54363636183636181836361818181836361818183636363654185436185418363636361836363636183654183636363636363636因此，未来一年该企

21、业的年预期销售量为1674艘。4.2.4 问题二的检验，模型五的建立与求解如果目标是使总的预期销售量最大，那么我们在模型四中每周产量采用能生产多少就生产多少的策略为贪心算法，只能得到局部的最优解。现在建立优化模型五对局部最优解进行检验。该检验模型的决策变量为每周预期销售量qi。由问题分析和题意可知目标函数为max p=qi约束条件为产量可能性约束：qi0,18,36,54,72;见订单生产约束：qidi库存量均衡约束qi+Si=Si-1+vi进货量决定约束vi=0 ,Si-140 80- Si-1,Si-140 初始条件约束S0=0式中：qi表示第i周 A0的产量，di表示第i周A0的需求量，

22、Si表示第i周六原材料库存量，vi表示第i周日的进货量，p表示总的预期销售量。于是可以建立如下规划模型：max p=qis.tqi0,18,36,54,72qidiqi+Si=Si-1+vivi=0 ,Si-14080- Si-1,Si-140S0=0max P=qi运用Lingo软件编程（程序见附录5）求解，得到最大的预期销售量P=1674，各周预期销售量如下表：表7 未来一年该企业产品的销售量（单位：艘/周）54363636183636181836361818181836361818183636363654185436185418363636361836363636183654183636

23、363636363636将模型进行改进后，所求得的未来一年中该企业各周产品的销售量的分布与模型四一致，即求解模型五得到的未来一年该企业产品的预期销售量与求解模型四一致。由此可以看出每周产量最大的决策，即贪心算法所得的总的预期产量已经是最大产量。4.3 问题三4.3.1 问题三的分析企业在采取均衡连续生产的方式下，生产产量是最小生产规模产量的整数k倍。由第一题第二小题的结果可知在原资源约束条件下k的最大值为4。则我们令k=1,2,3,4，将模型四修改为模型六，改变k值，计算出不同最大产量倍数限制下的预期总销售量p和第i周产量qi。然后，我们建立模型七，以成本最小化为目标，根据每周产量qi求得此时

24、的资源上限。在此基础上可以得出每一个k值所对应的最大利润和最小资源上限。从而可以找到一个k值，使得此时的利润最大，此时的最小资源上限即为公司应该保留的工人、工程师和设备数量。对于问题三，我们建立模型六、模型七进行求解。4.3.2模型六的建立第i周的产量为qi=min18di18, 18si+vi18,18*k(注：其中“ ”表示取整，18*k为最大产量) 第i周末的储蓄量为si=si-1+vi-qi 第i周初的进货量为vi=0 ,Si-140 80- Si-1,Si-10.05，则认为两信号相同，说明原始数据具有线性特征；若显著性水平p0.05，则认为两信号不同，说明原始数据具有非线性特征。K

25、-S检验结果如下：图4 假设检验汇总图可见，未来一年每周的市场需求量在显著性水平为0.05的情况下服从=34.05的泊松分布，此时均值可以近似视为34。4.4.2问题四的分析由于未来一年每周的市场需求量不确定，我们假设未来一年每周的需求量di都为其均值34。在此基础上我们考虑最优的原材料进货和库存管理方式。在每周需求量一样的情况下，进货有成本，所以我们考虑采用定期定量的方式进行进货，即每隔一定时间进货一次，每次进货量相同。在确定了进货方式的基础上，就可以相应地推出库存管理方式。所以我们以利润最大化为目标对进货周期u和进货量g进行决策。 对于问题四，我们建立模型八进行求解。4.4.3模型八的建立

26、模型七的决策变量为进货周期u和进货量g。由问题分析和题意可知目标函数为max z=r-c1-c2-c3-c4其中，销售收益：r=price*pp=pi工人及工程师工资：c1=i=152(150nlw+10tiwnlw,0tiw4020tiw-400nlw,40tiw84 +500nla+15tianla,0tia4030tia-600nla,40tia84)设备的使用费用：c2=i=15220tifnlf+5168-tif)nlf库存费用：对于第i周内从周日到周六一直放在仓库的原材料有Si，其库存费用=40168si=6720si。从周日到周六库存量变动的原材料有qi，其库存量变动如下图：图5

27、 库存量变动图所以，其库存量=2440qi1+1+56+46+36+26+16=3360qi。综上c3=(6720si+3360qi)进货费用：c4=52u(inprice*g+120000)（注：52u表示未来一年内进货的次数）inprice=80000,g=080000,0g40800000.98,40g50800000.95,50g60800000.8,60di,0,qidi,销售量上限约束：pidi,资源均衡约束：115632qi18=nlwti(w)17568qi18=nlati(a)64368qi18=nlfti(f)式中：qi 表示第i周A0的产量，Si表示 第i周六原材料库存量

28、，di 表示第i周A0的需求量，u表示进货的周期，g表示进货量，gi表示第i周进货量，inprice表示进货价格，P表示未来一年总预期销售量，pi表示第i周预期销售量，dts(i)表示第i周周六的成品库存量。于是可以建立如下规划模型：max z=r-c1-c2-c3-c4s.t qi0,18,36qi+Si=Si-1+giS0=0gi=g,i=u+10, 其他，其中z+,52uqidi+51818qisi1818dts(i)+q(i)=p(i)+dts(i)dts(i)=pi-di,qidi,0,qidi,pidi,115632qi18=nlwti(w)17568qi18=nlati(a)64

29、368qi18=nlfti(f)4.4.4模型八的求解用matlab编程（程序见附录8），采用定步长搜索的方式进行求解，算法流程图如下： 图6 算法流程图企业效益预期最大为151135440元。此时，进货方式为：进货周期为2周，进货量为68套；库存管理方式为：生产的周每次库存为2套，不生产的周不进行库存；年预期销售量为1752艘。4.4.5问题四的检验我们注意到，第四题未来一年需求量数据与第三题的数据不同，且第四题有不同的库存规则。我们将第四题的数据带入到第三题的进货策略中运行，得到在第三题的库存策略（即库存达到能满足40艘轮船生产的原料数量时，不进货，否则进货，原材料的进货量为：使库存量正好

30、达到满足80艘轮船生产的原料数量）下的最大利润为117972080元。而与之相比，定期定量库存策略的最大利润更大，为151135440元。由此可见，定期定量的库存策略是一种优化改进。5 模型的优缺点分析与改进5.1模型的优缺点分析5.1.1模型的优点本文根据该造船企业实际情况，通过对企业生产的规划及库存管理的优化，对企业的生产与库存管理问题进行了详尽的研究与讨论，主要优点有：（1） 本文在正确、清晰地分析了题意的基础上，建立了合理、科学的模型。（2） 运用了正确的数据处理方法，很好地解决了小数取整的问题。（3） 建立模型的方法简单易行，且易应用于实际生活，具有很好的通用性。（4） 本文对问题结

31、果进行了检验、对模型进行了改进，建立的模型具有较好的推广价值。5.1.2模型的缺点（1）问题三所建立的两个模型是分步计算的，所得的解是局部最优解不一定为全局最优解。（2）问题四所建立的模型只考虑了一种进货策略，即定期定量的进货策略，其他策略未考虑。（3）问题四所建立的模型是在未来每周产品需求量为都为均值34的情况下建立的，并不能充分反映实际情况。（4）问题四所建立的模型没有考虑成品的库存费用和库存上限，可能导致在一年末的时候库存不为0的情况发生。5.2模型的改进（1）可以考虑运用定步长搜索的方法，将问题三所建的两个模型合为一个，以此避免只能解出局部最优解的缺点。 （2）在问题四中，考虑定期不定

32、量的进货策略，我们用matlab进行编程（程序见附录9）求解发现，最优的进货策略为：若库存达到能满足1艘轮船生产的原料数量时，不进货，否则进货，原材料的进货量为：使库存量正好达到满足72艘轮船生产的原料数量。此时的最大利润为：1.213亿，预期销售量为1768。此策略不如定期定量进货策略。（3）在问题四中，使用计算机模拟的方式（程序见附录10），生成1000组周需求量数据用来模拟未来实际情况，使用定步长搜索的方式搜索出使1000组数据平均利润最大化的进货策略。可以解得此时的最优定期定量进货策略：进货周期：2，进货量：63，最大化平均利润为1.17亿，预期销售量1579，这样所求得的进货策略是符

33、合未来实际情况的。参考文献1 吴亚敏 杨建新，均衡生产计划的数学模型，消费导刊，2007.9：196-197，2007。2 夏方礼，均衡生产问题，数学理论与应用，第21卷第2期：91-94，2001。附录附录1. 第一题第一小题lingo程序sets:!n-在一个生产周期内生产i零件的组数 t-生产单位零件所需时间 w-worker 生产零件所需工人数 a-artisan 生产零件所需工程师数 f-facility 生产零件所需设备台数; part/A0.A7/:n,t,w,a,f; !生产零件对其他中间产品的需求量 b(i,j)-生产i零件需要j零件数量; need(part,part):b

34、;endsets !目标A0生产组数最小; min=n(1);!均衡连续条件约束;for(part(j):(n(j)/t(j)=if(sum(part(i):b(i,j)#eq#0,n(j)/t(j),(sum(part(i):b(i,j)*(n(i)/t(i) ; !A0至少生产一组; n(1)=1;!整数约束;for(part(i):gin(n(i); !工人资源消耗; worker=sum(part(i):3*w(i)*n(i);!工程师资源消耗;artisan=sum(part(i):3*a(i)*n(i);!车床资源消耗;facility=sum(part(i):f(i)*n(i);

35、data: t=24 16 24 24 72 8 24 8; b=0 4 0 0 5 6 6 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0;w=6 2 3 6 2 4 4 1;a=1 1 0 1 1 0 1 0;f=3 1 1 2 1 2 2 1;enddata附录2. 第一题第二小题lingo程序sets:!n-在一个生产周期内生产i零件的组数 t-生产单位零件所需时间 w-worker 生产零件所需工人数 a-artisan 生产零件所需工程师数 f-facility 生产零件所需设备台数; part/A0.A7/:n,t,w,a,f; !生产零件对其他中间产品的需求量 b(i,j)-生产i零件需要j零件数量; need(part,part):b;endsets!目标A0生产数量最大; max=n(1)*PT/t(1); !均衡连续条件约束; for(part(j):(n(j)/t(j)=if(sum(part(i