4-1数学期望PowerPoint 演示文稿

1、1第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1 数学期望数学期望2 方差方差3 协方差及相关系数协方差及相关系数4 矩矩24.1 4.1 数学期望数学期望数学期望的概念数学期望的概念随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质数学期望的性质数学期望数学期望3例例1： 某班有某班有N人参加人参加 考试，其中有考试，其中有ni个人为个人为ai ,i=1,2,解：解： kiiNn1,平均成绩为：平均成绩为： kiiikiiiNnanaN111若用若用X表示成绩，则表示成绩，则iaXP kiiiNna1Nni kiiiaXPa1数学期望数学期望求平均成绩求平均成绩.4一、数学期望

2、的概念一、数学期望的概念1. 1. 离散型离散型设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为：的分布律为： ,kkpxXP ,2 , 1 k 1ikkpxEX 若级数若级数 绝对收敛，则称此级数的和为随绝对收敛，则称此级数的和为随 1ikkpx既有既有数学期望简称期望，又称均值数学期望简称期望，又称均值. . 数学期望数学期望机变量机变量 X 的数学期望。的数学期望。记作记作 :EX.5例例1 甲、乙两人射击，他们射击水平由下表给出：甲、乙两人射击，他们射击水平由下表给出：数学期望数学期望X:甲击中的环数甲击中的环数Y:乙击中的环数乙击中的环数试问哪一个人的射击水平高试问哪一个人的射击水平高?

3、解解: :甲、乙的平均环数为甲、乙的平均环数为:5 . 96 . 0103 . 091 . 08 EX1 . 93 . 0105 . 092 . 08 EY甲的射击水平比乙的高甲的射击水平比乙的高.从平均环数上看从平均环数上看62. 2. 连续型连续型设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为f(x)，若积分，若积分 绝对收敛，则称此积分值为绝对收敛，则称此积分值为X的数学期望的数学期望. dxxxf)( dxxxfEX)(记为记为说说 明明数学期望数学期望 X的数学期望刻画了的数学期望刻画了X变化的平均值变化的平均值.7例例2 设随机变量设随机变量X服从服从Cauchy分布分

4、布,其概率密度函数为其概率密度函数为数学期望数学期望说说 明明 xxxf2111 由于由于 dxxxdxxfx211 0212dxxx 021ln1x 因而因而EX不存在不存在. 非绝对收敛，非绝对收敛，积分积分 dxxxf(1) 定义中的级数与广义积分是否绝对收敛一般不验证定义中的级数与广义积分是否绝对收敛一般不验证.(2) 并不是任意一个随机变量均存在数学期望并不是任意一个随机变量均存在数学期望.8例例3 设有设有5个相互独立工作的电子装置个相互独立工作的电子装置, ,它们的寿命它们的寿命Xi 000 xxexfx (i=1,2,3,4,5)都服从参数为都服从参数为的指数分布的指数分布.1

5、.若将这若将这5个电子装置并联个电子装置并联, ,组成整机组成整机, ,求此整机的求此整机的平均寿命平均寿命E(M). .2.若将这若将这5个电子装置串联个电子装置串联, ,组成整机组成整机, ,求此整机的求此整机的平均寿命平均寿命E(N). .),i ,(543210 0001xxexFx 数学期望数学期望Xi(服从参数为服从参数为的指数分布的指数分布解解: :Xi的概率密度函数为的概率密度函数为Xi的分布函数为的分布函数为9 xFxFM5)( 000)1(5xxex 1. 令：令：M=max X1, X2, X3, X4, X5, X1, X2, X3, X4, X5是是其概率密度函数为：

6、其概率密度函数为： 00015)(4 xxeexfxxM dxxxfMEM)( 1160137 数学期望数学期望独立同分布的独立同分布的,于是于是利用第三章第五节利用第三章第五节P99;5.7式式 0415dxeexxx 10 xFxFM5)( 000)1(5xxex 2. 令：令：N=min X1, X2, X3, X4, X5, X1, X2, X3, X4, X5是是其概率密度函数为：其概率密度函数为： 00015)(4 xxeexfxxM dxxxfMEM)( 1160137 数学期望数学期望独立同分布的独立同分布的,于是于是利用第三章第五节利用第三章第五节P99;5.7式式 0415

7、dxeexxx 11 00015xxex xFxFiiN 1151N的分布函数为：的分布函数为：其概率密度函数为：其概率密度函数为：0005)(5 xxexfxN dxxxfNEN)( 51 数学期望数学期望2. 令：令：N=min X1, X2, X3, X4, X5, X1, X2, X3, X4, X5是是独立同分布的独立同分布的,于是于是利用第三章第五节利用第三章第五节P99;5.8式式 055dxexx 12二、二维随机变量的数学期望二、二维随机变量的数学期望1.1.离散型离散型若若(X, Y)是二维离散型随机变量，其边缘是二维离散型随机变量，其边缘 , 2 , 1, 2 , 1 j

8、pipji和和 1iiipx分布律为分布律为绝对收敛，则称此级数之和为绝对收敛，则称此级数之和为X的数学期望的数学期望. 1jjjpy如果级数如果级数 绝对收敛，则称此级数的和为绝对收敛，则称此级数的和为Y的数学期望。的数学期望。记为：记为：E(Y).数学期望数学期望，如果级数，如果级数记为：记为：E(X).13 若积分若积分 绝对收敛，则称此积分值为绝对收敛，则称此积分值为X dxxxfX)(记为：记为：E(X). 若积分若积分 绝对收敛，则称此积分值为绝对收敛，则称此积分值为Y dyyyfY)(记为：记为：E(Y).数学期望数学期望2.2.连续型连续型 若若(X, Y)是二维连续型随机变量

9、，其关于是二维连续型随机变量，其关于X,Y的边缘概率密度分别为：的边缘概率密度分别为： fX(x), fY(y).的数学期望的数学期望.的数学期望的数学期望.14若若(X, Y)联合分布律为联合分布律为pij ( (i,j=1,2,) 或或f(x,y),则则 1111ijijiijijipxpxXE 1111jiijjjiijjpypyYE dxdyyxfxdxxxfXEX , dydxyxfydyyyfYEY ,数学期望数学期望15三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望定理定理1 1设设 Y =g( X ), g( x ) 是连续函数，是连续函数，(2)若若X 的概率密度为的概

10、率密度为 f ( x )，绝绝对对且且 dxxfxg)()( dxxfxgEY)()(则则 1)(kkkxgpEY则则（1）若）若 X 的分布律为的分布律为: pk= PX= xk ( (k =1,2,) 绝对收敛，绝对收敛，且且 1)(kkkxgp收收敛敛，数学期望数学期望16说明说明 1.一个随机变量的数学期望是一个常数一个随机变量的数学期望是一个常数,它它 表示表示随机变量取值的平均随机变量取值的平均,与一般的算术平均值不与一般的算术平均值不 同，它同，它是以概率为权数的加权平均是以概率为权数的加权平均.反映了随机变反映了随机变 量分布的量分布的一大特征一大特征,即随机变量取值集中在期望

11、值即随机变量取值集中在期望值 附近附近.数学数学期望定义本身就是期望计算的公式期望定义本身就是期望计算的公式,但须知随机变量但须知随机变量的分布率或概率函数的分布率或概率函数.是否绝对收敛是否绝对收敛,并不是任何一个随机变并不是任何一个随机变 1kkkpx 2.一个随机变量的数学期望存在与否取决于一个随机变量的数学期望存在与否取决于 dxxxf)(或或量均存在数学期望。量均存在数学期望。 3.计算随机变量函数的数学期望时计算随机变量函数的数学期望时,只需知道只需知道X的分布即可。的分布即可。 数学期望数学期望17定理定理2 若若(X, Y)是二维随机变量，是二维随机变量，),(YXgZ (1)

12、 若若 ( X, Y ) 的分布律为的分布律为, 2 , 1, jipyYxXPijji 1,),(jiijjipyxgEZ则则绝对收敛，绝对收敛，且且 1,),(jiijjipyxg(2) 若若(X ,Y)的概率密度为的概率密度为 f ( x , y ) ，且，且 绝绝对对收收敛敛， dxdyyxfyxg),(),( dxdyyxfyxgEZ),(),(则则g ( x , y) 是二元是二元连续函数，连续函数，数学期望数学期望18例例6 设设(X,Y)在区域在区域A上服从均匀分布上服从均匀分布.其中其中A为为x轴轴,y 轴和直线轴和直线x+y+1=0所围成的区域所围成的区域.求求EX, E(

13、-3X+2Y), EXY. 其其它它；, 0),( , 2),(Ayxyxf解解 dxdyyxxf),( 01012xdyxdx)43(YXE 0101)23(2xdyyxdx0 xy01 yxEXY 01012xydyxdx dxdyyxfyx),()43( EX31 31 dxdyyxxyf),(121 数学期望数学期望19三、数学期望的性质三、数学期望的性质 niniiiiiEXaXaE11)(数学期望数学期望1. Ec=c,c 是常数是常数.若若aXb,则则 aEXb.2. E(cX)=cE(X),c 是常数是常数.3. E(aX+bY)=aEX+bEY.4. 若若X,Y相互独立相互独

14、立,则则E(XY)=EXEY.20证明证明3 若若X,Y是离散型随机变量是离散型随机变量,其联合概率函数为其联合概率函数为Pij, 11jiijjipyxYXE则则 1111jiijjjiijipypx YEXEpypxjjjiii 11若若X,Y是连续型随机变量是连续型随机变量,其联合概率密度为其联合概率密度为f(x,y), dxdyyxfyxYXE ,)(则则 dxdyyxfydxdyyxfx , YEXEdyyyfdxxxfYX 数学期望数学期望21推论推论 设有随机变量设有随机变量,21nXXX则有则有)()()()(2121nnXEXEXEXXXE nXEXEXEnXXXEnn)()()()(2121 推论推论 设有独立的随机变量设有独立的随机变量,21nXXX则有则有)()()()(2121nnXEXEXEXXXE 数学期望数学期望22例例7 一民航送客载有一民航送客载有20位旅客自机场开出位旅客自机场开出,旅客有旅客有10个车站可以下车个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停如到达一个车站没有旅客下车就不停车车.以以X表示停车的次数表示停车的次数,求求EX.(设每个旅客在各个车站设每个旅客在各个车站下车是