第八章刚体定点运动的动力学

1、v本章主要介绍运用质点系的三大定理解决刚本章主要介绍运用质点系的三大定理解决刚体定点运动动力学问题。体定点运动动力学问题。第八章第八章 刚体定点运动的动力学刚体定点运动的动力学v主要内容主要内容: 欧拉角欧拉角 欧拉运动学方程欧拉运动学方程 刚体定点运动的角动量和动能刚体定点运动的角动量和动能 惯量张量惯量张量 欧拉动力学方程欧拉动力学方程 欧拉欧拉- -潘索情况潘索情况11.1 11.1 欧拉角欧拉角 欧拉运动学方程欧拉运动学方程一一. . 欧拉角欧拉角 20 ,20,0 , 称为欧拉角称为欧拉角固定坐标系固定坐标系:o固定在刚体上的动固定在刚体上的动坐标系坐标系: .oxyz确定确定z轴的

2、位置轴的位置: 和和l0kk l)(节线节线.,即节线即节线为为面的交线面的交线面与面与onooxyl0kk l)(节节线线.,:;,:;,:0kk 自转角速度为自转角速度为自转角自转角章动角速度为章动角速度为章动角章动角进动角速度为进动角速度为进动角进动角kk 0 z z , ,进动章动kk 0l0kk l)(节节线线jiklkk cossinsinsincossincos0 ji sincos 二二. .欧拉运动学方程欧拉运动学方程.omzooxy面的交线为面的交线为面与面与 kjizyx 动系中动系中: cossincossincossinsinzyx-欧拉运动学方程欧拉运动学方程11.

3、211.2刚体定点运动的角动量和动能刚体定点运动的角动量和动能 惯量张量惯量张量本节介绍刚体作定点运动时具有的动量、角动量、动能本节介绍刚体作定点运动时具有的动量、角动量、动能的计算。的计算。cvmp 一一. . 刚体做定点运动时对定点的角动量的计算刚体做定点运动时对定点的角动量的计算 11121()11.2.2nniiiiiiiiniiiiiiiiniiiiilrm vrrmrrrrmrrr lliiiirx iy jz kiiiiijk 22111nnnxxiiiyiiiziiiiiilmyzm x ym x z 22111nnnyxiiiyiiiziiiiiilm y xmzxm y z

4、 22111nnnzxiiiyiiiziiiiiilm z xm z ymzy 221nxxiiiiimyz 221nyyiiiiimzx 221nzziiiiimxy1nyzzyiiiiiim y z 1nzxxziiiiiim z x 1nxyyxiiiiiim x y xxxxxyyxzzliiiyyxxyyyyzzliii zzxxzyyzzzliii (11.2.6)性系数性系数合在一起统称为惯合在一起统称为惯惯量积与转动惯量惯量积与转动惯量现对上述结果进行分析：现对上述结果进行分析：1）惯性系数决定于刚体质量对坐标系的分布。惯性系）惯性系数决定于刚体质量对坐标系的分布。惯性系数也可

5、用积分形式代替（数也可用积分形式代替（11.2.6）式；）式；mzyixxd22mxziyyd22myxizzd22mxyiiyxxydmzxiizxxzdmyziizyyzd张量张量i也可写成也可写成并矢形式：并矢形式：zzzyzxyzyyyxxzxyxxikki jkiikikji j jii jikii j iii ii 二二. . 惯量张量惯量张量xxxyxzyxyyyzzxzyzziiiiiiiiii 惯量张量是用来描述刚体惯量张量是用来描述刚体定点转动的惯性的物理量；定点转动的惯性的物理量；而转动惯量是描述刚体定而转动惯量是描述刚体定轴转动的惯性的物理量。轴转动的惯性的物理量。xx

6、xxyxzxyyxyyyzyzzxzyzzzliiiliiiliii （11.2.6）式式li线性变换关系称为仿射变换线性变换关系称为仿射变换三三. . 惯量主轴惯量主轴000000 xxxyxzxxyxyyyzyyzxzyzzzziiiiiiiiiiiii 000000 xxxxyyyyzzzzlililixxxyyyzzzliiijik使刚体对固定点的惯量张量中所有惯量积为零的坐标系使刚体对固定点的惯量张量中所有惯量积为零的坐标系为该点（为该点（o点）的主轴坐标系。点）的主轴坐标系。,xxyyzziii 为三个主轴的转动惯量(主转动惯量)若刚体定点运动的角速度沿一主轴方向，则角动量为若刚体

7、定点运动的角速度沿一主轴方向，则角动量为lil与 平行如何寻找惯量主轴呢？如何寻找惯量主轴呢？1）对均匀对称的刚体，其对称轴是轴上各点的惯量主轴。）对均匀对称的刚体，其对称轴是轴上各点的惯量主轴。分析：分析：某轴某轴(设设x轴轴)要为固定要为固定o点的惯量主轴的必要条件点的惯量主轴的必要条件.xxxxxyyxzzliiiyyxxyyyyzzliii zzxxzyyzzzliii 0,xxyxzxyxzxxxliiijikiilii则只要得设刚体以角速度设刚体以角速度 绕绕x轴转动轴转动,则则 ,根据根据i0:都为都为包含该轴的所有惯量积包含该轴的所有惯量积充要条件是充要条件是一固定点的惯量主轴

8、的一固定点的惯量主轴的所以某轴要为其轴上某所以某轴要为其轴上某若对称轴为若对称轴为x轴，刚体上有轴，刚体上有()0( ,)(,)()00,0,iiiiiiiiiiiiiiiiiiyxiiizxiiim y xm yxx y zx y zm z xm zxim y xim z x 2）刚体的对称面的法线，也是该法线所在轴上）刚体的对称面的法线，也是该法线所在轴上各点的惯量主轴各点的惯量主轴证明：证明：3）坐标系的两个轴是惯量主轴，则第三个轴也是）坐标系的两个轴是惯量主轴，则第三个轴也是主轴，此坐标系是主轴坐标系。主轴，此坐标系是主轴坐标系。4）以匀质旋转对称刚体的旋转对称轴（刚体绕此）以匀质旋转

9、对称刚体的旋转对称轴（刚体绕此轴转过任意角度都对称）为一轴的坐标系是主轴轴转过任意角度都对称）为一轴的坐标系是主轴坐标系。坐标系。四四. . 刚体做定点运动时的动能刚体做定点运动时的动能 2111111222nnni iiiiiiiiiitm rm vvm vr 111(11.2.20)22niiiitrm vlcababc利用xxxyyyzzzliiijik把式把式代入上式代入上式)(21222zzzyyyxxxiiit 得主轴坐标系上得主轴坐标系上动能表达式动能表达式:221212121 iillt 其中其中i为刚体对瞬时轴的转动惯量为刚体对瞬时轴的转动惯量.五五. . 惯量椭球惯量椭球研

10、究刚体对过定点的一个轴的转动惯量的表达式研究刚体对过定点的一个轴的转动惯量的表达式.以以刚体固定点为原点建立坐标系刚体固定点为原点建立坐标系oxyz坐标系，过坐标系，过o点点的的l轴方向余弦为轴方向余弦为),( )()()cos(222222222iiiiiiiiiiiiiiilzyxzyxmlrrmrrmmi 考虑到考虑到则上式化为则上式化为, 1222 liliiiiiiiilzxyzxyzzyyxxl 222222-如已知固定点的惯量张量如已知固定点的惯量张量,则可得过此点的任何轴的转动惯量则可得过此点的任何轴的转动惯量.我们从几何图象来描述转动惯量随轴方向分布的情况我们从几何图象来描述

11、转动惯量随轴方向分布的情况.在转动轴上取一长为在转动轴上取一长为r的线段的线段op,令令则则p点的坐标将是点的坐标将是代入式代入式 zxyzxyzzyyxxliiiiiii222222 得得p点的轨迹是点的轨迹是:1)1(22222222 lllzxyzxyzzyyxxiiirzxiyzixyiziyixi-椭球面椭球面,反映了转动惯量的分布情况反映了转动惯量的分布情况,又称惯量椭球又称惯量椭球.几点说明几点说明:1)对刚体不同固定点对刚体不同固定点,有不同的惯量椭球有不同的惯量椭球,它属于刚体中它属于刚体中某一点某一点.2)惯量椭球的惯量椭球的3个对称轴是固定点的个对称轴是固定点的3 个互相

12、垂直的主轴个互相垂直的主轴,若若 ,则惯量椭球是个旋转椭球则惯量椭球是个旋转椭球;如如 ,则惯量椭球为圆球则惯量椭球为圆球.yyxxii zzyyxxiii 3)利用惯量椭球可知刚体对固定点的角动量利用惯量椭球可知刚体对固定点的角动量l的方向是的方向是沿过椭球面角速度矢量沿过椭球面角速度矢量 与惯量椭球相交点与惯量椭球相交点p点的法线点的法线方向上方向上.(证明见书证明见书p303) 例题例题1: 一匀质薄圆盘能绕其中心一匀质薄圆盘能绕其中心o点做定点转动点做定点转动,其质其质量为量为m,半径为半径为r,已知英雄模范瞬时圆盘绕壶中心与盘已知英雄模范瞬时圆盘绕壶中心与盘面成面成 角的轴以角速度角

13、的轴以角速度 转动转动,试求此时圆盘对中心的试求此时圆盘对中心的角动量和圆盘的动能角动量和圆盘的动能,以及圆盘对此轴的转动惯量以及圆盘对此轴的转动惯量. 30解解: 建立过建立过o点的主轴坐标系点的主轴坐标系,依题意有依题意有: 60cos, 0,30cos21,4122 zyxzzyyxxmrimrii圆盘对圆盘对o点的角动量为点的角动量为:kmrimrkmrimrkijiiilzzzyyyxxx 2222418360cos2130cos41 z圆盘的动能为圆盘的动能为:22222222216521)81163(21)(21 mrmrmriiitzzzyyyxxx 22165:21mriit

14、l 相比较可得相比较可得与式与式 2222222222216541214341)60(cos)30(cos:222mrmrmriiiiiiiiiiiiizzxxzzyyxxlzxyzxyzzyyxxl 得得也可据式也可据式11.3 11.3 欧拉动力学方程欧拉动力学方程一一. . 欧拉动力学方程欧拉动力学方程我们采用刚体固定点的主轴坐标系我们采用刚体固定点的主轴坐标系oxyz,并与刚体固并与刚体固连连,则刚体对定点的角动量为则刚体对定点的角动量为:xxyyzzliiijik采用动坐标系，角动量定理为：采用动坐标系，角动量定理为：kdtdijdtdiidtdidtldmldtlddtldzzyy

15、xx 而而,)()()(kiijiiiiilyxyxxzxzzyzy kdtdijdtdiidtdidtldmldtlddtldzzyyxx 而而)2 . 3 .11(,所以（所以（11.3.2)式的投影方程为式的投影方程为: zyxyxzzyxzxzyyxzyzyxxmiidydimiidydimiidydi 欧勒动力学方程欧勒动力学方程思考为何这里采用动坐思考为何这里采用动坐标系标系, ,没考虑惯性力没考虑惯性力? ?结合欧拉运动学方程结合欧拉运动学方程 cossincossincossinsinzyx来求解刚体定点运动问题来求解刚体定点运动问题,但这两个方程组求解困难但这两个方程组求解困

16、难,到目前为止到目前为止,只有在下列三种情况才得到解析解只有在下列三种情况才得到解析解.1. 欧勒欧勒潘索情况潘索情况: 刚体不受外力矩作用的定点运动刚体不受外力矩作用的定点运动. 2. 拉格朗日拉格朗日泊松情况泊松情况: 即陀螺在重力场中的运动，即陀螺在重力场中的运动，要求对固定点要求对固定点o所作的惯量椭球是一旋转椭球所作的惯量椭球是一旋转椭球, 亦即亦即3个主转动惯量中有两个相等，个主转动惯量中有两个相等，ix=iy , 重心则位重心则位于动力对称轴上但不与固定点重合于动力对称轴上但不与固定点重合. 回转仪回转仪.3. c.b.柯凡律夫斯卡雅情况柯凡律夫斯卡雅情况: 在这一情况下，在这一

17、情况下，ixiy2iz, 而重心则在而重心则在oxy平面上平面上. 这也是一种对称陀螺这也是一种对称陀螺.zi 二二. .直接用角动量定理和质心运动定理外理比较直接用角动量定理和质心运动定理外理比较简单的定点运动问题简单的定点运动问题已知刚体的运动，求作用在刚体上的约束力。已知刚体的运动，求作用在刚体上的约束力。例例1 一个均质圆盘一个均质圆盘, 由于安装不善由于安装不善, 涡轮转动轴与盘面法涡轮转动轴与盘面法线成交角线成交角 . 圆盘质量为圆盘质量为m,半径半径r, 中心中心o在转轴上在转轴上, o至两至两轴承轴承a与与b的距离均为的距离均为a. 设轴以角速度设轴以角速度 转动转动, 试求轴

18、承试求轴承上的压力上的压力 解：以圆盘和转轴为系统，建立圆盘中心解：以圆盘和转轴为系统，建立圆盘中心o点的主轴坐点的主轴坐标系标系 ；为分解约束力再建；为分解约束力再建 zyxo oxyz对对z轴角动量知，轴角动量知， 常常量量 kjkmdydimiidydizzzyxyxzz cossin03zk 圆盘对圆盘对o点的角动量为点的角动量为kmrjmrkijilzzzyyy cos21sin4122mimrimrmrldtlddtld 2sin81cossin)4121(022222上式在上式在x，y方向的投影为：方向的投影为： )5()(0)4)(2sin8122naxnbxnbynayffaffamr 质心运动定理为：质心运动定理为： mgfmgfffffzyxfdtvdmnaznaznbynaynbxnaxec0)7(0)6(0,)(方向投影得方向投影得它在它在由（由（4）-（7）得：）得： 2sin161022mraffffnbynaynbxnax 由上式可知