第三章矩阵的标准型

1、教学目的教学目的 理解理解 矩阵的定义及不变因子矩阵的定义及不变因子 掌握用初等变换的方法化掌握用初等变换的方法化 矩阵为矩阵为smith标准形标准形 理解行列因子、初等因子及相关理论理解行列因子、初等因子及相关理论 掌握求矩阵的掌握求矩阵的jordan标准形的方法标准形的方法 了解了解cayley -hamilton定理定理 第三章第三章 矩阵与矩阵与矩阵的jordan标准形（ -matrix and jordan canonical form） 标准型的理论源自矩阵的相似性，因为相似矩阵有许多标准型的理论源自矩阵的相似性，因为相似矩阵有许多相似不变量：特征多项式、特征值（包括代数重数和几何

2、重相似不变量：特征多项式、特征值（包括代数重数和几何重数）、行列式、迹及秩等，并且特征向量也可以借助于可逆数）、行列式、迹及秩等，并且特征向量也可以借助于可逆的相似变换矩阵互相求出。这自然导出了寻找相似矩阵集合的相似变换矩阵互相求出。这自然导出了寻找相似矩阵集合中的中的“代表矩阵代表矩阵”的问题。的问题。“代表矩阵代表矩阵”当然越简单越好。当然越简单越好。对于可对角化矩阵，对于可对角化矩阵，“代表矩阵代表矩阵”就是特征值组成的对角矩就是特征值组成的对角矩阵。但是令人非常遗憾的是：阵。但是令人非常遗憾的是：一般矩阵未必与对角矩阵相一般矩阵未必与对角矩阵相似！似！预备知识：预备知识：若存在多项式若

3、存在多项式h( )，使得，使得f( ) =d( ) h( )， 称称d( )整除整除f( )，用用d( )| f( )表示；表示；设f( ) 与g( ) 为数域p上的两个一元多项式，若存在d( )满足d( )| f( )，d( )| g( )，称，称d( )为为f( )与与g( )的的公因公因式式；若若f( )与与g( )的任一公因式都是的任一公因式都是d( ) 的因式；称的因式；称d( )为f( )与与g( )的的最大公因式，并用（f( )，g( )）表示）表示f( )与与g( )的的首项系数为首项系数为1的最大公因式的最大公因式.2 矩阵及其在相抵下的标准型矩阵及其在相抵下的标准型 由于一

4、般矩阵与对角矩阵不相似，因此我们由于一般矩阵与对角矩阵不相似，因此我们“退退而求其次而求其次”，寻找，寻找“几乎对角的几乎对角的”矩阵。这就引出矩阵。这就引出了矩阵在相似下的各种标准型问题，其中了矩阵在相似下的各种标准型问题，其中jordan标标准型是准型是最接近对角的矩阵最接近对角的矩阵，只在第只在第1条对角线上取条对角线上取1或或0。弄清楚了矩阵相似的本质，理论上、计算上。弄清楚了矩阵相似的本质，理论上、计算上以及应用上的许多问题就容易处理了，当然花费也以及应用上的许多问题就容易处理了，当然花费也大了。大了。定义定义1 1 元素为元素为 的多项式的矩阵称为的多项式的矩阵称为 -矩矩阵阵，记

5、为，记为a( ( ) )。即即a( )=(aij( )m n(i=1,2,m;j=1,2,.n),其中其中aij( )是数域是数域p上的多项式。多项式上的多项式。多项式aij( )的最高次数称为的最高次数称为a( )的的次数次数，数域数域p上全体上全体m n的 -矩阵记为记为p m n.注：注：数字矩阵是数字矩阵是 -矩矩阵的特例。阵的特例。 数字矩阵数字矩阵a的特征矩阵的特征矩阵 i-a是是1次次 -矩矩阵。阵。1. 矩阵的基本概念矩阵的基本概念 矩阵的加法、减法、乘法和数乘运算同数字矩阵矩阵的加法、减法、乘法和数乘运算同数字矩阵的对应运算有相同的运算定律。的对应运算有相同的运算定律。 数字

6、矩阵行列式的定义也可应用到数字矩阵行列式的定义也可应用到 矩阵，且性质矩阵，且性质相同相同。 n阶阶 矩阵的行列式是矩阵的行列式是 的多项式，且满足的多项式，且满足 | |a( )b( )|=|a( ) |b( )| 定义定义2 设a( ) p m n，如果a( )中有一个r阶子式不为零，而所有r+1阶子式全为零，称a( )的秩为r，记为rank(a( )=r 数字矩阵数字矩阵a的特征矩阵的特征矩阵 i-a是是 的的n次行列式，所以是次行列式，所以是满秩的。满秩的。 矩阵的秩矩阵的秩 定义3 设a( ) p m n，如果存在一个存在一个n阶阶 矩阵b( )使得 a( )b( ) =b( ) a

7、( )=i 则称a( )可逆， b( )为a( )的逆矩阵记作的逆矩阵记作a( )-1。定理1 设设a( ) p m n，a( )可逆的充要条件是可逆的充要条件是|a( ) |是非是非零常数零常数。 矩阵的逆矩阵的逆 矩阵的初等变换矩阵的初等变换定义定义4 4 初等变换初等变换(1)对换两行（列）；对换两行（列）；(2)某行（列）乘上非零的常数某行（列）乘上非零的常数k；(3) 某一行某一行(列列)的的 ( )倍加到另一行，其中倍加到另一行，其中 ( )是是 的多项式的多项式对应三种初等变换，有三种初等矩阵对应三种初等变换，有三种初等矩阵p(i,j).p(i(k),p(i,j( )(1)做一次

8、初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等做一次初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵矩阵;(2)初等矩阵都是可逆的：初等矩阵都是可逆的：p(i,j)-1=p(i,j).p(i(k)-1=p(i(k-1)，p(i,j( )-1=p(i,j(- )相抵（等价）相抵（等价）定义定义5 设设a( ), b( ) p m n，若若a( )经有限次行、列初等经有限次行、列初等变换化为变换化为b( ),称称a( )与与b( )相抵相抵（等价）（等价） ，记为，记为a( ) b( )定理定理2 设设a( ), b( ) p m n，a( )与与b( )相抵的充要条件相抵的充要条件是存在是存在m阶

9、初等矩阵阶初等矩阵p1( ), p2( ), pl( ),与与n阶初等矩阵阶初等矩阵 q1( ), q2( ), qt( ), ，使得，使得 a( )=pl( ) p1( )b( ) q1( )q2( ) qt( ) 3. 矩阵在相抵下的标准型矩阵在相抵下的标准型定义定义6 该标准型称为该标准型称为a( )在在相抵下的标准型或相抵下的标准型或smith标准型；标准型；称称smith标准型标准型“主对角线主对角线”上非零元上非零元d1( ),d2( ),dr( ) 为为a( )的的不变因子不变因子定理定理 对任意一个秩为对任意一个秩为r的的m n 阶阶 -阵阵a( )，都相抵于一个标，都相抵于一

10、个标准型准型di( )为首项系数为为首项系数为1的的 多项式，且多项式，且di( ) |di+1( ) 00021)()()()( rddda例例1 求求矩阵矩阵的smith标准形 222211121 )(a解题思路： 经过一系列初等行变换或初等列变换使得左上角的元素次数逐渐降低，最后降低到可以整除其余所有的元素。 22322212122213121222211322213122220000100001000010012111012111121,)()()()()()(a 解解: 313323322322120000001000000100000100001)()()()()(1 d)(2 d

11、)(3 d不变因子：不变因子：将其化成将其化成smith标准形标准形。例例2 2)1()1()( a解：解： 1)2()1()1()1()1()1()(3232)2(22 rrcca 22)2(323)1()1(11)1()1(1)2(02)1(2323 ccrr3 矩阵的行列式因子和初等因子定义1 设a( ) p m n，且rank(a( )=r，对于正整数k (1k r),a( )中的全部k阶子式的最大公因式称为a( )的k阶行列式因子，记为dk( ).定理定理1 相抵的相抵的 矩阵有相同的秩和相同的各阶行列矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式因子式因子例1 求求 矩阵矩阵的各阶行列式因子。

12、2)1()1()( a解 由于由于( +1)2, )=1,所以所以d1( )=1)1()()()1()1(00)1()()1()1(00),()1(00)1(233222212 d故最后最后 d3( ) = det (a( ) = 2( +1)3 行列式因子和不变因子的关系设 矩阵a( )的smith标准形为 001)()( rdd其中其中di( ) (i=1,2r)是首项系数是是首项系数是1的不变因子，的不变因子，则a( )的各阶行列式因子如下： )()()()()()()()()( rrddddddddd2121211于是di( )|di+1( )，(i=1,2,r-1)di+1( )=d

13、i+1 ( )/di( ), (i=1,2,r-1)定理2 矩阵a( )的smith标准型唯一。定理3 设a( ), b( ) p m n，a( )与b( )相抵的充要条件是它们有相同的行列式因子，或它们有相同的不变因子。例2 求下列 矩阵的行列式因子和不变因子 一般来说应用行列式因子求不变因子较复杂，但对一些特殊的矩阵先求行列式因子再求不变因子反而简单。mmiiia 111)(其中 i是数域p中的常数。解 由于由于a( )的一个的一个m-1阶子式阶子式 故故dm-1( )=1,根据行列式因子的依次整除性，有根据行列式因子的依次整除性，有 d1( )=d2( )=dm-2( )=1 而而dm(

14、 )=( - i)m，因此，因此a( )的不变因子为的不变因子为 d1( )=d2( )=dm-1( )=1,dm( )=( - i)m1)1(111 mii 设设 矩阵矩阵a( )的不变因子为的不变因子为d1( ),d2( ),dr( ) ，在复数域内将，在复数域内将它们分解成一次因式的乘积它们分解成一次因式的乘积 rsrrsseseereseeeseeddd)()()()()()()()()()()()(21222211121121212211 其中，其中， 1 s是互异的复数，是互异的复数， eij是非负整数，满足是非负整数，满足 rsssrreeeeeeeee2122212121110

15、00初等因子初等因子定义定义2 在不变因子的分解式中，所有指数大于在不变因子的分解式中，所有指数大于0的因子的因子sjrieijejij,.2 , 1,.1, 0,)( 称为称为 矩阵矩阵a( )的初等因子。的初等因子。注：注：在在a( )的秩已知的情况下，不变因子和初等因子相互确的秩已知的情况下，不变因子和初等因子相互确定定例3 如果如果 矩阵矩阵a( )的不变因子为的不变因子为2,1, 2323(1) ,(1) ,(1) ,(1) ,(2)则则a( )的初等因子为的初等因子为)2()1()1()()1()1()(),1()(, 1)(332422321 dddd , , 2, -1, (

16、-1)2, ( -1)3, ( +1)2, ( +1)3, -2 反过来，如果知道了a()的秩和初等因子，因为a()的秩确定了不变因子的个数，则同一个一次因式的方幂做成的初等因子中，方次最高的必在dr()的分解中，方次次高的必在dr-1()的分解中，如此顺推，可知属于同一一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中唯一确定。例如 如果a( )的秩为4，且其初等因子为则a( )的不变因子依次不变因子依次为为d4( )= 2 ( -1)3 ( -i)3 ( +i)3d3( )= ( -1)2,d2( )= ( -1),d1( )=1 , , 2, -1, ( -1)2, ( -1)3, ( -i)

17、2, ( +i)3定理定理7 设设 矩阵矩阵为块对角形矩阵，则b( )与c( )的初等因子的全体是a( )的全部初等因子。该定理可以推广到n个分块的情形定理定理6 设设a( ), b( ) p m n，a( )与与b( )相抵的充要条件是相抵的充要条件是它们有相同的秩和相同的初等因子。它们有相同的秩和相同的初等因子。 )()()( cba例4 求22000000( )00(1)10022a的smith标准型解 记那么21223( ),( )(1)1( )22aaa )()()()(321 aaaa因为 a1( )的初等因子为 , +1; a2( )的初等因子为 , a3( )的初等因子为 ,

18、-1, +1；由上面的定理可知a( )的初等因子为 所以a( )的不变因子为 , , , -1, +1, +1d4( )= ( -1)( +1),d3( )= ( +1)d2( )= ,d1( )=1因此a( )的smith标准形为 )1)(1(0000)1(000000001)( a4 矩阵相似的条件矩阵相似的条件.定理定理1 数字方阵数字方阵a与与b相似的充分必要条件是它们的特征相似的充分必要条件是它们的特征矩阵矩阵 e-a与与 e-b相抵。相抵。定义定义1 n阶数字方阵阶数字方阵a的特征矩阵的特征矩阵 e-a的行列式因子，不的行列式因子，不变因子和初等因子分别称为变因子和初等因子分别称为

19、矩阵矩阵a的行列式因子，不变因的行列式因子，不变因子和初等因子。子和初等因子。4 矩阵相似的条件矩阵相似的条件.定理定理2 n阶数字方阵阶数字方阵a与与b相似的充分必要条件是他们满足相似的充分必要条件是他们满足如下条件之一：如下条件之一：（1）它们有相同的）它们有相同的行列式因子，行列式因子，（2）它们有相同的不变因子）它们有相同的不变因子,（3）它们有相同的初等因子。）它们有相同的初等因子。5 矩阵的矩阵的jordan标准型标准型定义定义1 称方阵称方阵为为 阶阶jordan 块。块。由若干个由若干个jordan 块组成的块对角矩块组成的块对角矩阵阵称为称为jordan 形矩阵。形矩阵。in

20、1(),1,2,1iiiiiiinnjis ni 阶阶jordan 块块ji的性质：的性质：（1） ji由有唯一的特征值由有唯一的特征值 i（2）特征值）特征值 i的几何重数为的几何重数为1，代数重数为，代数重数为ni （3） ji 有唯一的初等因子有唯一的初等因子 ；()inijordan 块块ji的性质的性质对应于特征值对应于特征值 仅有一个仅有一个线性无关的特征向量线性无关的特征向量i （4）jordan 块块ji的性质的性质可使用归纳法证明可使用归纳法证明111122221111iiiiiink nkkkikikikink nkkikikinnkikkikikicccccjcc 112

21、2(),(),()ssjdiag jjj 设jordan形矩阵其中，ji= ji( i)是ni阶阶jordan块，则块，则（1）j的初等因子为的初等因子为（2）j恰有恰有s个线性无关的特征向量；个线性无关的特征向量；注：注： jordan形矩阵的全部初等因子由它的全部形矩阵的全部初等因子由它的全部jordan块的块的初等因子决定初等因子决定 ，因此，因此jordan形矩阵除去其中形矩阵除去其中jordan块的排块的排列次序外被它的列次序外被它的初等因子初等因子唯一决定。唯一决定。,),.()( ,)(snsnn 2121定理定理1 设设 ，则则a可经过相似变换可化成唯一的可经过相似变换可化成唯

22、一的 jordan形矩阵形矩阵 (不计不计jordan块的排列次序块的排列次序)，称该，称该jordan形形矩阵矩阵1122(),(),()ssjdiag jjj 为为a的的jordan标准型标准型. ji( i)为为a的对应的对应初等因子初等因子 - i的的jordan块块n nac 求方阵求方阵的的jordan标准形。标准形。例例1 441301621a解： 首先用初等变换法求其首先用初等变换法求其jordan标准形：标准形：故故 a 的初等因子为的初等因子为 -1,( -1)2 2)1(1141131621 ai从而从而a的的jordan标准形为标准形为 或初等因子法的缺点是初等因子法的

23、缺点是不能求出相似变换矩阵不能求出相似变换矩阵。 100010011j 100110001j定理定理2 设设t是复数域上是复数域上n维线性空间维线性空间v的线性变换，则在的线性变换，则在v中存在一组基使得中存在一组基使得t在这组基下的矩阵是在这组基下的矩阵是 jordan形矩阵。形矩阵。定理定理3 设设a cn n，则，则a于一个对角阵相似的充要条件是于一个对角阵相似的充要条件是a的初等因子都是一次的。的初等因子都是一次的。求相似变换矩阵的步骤求相似变换矩阵的步骤 由定理由定理1知道，方阵与标准型知道，方阵与标准型j 是相似的，即存在可逆是相似的，即存在可逆矩阵矩阵p，使得：，使得：a=pjp

24、-1，即，即ap=pj,求法如下：求法如下：设nnncpppp ,21nnncjjjj ,21即即,212121nnnjjjppppppa 所以所以： nnnnnjpppapjpppapjpppap, ,2122121211解方程并选择适当的解方程并选择适当的 即得。即得。12,np pp求方阵求方阵的相似变换矩阵的相似变换矩阵 。例例2 441301621a解：解：由例由例1知，矩阵的知，矩阵的jordan标准型为标准型为 100110001j求相似变换矩阵：求相似变换矩阵： 设所求矩阵为设所求矩阵为p，则，则ap=pj ，对于，对于p 按列分块记为按列分块记为,321pppp ,10011

25、0001,3221321321321ppppppptjapapappppaap 从而：从而： 3232211 ppappappap2321)(, 0)(, 0)(ppaipaipai 整理后得三个方程组为：整理后得三个方程组为：前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系：础解系：,1 , 0 , 3,0 , 1 , 121tt 这是因为如果这是因为如果p2 选取不当会使得第三个非齐次线性方程选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。令：组无解。令： p2= k1 1+k2 2将将 其代入第三个方程，选取适当的其代入第三个方程，选取适当

26、的k1， k2使使(i-a)p3=-( k1 1+k2 2) 有解。有解。可以取可以取p1= 1,但不能简单取但不能简单取p2= 2.ttpp) 1 0, , 2(,) 1 1, , 2(32 根据非齐次方程有解的条件：根据非齐次方程有解的条件： 系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，容易计算出其系数矩阵的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，容易计算出其系数矩阵的秩为秩为1，从而应该使得增广矩阵的秩为，从而应该使得增广矩阵的秩为1 令令k1 =k2 =1，由此得，由此得 212122113113113622)|(kkkkkkai 那么所求相似变换矩阵为那么所求相似变换矩阵为 110011221,321ppp

27、p 1001100011japp三、三、 jordan标准形的某些应用标准形的某些应用对于方阵对于方阵a，求，求an,若若a=p-1jp, an =p-1jnp应用：应用：1）一阶差分方程）一阶差分方程uk+1=auk=aku0,例如：例如：fibonacci数列数列fk+2=fk+1+fk, 写成写成uk+1=auk形式形式21111112=+=1111a01011+ 51- 5=0.618=-0.61822,kkkkkkkkkkffffufffuu由由方方程程组组，令令则则，的的特特征征值值分分别别为为，三、三、 jordan标准形的某些应用标准形的某些应用这是一个动态问题，特征值决定增长

28、速度，是无限增长这是一个动态问题，特征值决定增长速度，是无限增长还是趋于稳定还是趋于稳定an0，称，称a是稳定的，是稳定的，如果所有的特征值如果所有的特征值1,且且a有有n个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，则则a是稳定的。是稳定的。1000112210010010010011122211=00 618,.fufuc xc xfcxcxc 写写成成特特征征向向量量的的线线性性组组合合形形式式则则三、三、 jordan标准形的某些应用标准形的某些应用例例3 对于方阵对于方阵 441301621a求a10解：解：由例由例1知，矩阵的知，矩阵的jordan标准型为标准型为 100110001j由例由例2知，矩阵的相似变换矩阵为知，矩阵的相似变换矩阵为 110011221p从而从而 311010309106020193112011201100101000111001122111010ppja6 cayley- hamilton定理与最小多项式定理与最小多项式定义1 任给数域 p 上一个n 级矩阵 a，若存在数域 p 上