大学物理第3章刚体的定轴转动

1、1第第 3 章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动2 刚体刚体-形状与大小都不变的物体（理想模型）形状与大小都不变的物体（理想模型） 刚体是一个特殊的质点系刚体是一个特殊的质点系 -质点之间的距离与相对位置都保持不变质点之间的距离与相对位置都保持不变3.1 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述1. 平动平动 2. 转动转动 定轴转动定轴转动 定点转动（有瞬时轴）定点转动（有瞬时轴） 这章学习方法这章学习方法: 对比法（对比质点力学）对比法（对比质点力学）3.1.1 刚体的运动刚体的运动 33.1.2 刚体的角量描述刚体的角量描述 1.角坐标角坐标 opxopop与极轴之间的夹角与极轴之间的夹角 称

2、称为为角坐标（或角位置）角坐标（或角位置）角坐标为标量，但可有正负。角坐标为标量，但可有正负。 刚体作刚体作定轴转动定轴转动时时, 刚体上各质点都作刚体上各质点都作圆周运动圆周运动。各质点运动的线量一般不同，但角量完全相同。各质点运动的线量一般不同，但角量完全相同。在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数：在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数： = (t)，称为转动方程。称为转动方程。4角坐标的增量角坐标的增量 称为刚体的角位移称为刚体的角位移2.角位移角位移 平均角速度平均角速度t 3.角速度角速度 角速度角速度t 0tlimtdd 角速度方向：角速度方向：满足右手定则，沿满足右手定则，沿刚体转

3、动方向右旋大拇指指向。刚体转动方向右旋大拇指指向。54.角加速度角加速度 平均角加速度平均角加速度角加速度角加速度t t 0tlimtdd 22ddt 角速度和角加速度都是矢量，但对于定轴转动的刚角速度和角加速度都是矢量，但对于定轴转动的刚体，体，角速度和角速度和角加速度的方向只有两个，角加速度的方向只有两个，我们用正我们用正负表示角速度和角加速度的方向。负表示角速度和角加速度的方向。65.角量与线量的关系角量与线量的关系 xosrpp路程与角位移的关系路程与角位移的关系 rs 线速度与角速度的关系线速度与角速度的关系 rv 圆周运动时加速度与角量的关系圆周运动时加速度与角量的关系dtdvat

4、 rva2n rdtdr r)r(2 2r 73.2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律3.2.1 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 1.力对转轴的矩力对转轴的矩 力对固定点的矩力对固定点的矩frm 力对固定轴的矩力对固定轴的矩opdrrfm把力分解为平行于转轴的分把力分解为平行于转轴的分量和垂直于转轴的分量。量和垂直于转轴的分量。平行转轴的力不产生转动效平行转轴的力不产生转动效果，对轴的矩为零。果，对轴的矩为零。 frm8【例【例1 1】一匀质细杆，长为一匀质细杆，长为 l 质量为质量为 m ，在摩擦系数，在摩擦系数为为 的的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩水平桌面上转动，求摩擦力的力矩 m阻阻

5、。【解【解】杆上各质元均受摩擦力作用，各质元所受的杆上各质元均受摩擦力作用，各质元所受的摩擦阻力矩不同。摩擦阻力矩不同。mlodmdxxx细杆的质量密度细杆的质量密度lm 质元质量质元质量dxdm 质元受阻力矩质元受阻力矩dmgxdm 阻细杆受的阻力矩细杆受的阻力矩 阻阻dmm2gl21 mgl21 l0gxdx 92. 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律考虑刚体上某一质元考虑刚体上某一质元 ，其受力如图所示。对质元应，其受力如图所示。对质元应用牛顿第二定律：用牛顿第二定律：iiiiamff 法向分力的力矩为零，对切向力有法向分力的力矩为零，对切向力有itiititamff iitiiitiit

6、ramrfrf 10 )rm(ramrfrf2iiiitiiitiit 对所有质元求和，得到对所有质元求和，得到左边第二项表示左边第二项表示内力矩之和，等于零。内力矩之和，等于零。左边第一项表示左边第一项表示合外力矩，记作合外力矩，记作m。 只与刚体的质量和质量相对转轴的分布只与刚体的质量和质量相对转轴的分布有关有关，称为刚体对轴的，称为刚体对轴的转动惯量，记作转动惯量，记作j。 )rm(2ii 则上式可简写成则上式可简写成 jm 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律iitiiitiitramrfrf 113.2.2 定轴转动刚体的转动惯量定轴转动刚体的转动惯量 )rm(j2ii 刚体的转动惯量与

7、刚体的形状、大小、质刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量的分布以及转轴的位置有关。量的分布以及转轴的位置有关。 对于质量连续分布的刚体对于质量连续分布的刚体 v2v2vdrmdrj s2s2sdrmdrj （面质量分布）（面质量分布） l2l2l drmdrj （线质量分布）（线质量分布）12【例【例2】半径为半径为 r 质量为质量为 m 的圆环，绕垂直于圆环的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量平面的质心轴转动，求转动惯量j。 m02dmrj【解【解】分割质量元，环上各质元到轴的距离相等。分割质量元，环上各质元到轴的距离相等。 m02dmr2mr 【例【例3】在无质轻杆的在无质轻

8、杆的 b 处处 3b 处各系质量为处各系质量为 2m 和和 m 的质点，可绕的质点，可绕 o轴转动，求质点系的转动惯量轴转动，求质点系的转动惯量j。【解【解】 21i2iirmj 22)b3(mmb2 2mb11 13or【例【例4】一质量为一质量为m，半径为，半径为r的均匀圆盘，求对通的均匀圆盘，求对通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。【解【解】rdr2md mdrj2 rdr23 r03rdr2j 2mr212r 4 rdr14【例【例5】长为长为 l、质量为、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂直的的匀质细杆，绕与杆垂直的质心轴转动，求转动惯量质心轴转动

9、，求转动惯量 j。xo【解【解】建立坐标系，分割质量元建立坐标系，分割质量元dxx dmxj22ml121 2l2l2dxlmx【例【例6】长为长为 l、质量为、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端轴的匀质细杆，绕细杆一端轴转动，求转动惯量转动，求转动惯量 j。【解【解】xodxx dmxj2 l02dxlmx2ml31 15 计算转动惯量计算转动惯量j 的三条有用的定理的三条有用的定理 （2）平行轴定理）平行轴定理: ijj2mdjj ca所以所以 jc 总是最小的。总是最小的。mjacdjc平行平行 （1）叠加定理）叠加定理: 对同一转轴对同一转轴 j 有可叠加性有可叠加性16（3）垂直轴定

10、理）垂直轴定理:（对薄平板刚体）（对薄平板刚体） myxmrdd222yxzjjj 【例【例7】求对薄圆盘的一条直径的转动惯量求对薄圆盘的一条直径的转动惯量221mrjz 224121mrjjmrjjjyxzyx yx z yi xioim ir0rxzxyy17【例【例8】 计算钟摆的转动惯量（已知：摆锤质量为计算钟摆的转动惯量（已知：摆锤质量为m，半径为半径为r，摆杆质量也为，摆杆质量也为m，长度为，长度为2r）。）。ro【解【解】 摆杆转动惯量：摆杆转动惯量： 221mr34r2m31j 摆锤转动惯量：摆锤转动惯量： 2222c2mr219r3mmr21mdjj 22221mr665mr

11、219mr34jjj 18 已知：两物体已知：两物体 m1、m2（m2 m1 ) 滑轮滑轮 m、r, 可看成质量均匀的圆盘可看成质量均匀的圆盘, 轴上的摩擦力矩为轴上的摩擦力矩为 mf（设绳轻，且（设绳轻，且 不伸长不伸长,与滑轮无相对滑动）。与滑轮无相对滑动）。求求:物体的加速度及绳中张力。物体的加速度及绳中张力。【例【例8】m1m2mr3.2.3 刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用 【解【解】分别对分别对m1, m2, m分析分析19因绳不伸长，有因绳不伸长，有 a1= a2= a因绳轻，有因绳轻，有2211,tttt对对m1有有对对 m2有有 m2g - t2= m2 a -（

12、2）gm11t1agm22t2amg2t 1t fmnr t1- m1g - = m1 a -（1）对滑轮对滑轮 m 由转动方程由转动方程-（3） 21221mrjmrtrtf 再从运动学关系上有再从运动学关系上有 raat 联立四式解得：联立四式解得：- （4）20 mmmrmgmmaf212112 2222111211mmmrmmgmmmagmtf 2222122122mmmrmmgmmmagmtf 21 当不计滑轮质量和摩擦力矩时当不计滑轮质量和摩擦力矩时: gmmmma1212 gmmmmtt2121212 （与中学作过的一致！）（与中学作过的一致！）m = 0, mf = 0 ，有有

13、讨论讨论22【解【解】 （1）建立坐标系，分割质量元。）建立坐标系，分割质量元。重力矩为：重力矩为：【例【例9 9】质量为质量为m,长为长为l的均质细棒的均质细棒,转轴在转轴在o点点,今使棒今使棒从静止开始由水平位置绕从静止开始由水平位置绕o点转动点转动,求求:（1）下摆到角）下摆到角时，细棒所受的重力矩时，细棒所受的重力矩;（2）水平位置的角速度和角）水平位置的角速度和角加速度加速度;（2）垂直位置时的角速度和角加速度。）垂直位置时的角速度和角加速度。oxdmgdmcmgx xdmgxgdmmcmgxm 据质心定义据质心定义mxdmxc 得得 cos2lmgm 即即23(2)(2)在水平位置

14、时在水平位置时0 2lmgm l2g33/mlmjm2 (3)任意角度任意角度时时 cos2lmgm l2cosg3jm l2cosg3dddddtddtd 由由积分积分 dl2cosg3d200 解得解得垂直位置时垂直位置时lg3 0 得到得到243.3 定轴转动刚体的功与能定轴转动刚体的功与能1.1.力矩的功力矩的功 opfddsrz 0mda刚体在外力作用下绕轴转过微小角位刚体在外力作用下绕轴转过微小角位移移 d，外外力作的微功为：力作的微功为：rdfda |rd| )2cos(f dssinf dsinfr md 刚体从刚体从 0位置转到位置转到 位置位置，外外力力作的功为：作的功为：

15、25注意：注意：1)1)力矩功并不是新概念，只是力的功的另一种力矩功并不是新概念，只是力的功的另一种表达方式。表达方式。2)2)内力矩对定轴转动刚体所作的功为零。内力矩对定轴转动刚体所作的功为零。2.刚体的动能刚体的动能 zmiiriv刚体中第刚体中第i个质元的动能：个质元的动能： 22ii2iii krm21m21e v整个刚体的转动动能：整个刚体的转动动能： 22iiikkrm21ee 22ii)rm(21 2j21 263.定轴转动刚体的动能定理定轴转动刚体的动能定理 设在外力矩设在外力矩 m 的作用下，刚体绕定轴发生角位移的作用下，刚体绕定轴发生角位移d 元功元功 dmad 由转动定律

16、由转动定律tddjm djdtddjad 有有 21dja 2122j21j21 刚体绕定轴转动的动能定理：刚体绕定轴转动的动能定理：合外力矩对刚体合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。所做的功等于刚体转动动能的增量。 274.4.刚体的重力势能刚体的重力势能 iighmep刚体是个质点系，其功能原理为刚体是个质点系，其功能原理为cmgh mhmmgii mimchihc- - 机械能守恒定律机械能守恒定律a外外+a内非内非=（ek2+ep2）-（ek1+ep1）5.定轴转动刚体的功能定理定轴转动刚体的功能定理 若若 a外外=a内非内非=o，则，则 ek+ep=常量常量28【解】【解】

17、只有重力作功，机械能守恒。只有重力作功，机械能守恒。22204874121mllmmlj )(解得解得lg7sin62 【例例10】已知：均匀直杆质量为已知：均匀直杆质量为m，长为，长为l，轴，轴o光光滑，滑， ，初始静止在水平位置。，初始静止在水平位置。求求: : 杆下杆下摆到摆到 角时角速度角时角速度 ？ 4/ lao 042120 sinlmgj0cabl , ml /4293.4 定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律3.4.1 定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理 iiiimrlv 质元质元 对轴的角动量为对轴的角动量为 imirivim定轴转动刚体上的

18、所有质元都作圆周运动定轴转动刚体上的所有质元都作圆周运动刚体对轴的角动量为刚体对轴的角动量为 i2iii2iiii)rm(rmll 得得 jl 30由刚体定轴转动定律由刚体定轴转动定律 jm dtdj dt)j(d dtdl dtdlm 0llttlldlmdt00 作用在刚体上的冲量矩等于作用时间内角动量的增量作用在刚体上的冲量矩等于作用时间内角动量的增量定轴转动刚体角动量定理微分形式定轴转动刚体角动量定理微分形式定轴转动刚体角动量定理积分形式定轴转动刚体角动量定理积分形式得到得到313.4.2 定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律 恒量 jl当当 m=0 时，则时，则定

19、轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理dtdlm 定轴转动刚体的角动量守恒定律：定轴转动刚体的角动量守恒定律：当刚体所受的合当刚体所受的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保持不变。外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保持不变。 该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕定轴转该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕定轴转动的任意物体系统。动的任意物体系统。 32【例例11】质量质量 m 长长 l 的均匀细杆可绕过其中点处的水的均匀细杆可绕过其中点处的水平光滑固定轴平光滑固定轴 0 转动，如果一质量为转动，如果一质量为 m的小球以速度的小球以速度 竖直落到棒的一端，发生弹性碰撞（忽略轴处摩擦）竖直落到

20、棒的一端，发生弹性碰撞（忽略轴处摩擦）求：碰后小球的速度及杆的角速度。求：碰后小球的速度及杆的角速度。ulm uvmo【解解】杆的角速度杆的角速度 肯定如图，假设小球碰后瞬时肯定如图，假设小球碰后瞬时的速度的速度 向上，如图所示。向上，如图所示。v系统系统：小球：小球+杆杆条件条件：m=0 角动量守恒（轴角动量守恒（轴力无力矩；小球的重力矩与碰力无力矩；小球的重力矩与碰撞的内力矩相比可以忽略）撞的内力矩相比可以忽略）33)1(212122lvmmllum 因为弹性碰撞因为弹性碰撞, 动能守恒动能守恒)2(2112121212222vmmlum 解得解得 ;33mmummv lmmum)3(6 讨论讨论1. 0 对对2. 当当 m 3m 时时,v 0（向上）（向上） 当当 m =3m 时时, v = 0（瞬时静止）（瞬时静止） 当当 m 3m 时时,v 0（向下）（向下）34orm0rmg32