53用正交变换化二次型为标准形

1、线性代数下页结束返回第三节第三节 用正交变换化二次型为标准形用正交变换化二次型为标准形 一、正交变换一、正交变换二、利用正交变换化二次型为标准形二、利用正交变换化二次型为标准形下页线性代数下页结束返回一、一、 正交变换正交变换定义定义1 设设p为为n阶正交矩阵，阶正交矩阵，x、y是是 中的中的n维向量维向量，nr称线性变换称线性变换 xpy 是是 上的正交变换上的正交变换.nr性质：性质：（1）正交变换是可逆线性变换；）正交变换是可逆线性变换； （2）正交变换不改变向量的内积）正交变换不改变向量的内积. .定理定理2 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的实对称矩阵的不同特征值对应的特征

2、向量是正交的. .定理定理1 实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵a的的 ri 重特征值重特征值l li 对应对应 ri 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量. .下页定理定理3 设设a为为n 阶实对称矩阵，则必有正交矩阵阶实对称矩阵，则必有正交矩阵p使使appappt1),(,21ndiaglll其中其中为为a的的n个特征值，个特征值，nlll,21正交矩阵正交矩阵p的的n个列向量个列向量是矩阵是矩阵a对应于这对应于这n个特征值的标准正交的特征向量个特征值的标准正交的特征向量.线性代数下页结束返回二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标

3、准形利用正交变换化二次型为标准形的方法（熟练掌握）：利用正交变换化二次型为标准形的方法（熟练掌握）： (1) 写出二次型的矩阵形式；写出二次型的矩阵形式； (2) 求出求出a的全部特征值的全部特征值1, 2, ， n ； (3) 对每一个特征值对每一个特征值i , 解方程解方程 (i e-a )x=0, 求出基础解系，求出基础解系， 然后用施密特正交化方法将其正交化，再标准化；然后用施密特正交化方法将其正交化，再标准化； (4) 将所有经过正交化标准化的特征向量作为列向量构成一将所有经过正交化标准化的特征向量作为列向量构成一 个矩阵就得到了正交矩阵个矩阵就得到了正交矩阵p，所求的正交变换为，所

4、求的正交变换为 xpy； (5) 所求二次型的标准形为所求二次型的标准形为2221122.nnfyyylll下页线性代数下页结束返回例例1.1. 用正交变换化下列二次型为标准形用正交变换化下列二次型为标准形323121232221321484363),(xxxxxxxxxxxxf解解: : 二次型的二次型的 f 系数矩阵为系数矩阵为324262423a矩阵的特征方程为：矩阵的特征方程为：324262423llllae0)7)(2(2ll解得，解得，1 1=-2,=-2,2 2=3 3=7=7724)7(262023llll124262023)7(lll1240210023)7(lll21023

5、)7(lll下页线性代数下页结束返回323121232221321484363),(xxxxxxxxxxxxf对于对于1 1=-2 =-2 ，解方程组，解方程组 ( (-2e-a-2e-a) )x x=0=0t)2 , 1 , 2(1对于732ll，解方程组(7e-a)x=0得基础解系得基础解系t) 1, 0 , 1 (2，t)2 , 4, 0(3. 将其正交化得将其正交化得将其单位化得将其单位化得t)32,31,32(1将其单位化得将其单位化得t)22, 0 ,22(2t)62,322,62(3解得，解得，1 1=-2,=-2,2 2=3 3=7=7t) 1, 0 , 1 (23,(1, 4

6、,1)t得基础解系得基础解系例例1.1. 用正交变换化下列二次型为标准形用正交变换化下列二次型为标准形下页线性代数下页结束返回323121232221321484363),(xxxxxxxxxxxxf622232322031622232,321p 令则通过正交变换则通过正交变换321321622232322031622232yyyxxx将二次型),(321xxxf化为标准形式232221772yyyf例例1.1. 用正交变换化下列二次型为标准形用正交变换化下列二次型为标准形下页线性代数下页结束返回例例2. 已知二次型已知二次型)0(2334),(32232221321axaxxxxxxxf通过

7、正交变换通过正交变换x=py化为标准形化为标准形,442232221yyyf求求a及正交变换矩阵及正交变换矩阵p解：解：f 的矩阵的矩阵a及标准形的矩阵及标准形的矩阵 分别为分别为3030004aaa200,040004 由已知条件得由已知条件得即即 4(9- a2) =32解得解得 a=1, a= -1 (舍去舍去) 由由a相似于对角阵相似于对角阵，得，得a的的 特征值为特征值为 1 1=2=2，2 2=3 3=4=4对于对于1 1=2 =2 ，解方程组，解方程组 (2e-a)x=0得基础解系得基础解系t) 1, 1, 0(1下页故故a相似于对角阵相似于对角阵，所以，所以 atp ap 1p

8、 ap线性代数下页结束返回把把单位化，得对应于单位化，得对应于1 1=2=2的单位特征向量的单位特征向量t)21,21, 0(1对于对于2 2=3 3=4 =4 ，解方程组，解方程组 ( (4e-a4e-a) )x x=0=0（注意求基础解系的过程）（注意求基础解系的过程）4ea 4- 4 0 0 00-1 4-3 30 4-3 0-1 0 0 0 0 -11 01 -100 00 0100-1例例2. 已知二次型已知二次型)0(2334),(32232221321axaxxxxxxxf通过正交变换通过正交变换x=py化为标准形化为标准形,442232221yyyf求求a及正交变换矩阵及正交变

9、换矩阵p下页线性代数下页结束返回4ea 4-4 0 0 00-1 4-304-30-1 0 0 0 0 -11 01 -100 01 00-10000 00 0100-1得得 (4e a)x 0 的一般解为的一般解为 x2 0 x1 x3其基础解系为其基础解系为t)0, 0, 1 (2t) 1, 1, 0(3例例2. 已知二次型已知二次型)0(2334),(32232221321axaxxxxxxxf通过正交变换通过正交变换x=py化为标准形化为标准形,442232221yyyf求求a及正交变换矩阵及正交变换矩阵p下页线性代数下页结束返回正交化标准化得将32,t)0, 0, 1 (2t)21,

10、21, 0(3所求的正交矩阵为所求的正交矩阵为2102121021010),(321p例例2. 已知二次型已知二次型)0(2334),(32232221321axaxxxxxxxf通过正交变换通过正交变换x=py化为标准形化为标准形,442232221yyyf求求a及正交变换矩阵及正交变换矩阵p下页得得 (4e a)x o的一般解为的一般解为 x2 0 x1 x3其基础解系为其基础解系为t)0, 0, 1 (2t) 1, 1, 0(300 01 00-100线性代数下页结束返回例例3. 已知二次型已知二次型323121232221321222),(xxxxxbxxaxxxxxf通过正交变换通过

11、正交变换x=py化为标准形化为标准形23224yyf，求a , b的值及正交变换矩阵及正交变换矩阵p解：解：f 的矩阵的矩阵a及标准形的矩阵及标准形的矩阵 分别为分别为111111abba000,010004 由由a相似于对角阵相似于对角阵，得的，得的 特征值为特征值为 1 1=0=0，2 2=1,=1,3 3=4=4对于对于1 1=0 =0 ，解方程组，解方程组 (0e - a)x=0得基础解系得基础解系t) 1, 0, 1 (1下页由已知条件得由已知条件得故故a相似于对角阵相似于对角阵，所以，所以 a tr(a)= tr()tp ap 1p ap2(1)025ba 31ab解得解得即即线性代数下页结束返回把把单位化，得对应于单位化，得对应于1 1=0=0的单位特征向量的单位特征向量t)21, 0,21(1类似可得对应于类似可得对应于= =的单位的单位特征向量为特征向量为t)31,31,31(2对应于对应于= =的单位特征向量为的单位特征向量为t)61,62,61(3所求的正交矩阵为所求的正交矩阵为