从一道题看物理奥赛所涉及的解题方法和技巧

1、从一道题看奥赛所涉及的解题方法和技巧从一道题看奥赛所涉及的解题方法和技巧2题目：设湖岸题目：设湖岸mn是一条直线，有一小船自岸边是一条直线，有一小船自岸边的的a点沿与湖岸成点沿与湖岸成15角的方向匀速向湖中角的方向匀速向湖中驶去，有一个人自驶去，有一个人自a点同时出发，他先沿岸走点同时出发，他先沿岸走一段再入水中游泳去追小船一段再入水中游泳去追小船.已知人在岸上走的速已知人在岸上走的速度为度为v1 =4m/s，在水中游泳的速度为，在水中游泳的速度为v22m/s，试求小船的速度至多为多大时，这人才能追上小试求小船的速度至多为多大时，这人才能追上小船？船？mnavmax=?3方法方法1：微元法：微

2、元法如图，设人在如图，设人在d点入水并在点入水并在b点点刚好刚好能追上小船，这表明：能追上小船，这表明：此时人追上小船所用时间最少，对应的小船速度最大此时人追上小船所用时间最少，对应的小船速度最大.fecbmnad 现设现设c、e是是d点两侧附近点两侧附近无限靠近无限靠近d点的两点，并点的两点，并设分别从设分别从c、e点入水追小船所用总时间相等点入水追小船所用总时间相等. 现在现在bc段截取段截取bf=be，那么那么bfe90. 由于从由于从c、e点入水追小船所用总时间相等，所以，人点入水追小船所用总时间相等，所以，人在在ce段走与在段走与在cf段游泳所用时间相等段游泳所用时间相等.d点两侧各

3、有入水点点两侧各有入水点c和和e，使得在该处入水追，使得在该处入水追船所用时间相等船所用时间相等.4于是于是21vcfvce所以所以21coscecf 60因为因为c、e两点无限靠近两点无限靠近d点，所以点，所以bdn6060.fdaecmnbk作作bkbd交交mn于于k，于是，于是dk=2bd.又因为又因为v1=2v2,则人游则人游dk段与走段与走dk段所用时间相等段所用时间相等.所以所以人自出发经人自出发经d点再到点再到b点与人由点与人由a点一直走到点一直走到k点所用时间点所用时间相同，并都等于小船从相同，并都等于小船从a到到b所用的最少时间所用的最少时间.5即有即有1maxvakvab在

4、在abk中，中，用正弦定理可用正弦定理可得：得：21135sin30sinakab那么那么)/(2222211maxsmvvvfdaecmnbk6方法方法2：类比法：类比法bd设想设想mn为甲和乙两种介质的为甲和乙两种介质的分界面，光在甲中的速度为分界面，光在甲中的速度为v1，在乙中的速度为，在乙中的速度为v2，据费马原理可知，据费马原理可知，bda是光从是光从b传到传到a费时最少费时最少的路径，而的路径，而是临界角是临界角. 这可类比本题人从这可类比本题人从a经经d到到b的的追船情况追船情况.由此得：由此得：30arcsin12vv下面解法与方法下面解法与方法1相同相同.最后可得：最后可得：

5、)/(22maxsmvma乙乙甲甲n7方法方法3：图解法：图解法mneak如图，设人开如图，设人开始运动就一直始运动就一直游泳，那么他游泳，那么他能到达的区域能到达的区域是以是以a为圆心、以为圆心、以v2t为半径的半圆中的任何一点，若他为半径的半圆中的任何一点，若他一直沿湖岸走，那么他在一直沿湖岸走，那么他在t时间内可以到达时间内可以到达akv1t中的中的任何一点，若他先沿岸走一段再入水追船，那么任何一点，若他先沿岸走一段再入水追船，那么 他可以他可以在在t时间内到达图中时间内到达图中aef中的任何一点中的任何一点.所以，他若能所以，他若能追上船，船也必须在追上船，船也必须在t时间内到达这区域

6、时间内到达这区域.b 由于题设小船沿由于题设小船沿角的方向运动，所以沿此方向的角的方向运动，所以沿此方向的直线与直线与ek线的交点线的交点b是船以最大速度运动且又能被人追是船以最大速度运动且又能被人追上的地点上的地点.8bmneak在在rtaek中，中，因为因为ak=2ae，所以所以ake30，于是，于是，abk180 15 30135在在abk中中,据正弦定理得：据正弦定理得：21135sin30sinakab而而1max1maxvvtvtvakab所以所以)/(2222211maxsmvvv9方法方法4：矢量图解法：矢量图解法设人先沿岸走一段，再入水设人先沿岸走一段，再入水追船，以船为参考

7、系，追船，以船为参考系，由于人和船是同时由由于人和船是同时由a点出发的，则人在沿岸走时，船点出发的，则人在沿岸走时，船看到人正在由船所在位置逐渐看到人正在由船所在位置逐渐“离去离去”，离去的相对，离去的相对速度为速度为 ： 1uvvu11vvu221vkmna2v要人能追上船，即人能回到船上，则其返回的相对速度要人能追上船，即人能回到船上，则其返回的相对速度 必须沿必须沿 的反方向，返回的相对速度的反方向，返回的相对速度 为：为：1u2u2uc作图：作图：(1)以以mn线上的线上的a点为起点作矢量点为起点作矢量 得得k点；点；1v(2)以以a点为圆心，以点为圆心，以v2的大小为半径作圆的大小为

8、半径作圆;(3)作直线作直线ac，使它与，使它与mn线的夹角为线的夹角为15；10v2u1ueb2vmnac1vk1u设设k点与圆上的任一点点与圆上的任一点e的连线与的连线与ac线的交点为线的交点为b，则则ab表示船速，表示船速，bk表示表示人相对船的人相对船的“离开离开”速速度度 ，而，而be表示人相对表示人相对船的船的“返回返回”速度速度 .2u显然，当显然，当ke与圆相切时，与圆相切时，ab 线最长，表示船速最大，线最长，表示船速最大，由此有作图步骤由此有作图步骤:由于由于ak=ae，所以，所以，akf30， abe45.因而因而abe为等腰直角三角形，那么为等腰直角三角形，那么)/(2

9、222maxsmvv（4）作）作ke与圆相切于与圆相切于e点，并与点，并与ac相交于相交于b点点.11方法方法5：等效法：等效法mnab设人在设人在b点追上船，点追上船，则人到达则人到达b点可能有很点可能有很多途径，如多途径，如acb，adb,aeb等等,这些途径中耗时最少的途径对应着允许的最大船速，这些途径中耗时最少的途径对应着允许的最大船速，作作nap30，并分别作，并分别作ck,dh,ef垂直垂直ap，其中设，其中设bdh为直线，为直线，cdekhfp30又设想又设想mn线下方也变成湖水区域，线下方也变成湖水区域，则因为则因为ac=2ck,所以人由所以人由k点游泳到点游泳到c点所用时间与

10、点所用时间与人在岸上走由人在岸上走由a点到点到c点所用时间是相等的点所用时间是相等的. 故人按题设情况经路径故人按题设情况经路径acb所用时间与假想人全所用时间与假想人全部在水中游泳游过路径部在水中游泳游过路径kcb所用时间相等，所用时间相等，同理，人按题设情况经路径同理，人按题设情况经路径adb所用时间与假想所用时间与假想人全部在水中游泳游过路径人全部在水中游泳游过路径hdb所用时间相等，所用时间相等，12人按题设情况经路径人按题设情况经路径aeb所用时间与假想所用时间与假想人全部在水中游泳游过路人全部在水中游泳游过路径径feb所用时间相等，所用时间相等，cdekhfp30mnab显然，在这

11、些途径中，因为显然，在这些途径中，因为hdb是直线，因此所用时间最少是直线，因此所用时间最少.由以上分析可知，人沿等效途径由以上分析可知，人沿等效途径hdb游泳就费时最少地游泳就费时最少地刚好追上船，这对应着最大船速，设为刚好追上船，这对应着最大船速，设为vmax，则有，则有2maxvbhvab因为因为ahb是等腰直角三角形，所以是等腰直角三角形，所以bhab2故得故得)/(2222maxsmvv13方法方法6：极值法（利用三角函数）：极值法（利用三角函数）mnabcd如图，设人沿岸走到如图，设人沿岸走到d点时，船点时，船航行到航行到c点，此时人入水游泳就点，此时人入水游泳就刚好能在刚好能在b

12、点追上船点追上船.在在acd中应用正弦定理得中应用正弦定理得acad)sin()sin(又设此时船速为又设此时船速为v，人由，人由a点走到点走到d点耗时为点耗时为t，则，则vtactvad,1由以上两式得由以上两式得vv1)sin(sin14mnabcd) 1 ()sin(sin1vv又在又在cdb中应用正弦定理得中应用正弦定理得bcbd)sin(sin设人游过设人游过db段所用时间为段所用时间为 ,则则tt vcbtvbd,2由以上两式得由以上两式得)2()sin(sin2vv由（由（1）、（）、（2）式，并注意）式，并注意 ，可得，可得212vv )3()sin(2)sin(15mnabc

13、d)3()sin(2)sin(又由于又由于 ， 要要v尽可能尽可能大，大，即需即需ac/ad尽可能大，尽可能大，1vvadac而而越大，则越大，则ac越大，越大，也也越大，且（越大，且（）为锐角，则）为锐角，则sin （）随（随（）增大而增大，故得）增大而增大，故得sin （）最大时，最大时，最大，最大，由于由于为恒量，则为恒量，则越大，则越大，则由（由（3）式可见，当）式可见，当sin （）1时，时，sin （）有最大值为有最大值为1/2，此时对应的，此时对应的值为值为 45，由此得，由此得 ， 45于是于是cdb是等腰直角三角形，则有是等腰直角三角形，则有16mnabcd22maxbdbc

14、vv所以，所以，)/(2222maxsmvv17方法方法7：极值法（利用一元二次函数判别式）：极值法（利用一元二次函数判别式）如图，设船出发后经时间如图，设船出发后经时间t被人追上被人追上.则船的位移为则船的位移为s=vt，又设人在岸上走，又设人在岸上走用时为用时为kt（0k1)，位移为，位移为s1=kv1t,人在湖中游用时为人在湖中游用时为(1k)t（0k1)，位移为位移为s2=(1-k)v2t.那么，据余弦定理有：那么，据余弦定理有：cos2121222sssss把把s、s1、s2的表达式及的表达式及v1、v2的值代入并整理可得的值代入并整理可得15cos816)1 (4222kvvkk又

15、又2213432230cos115cos于是有于是有0)4(8)26(21222vkvknmasbs1s2d180)4(8)26(21222vkvk要这方程有实数解，其判别式要这方程有实数解，其判别式应满足：应满足：0)4(488)26(222vv由此可解得：由此可解得：22v或或) 13(22v由本题的物理情景可知只能取：由本题的物理情景可知只能取：)/(22maxsmv19方法方法8：极值法（利用一元二次函数判别式）：极值法（利用一元二次函数判别式）如图，设人在岸上如图，设人在岸上d处入水追船，运处入水追船，运动方向与湖岸成动方向与湖岸成角角,并在并在b点处追上点处追上船，这人由船，这人由

16、adb用时为用时为t .则则sincot21vdvdlt) 1 ()sincossin1(121dvvvl上式表明：上式表明：t与与有关，且在有关，且在d、l、v1、v2一定时，由一定时，由决决定定,研究函数研究函数)2(sincossin112vvyddmnabl20sincossin112vvy两边平方得：两边平方得：2222122221212sincoscos2vvvvvvy)3()cos1 (coscos2222212222121vvvvvv整理后得：整理后得：0)1 (cos2cos)(222212122222212vyvvvvvvy此方程有实数解的条件是：判别式此方程有实数解的条件是：判别式0，即有，即有210)1 ()(442222122222122221vyvvvvyvv由此解得：由此解得：222122212vvvvy所以所以)4(222122212minvvvvy由（由（3）