拉格朗日动力学

1、第八章拉格朗日动力学L=T-V.1基本方程及其简单应用基本方程d ? L dt ?q=1, Z,sd ? L dt ?q=Q2? ,s=1,理想约束的完整有势系统? L?- =0 ,q存在非有势力的理想约束的完整系统注：通常约束力不出现在动力学方程中；方程组的数目等于自由度数 ; 每一个方程都是二阶常微分方程简单应用处理问题的基本步骤(套路固定)：(1) 判断是否为理想约束的完整有势系统(2) 判断系统自由度并选择合适的广义坐标(3) 将L=T-表示成只含广义坐标、广义速度和时间的函数 *(4) 对于有势系统，将L代入拉格朗日方程得到系统的运动微分方程(5) 对于非有势系统，还通过定义要求出非

2、有势力对应的广义力，连同L一起代入拉格朗日方程得到系统的运动微分方程注：从处理问题角度来看，拉格朗日方法比较规范，不需要太多的技巧。不像牛顿方法对同一个问题的处理可以采用多种方案例题1质量为m的质点，被约束在半顶角为 a 的光滑固定圆锥面上运动，试通过拉格朗日 方程,写出质点的运动微分方程.解：此为理想约束完整有势系.建立图示本征系Oxy以及取柱坐标p , 0 ,z面内运动自由度为v= ez ez2，可选p , 0e?T= m为广义坐标.22CSC2=zta nV=mgzmgL=T- V=cotm2csC92xp222 gcot=0代入拉格朗日方程得到CSC2=con st.2=con st.

3、dt7mgV二 mg cos例题2求弹簧摆的振动方程.已知质量为 m的摆锤挂在轻弹簧上，弹簧一端固定于 点O并能在xy面内自由旋转.弹簧的自然 长度为I，劲度系数为k.解：理想约束完整有势系.自由度为2，选极坐标p , 9为广义坐标.T=Ynq ，tQ=con st.? q? fq ,t =l X=l Xl=l?n q ,t =const? LQ=con st.=con st.=con st.n广义能量和广义能量积分【定义】广义能量 H= 尹q - Lq=t【定义】时间平移变换：t【推论】若力学系统具有时间平移不变性，则系统广义能量守恒.证明：在时间平移变换下-=limo=1诺特定理? LL-

4、q=con st.? |? H=Xc e - L=const.（证毕）? q -广义能量积分注：也可直接用拉格朗日方程证明dH/dt字4?仁然后得到结论冋：广义能量是否就是牛顿力学中质点系的机械能呢?drnT=n q ,t? Vn=dttn qE ?qnV? Vn=2 EnmEq2 EEnmn? r ? rnE E?qn nnm?q? t21? rn? t2 Ennmnn【引理】齐次函数欧拉定理：若f（入x,入y,入z）=X f（x,y，Z则亦X 不 y Vz z=n f证明：令x =入x, n =入y, Z =入乙把定义式两边同时对 入求偏导可得然后令入=1即可得证.【定理】系统广义能量满足

5、:H=T -T +V2 0证明：L=T-V=T +T +T -V厂 210厂?TX 2q5 讨=2T 2上一引理= X? TTq?q二Ti ? H=X? L q - l=T2- To v? q（证毕）E ?Toq =0 ?q也就是说，写出T后，要看T是不是广义速度的二次齐次式。如果T=T，（即T =,T =），此时H=T +V=T即广义能量等于系统2 10 2的机械能一般情况下，广义能量不是系统的机械能 例题4长2a质量为m的匀质直杆AB, A端与光滑水平面接触，在重力作用下从竖直位置被自由释放倒下.求杆落地瞬间的角速度A解：由于重力和水平面支持力在竖直面内, 由对称性可知杆一直在竖直面内运动

6、自由度为2受理想约束的完整系建立图示本征系Oxy选 A端在x轴上的坐标x 以及杆与x轴夹角6为广义坐标.下面关键计算杆的拉格朗日函数，主动力是有势的，以O为势能零点，势能可写为V=mg 8in根据柯尼希定理，杆的动能可以写为CBIOxxm T= vC2 2而质心速度可以用刚体速度公式求得Vc=VaAC)Va=X* x= zAC=a cos xsin y-a2=x 2- 2a x sina2 22 =x* 2- 2a x a22Vc=xsinsinx a cosm2- 2a x sina22max 2- 2a x2=m xsin2maT=2- 2a x2m622sin2ma32- 2a x2 -

7、 -mg ainsin2ma2- mg ainL=T-V=x23先看看有没有守恒量.L不含x,故有守恒量p）= ? L =m x - a sin=ci（水平方向动量守?x恒）利用初始条件 t=0时：x =0, =0? Ci=0 ? x =a sinL不显含t，且T=T,故机械能守恒26g 1- sin2A2二（想想为什么不取+号？）a 牛 3 sinx杆落地瞬间，=0?3g/2a.注：利用分析力学解题也会优先考虑守恒定律 .另外，本题用分析 力学并不比牛顿力学有优势，实际上牛顿力学可直接写出守恒定律例题5质量为m的小环P被限制在一半径为R的光滑大圆环上，大圆环绕过环心的铅垂轴以角速度3匀速转动

8、.初始时小环在大环的最高点，且相对大环静止，然后无初速地滑下.试通过存在的第一 积分建立小环相对大环的运动微分方程解：以小环为研究对象，它是受理想约束的 完整系统.取球坐标，有2个约束方程r=R, = t0因此自由度为1可以取图示角度9T= m 广 2 r2-2 2 術 2=m 2 r2 * 2r2sii2=2 - 2R 2 * 2 R22sii?=T2 * 2 RL-2sii2=T以O为势能零点，势能可表示为 V=mg Ros由于L=T-不显含时间，所以广义能量守恒：H=T / To V= mR R2 2sii2mgICOs =const.2 2-2 m 2 2sh2mgRos =const

9、.2- m2利用初始条件t=0时:=0,=0? H=mgR? H=T2-to v= m r 厂 22.mR22 22朋2sirrmg Ros =mgR mgCOs =mgR?2-2sin2g/Rcos -1 =0此即小环的运动微分方程.注: (1)本题中小环受到的约束=t是非定常约束0(2本题中广义能量不是相对地面惯性系的机械能(T工T),2H=T 2- To2mR2而是相对于固连于大环的耳非惯性系中小环的总能量2sir2 mgCOs2壽mg Ros相对动能2.惯性离心能 （想想为什么重力势能思考题质量为m三角形楔置于光滑水平面上，质量为 m半径1 2为r匀质圆柱可沿斜面无滑滚动。(1试用牛顿

10、力学的质点系动力学方法寻找系统的守恒量(2试用分析力学的拉格朗日方法寻找系统的守恒量特别注意：柱体质心相对于楔的速度沿斜面方向! 无滑条件(接触点相对速度为零)8.3多自由度系统的微振动问题的背景世界是由原子：:一和分子组成的V在真实世界中原子总是在微振动H H弹簧质点系统（多自由度）简化模型（透视多自由度振动特征）考虑两质量为m的质点，被限制在光滑水平线连接两质点个轻弹簧沿的宀+劲度系数为k，两侧弹簧的劲度系数为ik ,它的外端被固定，两质点2静止时各弹簧无伸长运动微分方程有频率方程mTX k x=02- m1 k=0固自然的问题：在多自由度振动中，上述方程是否有对应的形式?简正频率（固有频

11、率）和简正模式如图所示，选取x和x作为广义坐标，分别表示两质点相对自身1 2平衡位置的位移.（推导运动微分方程)引入记号M=m 00 m K=ki,=系统质量矩阵系统刚度矩阵（对称正定）（对称正定）【定理】系统的运动微分方程为MK =0m *x k x=0与单自由度比较:兀2证明思路:m k m k A- H.O系统拉格朗日函数为L=T-ixk2X2 2k2X2222X2- Xi特点：这里动能是广义速度的二次型，势能是广义坐标的二次型代入拉格朗日方程可得mXf ki k2 Xi- ki X2=0 mx2- kixi ki k2 X2=0写成矩阵形式即可（证毕）（推导频率满足的方程 ）【推论】系统的运动微分方程有书=AC0St+a ）形式的解，其中3满足特征方程2M=0det（单自由度对应）证明思路：MK=0?M-1K =0这个方程类似于谐振子方程，故可猜测有2 =AC0S3 t+a ）形式的解.将2 =AC0S3 t+a ）代入可得M-1K=0M-1 KA= 2