实验二、刚体转动惯量测量

1、 基本概念基本概念转动惯量转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，是是刚体转动惯性大小的量度，是表征刚体特性的一个物理量。表征刚体特性的一个物理量。如果刚体形状简单，且质量分布均匀，可如果刚体形状简单，且质量分布均匀，可直接计算出它绕特定轴的转动惯量。直接计算出它绕特定轴的转动惯量。 转动惯量的大小不仅与物体质量有关外，转动惯量的大小不仅与物体质量有关外，还与转轴的位置和质量分布（即形状、大还与转轴的位置和质量分布（即形状、大小和密度）有关。小和密度）有关。一般公式为：一般公式为：mdmri2均质圆柱形刚体通过其轴心的转动均质圆柱形刚体通过其轴心的转动惯量为惯量为200081dmi 式中式中m0为圆

2、柱体的质量，为圆柱体的质量，d为圆柱为圆柱体的直径。体的直径。均质圆环形刚体通过其轴心的转动均质圆环形刚体通过其轴心的转动惯量为惯量为22211181ddmi式中式中m1为圆环的质量，为圆环的质量，d1、d2为圆为圆环的内、外直径。环的内、外直径。1、学会用三线摆测定物体的转动惯量。学会用三线摆测定物体的转动惯量。2、学会用累积放大法测量周期运动的周学会用累积放大法测量周期运动的周 期期。3、验证转动惯量的平行轴定理。验证转动惯量的平行轴定理。二、实验原理二、实验原理右图是三线摆实验右图是三线摆实验装置图。装置图。 右图是三线摆实验装置示意图：右图是三线摆实验装置示意图：上、下圆盘均处于水上、

3、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上。平，悬挂在横梁上。三个对称分布的等长三个对称分布的等长悬线将两圆盘相连。悬线将两圆盘相连。上圆盘固定，下圆盘上圆盘固定，下圆盘可绕中心轴作扭摆运可绕中心轴作扭摆运动。动。 当下盘转动角度很当下盘转动角度很小，且略去空气阻小，且略去空气阻力时，扭摆的运动力时，扭摆的运动可近似看作简谐运可近似看作简谐运动。动。 根据能量守恒定律和刚体转动定律均根据能量守恒定律和刚体转动定律均可以导出可以导出下圆盘下圆盘绕中心轴的转动惯量绕中心轴的转动惯量202004thgrrmi式中各物理量的意义如下式中各物理量的意义如下：m m0 0为下盘的质量；为下盘的质量；r r、r r分别

4、为上下悬点所在圆的半径；分别为上下悬点所在圆的半径；h h为平衡为平衡时上下盘间的垂直距离；时上下盘间的垂直距离；t0为下盘作简谐运动为下盘作简谐运动的周期，的周期，g g为重力加速度为重力加速度将质量为的将质量为的待测物体待测物体放在下盘上，并使待放在下盘上，并使待测刚体的转轴与测刚体的转轴与oo轴重合。轴重合。21204)(thgrrmmi同理可求得待测刚体和下圆盘对中心转同理可求得待测刚体和下圆盘对中心转轴轴oooo轴的轴的总转动惯量总转动惯量为：为：测出此时下盘和待测物共同运动的周期测出此时下盘和待测物共同运动的周期t1t1和上下圆盘间的垂直距离和上下圆盘间的垂直距离h h。待待测物体

5、测物体绕中心轴绕中心轴oooo的转动惯量为的转动惯量为: : 02101201)(4itmmhgrriii因此，通过长度、质量和时间的测量，因此，通过长度、质量和时间的测量，便可求出刚体绕某轴的转动惯量。便可求出刚体绕某轴的转动惯量。 若质量为若质量为m m的物体绕过其质的物体绕过其质心轴的转动惯量为心轴的转动惯量为i ic c，当转当转轴平行移动距离轴平行移动距离x x时（如图时（如图3 3所示），则此物体对新轴所示），则此物体对新轴oooo的转动惯量为的转动惯量为 。这一结论称为转动惯量的这一结论称为转动惯量的平平行轴定理行轴定理。2mxiicoo用三线摆法还可以验证用三线摆法还可以验证平

6、行轴定理平行轴定理。实验时将质量均为实验时将质量均为m m2 2，形状和质量分布完形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置在下圆盘全相同的两个圆柱体对称地放置在下圆盘上。上。 按同样的方法，测出两小圆柱体和下盘绕按同样的方法，测出两小圆柱体和下盘绕中心轴中心轴oo的转动周期的转动周期tx，则可求出每个则可求出每个柱体对中心转轴柱体对中心转轴oo的转动惯量的转动惯量:02222024)2(21ithgrrmmi如果测出小圆柱中心与下圆盘中心之间如果测出小圆柱中心与下圆盘中心之间的距离的距离l以及小圆柱体的半径以及小圆柱体的半径d，则由平则由平行轴定理可求得每个柱体对中心转轴的行轴定理可求得每

7、个柱体对中心转轴的转动惯量的理论值转动惯量的理论值:2222281dmlmi比较比较i ix x与与i ix x的大小的大小,可验证平行轴定理。可验证平行轴定理。 三、实验仪器三、实验仪器三线摆及其附件三线摆及其附件电子秒表电子秒表游标卡尺游标卡尺钢卷尺钢卷尺四、实验内容四、实验内容1 1基本物理量的测量基本物理量的测量1 1）用米尺测出上下圆盘三悬点之间的距）用米尺测出上下圆盘三悬点之间的距 离离a a和和b b，然后算出上下悬点所在圆的然后算出上下悬点所在圆的 半径半径r r和和r r（等边三角形外接圆半径）。等边三角形外接圆半径）。 其中其中ar33br332 2）用米尺测出用米尺测出两

8、圆盘之间的垂直距离两圆盘之间的垂直距离h h0 0； 下圆盘的直径下圆盘的直径d d0 0；待测圆环的内、外直待测圆环的内、外直 径径d d1 1、d d2 2和和。重复重复3 3次。次。 4 4） 记录下各刚体的质量。记录下各刚体的质量。3 3）用游标卡尺测出一个用游标卡尺测出一个小圆柱体的直径小圆柱体的直径d d， 测量三次。测量三次。2 2测定圆环对通过其质心且垂直于环测定圆环对通过其质心且垂直于环 面轴的转动惯量面轴的转动惯量2）调整底座水平：调整底座上的三个螺钉调整底座水平：调整底座上的三个螺钉 旋钮，直至下盘上水准仪中的水泡位旋钮，直至下盘上水准仪中的水泡位 于正中间。于正中间。

9、1）调整三线长度调整三线长度：调整上圆盘上的三个旋调整上圆盘上的三个旋 钮（调整悬线的长度），改变三悬线的钮（调整悬线的长度），改变三悬线的 长度，直至三线长度一样（约长度，直至三线长度一样（约5050cmcm）。）。 轻轻转动上盘，带动下盘转动，这样可轻轻转动上盘，带动下盘转动，这样可 以避免三线摆在作扭摆运动时发生晃动以避免三线摆在作扭摆运动时发生晃动 （注意扭摆的转角控制在（注意扭摆的转角控制在5 50 0以内）。以内）。 在本实验中用秒在本实验中用秒 表测出表测出5050个周期的时间个周期的时间t t0 0，重复重复3 3次，然后用次，然后用 平均值求出其运动平均值求出其运动周期周期t

10、 t0 0。周期的测量常用累积放大法，即用计时周期的测量常用累积放大法，即用计时工具测量累积多个周期的时间。工具测量累积多个周期的时间。想一想，为什想一想，为什 么不直接测量一个周期？么不直接测量一个周期？3)测量空盘绕中心轴测量空盘绕中心轴oo转动的运动周期转动的运动周期t0： 将待测圆环置于下盘上，注意使两者将待测圆环置于下盘上，注意使两者 中心重合。中心重合。4 4）测出待测圆环与下盘共同转动的周期测出待测圆环与下盘共同转动的周期t t1 1 按按3 3）中同样的方法测出圆环与下盘一起中同样的方法测出圆环与下盘一起运动运动5050个周期的时间个周期的时间t1t1，重复重复3 3次次，再，

11、再用用平均值平均值算出圆环与下盘一起运动的周期算出圆环与下盘一起运动的周期t t1 1。3 3用三线摆验证平行轴定理用三线摆验证平行轴定理 将两小圆柱体将两小圆柱体对称对称放置在下盘上，测出两放置在下盘上，测出两小圆柱体的间距小圆柱体的间距l l和圆柱与下盘共同转动和圆柱与下盘共同转动4040个周期的时间个周期的时间t t2 2，重复测量重复测量3次次，用平均值，用平均值算出两个圆柱与下盘共同转动的周期算出两个圆柱与下盘共同转动的周期t 2。 五、数据处理五、数据处理表表1 1 基本物理量测量数据记录参考表基本物理量测量数据记录参考表项目 次数上盘悬孔间 距a (cm)下盘悬孔间 距b (cm

12、) 上下圆盘 距 离 h0(cm)下圆盘 直 径 d0(cm) 圆环外直径d1(cm)圆环内直径d2(cm)1 2 3 平均平均 ar33br33表表2 累积法测周期数据记录参考表格累积法测周期数据记录参考表格三线摆三线摆摆动摆动50次次所需所需时间时间（s）下盘下盘t0下盘加圆环下盘加圆环 t11 1 2 2 3 3 平均平均 平均平均 周周 期期t0 = st1= s 下盘质量下盘质量 m0 = ，待测圆环质量待测圆环质量 m1 = 。下圆盘下圆盘绕中心轴转动惯量绕中心轴转动惯量理论值理论值的计算公式为：的计算公式为：下圆盘下圆盘绕中心轴转动惯量绕中心轴转动惯量实验值实验值的计算公式为：的计算公式为：200081dmi 2002004thgrrmi相对误差相对误差=000/ )(iii 圆环圆环绕中心轴转动惯量绕中心轴转动惯量理论值理论值计算公式为：计算公式为：22211181ddmi圆环圆环绕中心轴转动惯量绕中心轴转动惯量实验值实验值计算公式为：计算公式为：02101201)(4itmmhgrriii相对误差相对误差=111/ )(iii 圆柱体质量圆柱体质量m2 = ，周期周期t2=表表3 3 平行轴定理验证平行轴定理验证 40/2t 项目次数圆柱中心圆柱中心至盘