2021届高考数学二轮考前复习第二篇破解中档大题保提分必须锤炼的7个热点专题专题5统计与统计案例的交汇学案文含解析

1、专题5统计与统计案例的交汇1.求线性回归方程的关键是确定回归系数,应充分利用回归直线过样本点中心(,),而所有样本点可能都不在直线上.2.根据线性回归方程计算的值,仅是一个预报值,而不是真实发生的值.3.求线性回归方程的关键(1)正确理解计算,的公式和准确计算.(2)在分析两个变量的相关关系时,可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系,若具有线性相关关系,则可通过线性回归方程估计和预测变量的值.4.独立性检验的关键(1)根据22列联表准确计算k2的观测值k,若22列联表没有列出来,要先列出此表.(2)k2的观测值k越大,则两类分类变量有关的把握越大,犯错的概率越小.独立性验证

2、的步骤:(1)列出22列联表:注意求出各行各列的总值,方便计算;(2)将表中数据代入k2公式,计算出k2的观测值k;(3)根据k的值参考表格,求出相关的概率;(4)下结论.1.步骤分:(1)相关性系数公式;(2)k2公式.2.关键分:解题过程的关键点,有则给分,无则没分.如选择分层抽样的依据为各个地块物种数量差异性很大.3.计算分:用平均值估计这种野生动物数量的总值,相关系数的求解.4.注意区分分层抽样与简单随机抽样,如:(1)整体分成了有明显差异的几部分,要选择分层抽样,(2)如果个体的差异不明显,可以选择简单随机抽样.【典例】(12分)(2020全国卷)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大

3、改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,20),其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得xi=60,yi=1 200,(xi-)2=80,(yi-)2=9 000,(xi-)(yi-)=800.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本(xi,yi)(i=1,2,20)的相关系数(精确到0.01);(3)根据现有统计资料

4、,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.附:相关系数r=,1.414.(1)该地区这种野生动物数量的估计值样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数;(2)样本相关系数相关系数公式;(3)分层抽样方法提高样本数据的代表性各地块间植物覆盖面积差异较大.【标准答案】(1)样区这种野生动物数量的平均数为yi=1 200=60,2分地块数为200,该地区这种野生动物数量的估计值为20060=12 000.4分(2)样本(xi,yi)(i=1,2,20)的相关系数为r=0.94.8分(3)分层抽样:根据植物覆盖

5、面积的大小对地块分层,再对200个地块进行分层抽样,理由如下:由(2)知各地块的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关,由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物的数量差异也很大,采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性,提高了样本代表性,从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.12分测试目标(1)直接运用公式解决问题;(2)直接运用相关系数公式解题;(3)通过对分层抽样的理解选择合适的抽样方法.测试目标逻辑推理:根据不同地块的物种差异较大特征选择抽样方法;数据分析:通过平均数求得野生动物数量的估计值;数学运算:运用公式求解相关系数.某地区某农产

6、品近几年的产量统计如表:年份201220132014201520162017年份代码t123456年产量y(万吨)6.66.777.17.27.4(1)根据表中数据,建立关于t的线性回归方程=t+;(2)根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量.(参考数据:=2.8,计算结果保留小数点后两位)1.(独立性检验)在新冠肺炎疫情期间,为了指导不同人群科学合理地选择和使用口罩,现对n95口罩的了解情况进行调查.现随机抽取40人进行调查,其中45岁以下的有20人.在接受调查的40人中,对于n95这种口罩了解的占50%,在了解的人中45岁以上(含45岁)的人数占.(1)将列联表补充完整;了解

7、不了解总计45岁以下45岁以上(含45岁)总计40 (2)判断是否有99%的把握认为对n95这种口罩的了解与否与年龄有关.参考公式:k2=,其中n=a+b+c+d.参考数据:p(k2k0)0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.8282.(回归分析)随着智能手机的普及,使用手机上网成为人们日常生活的一部分,很多消费者对手机流量的需求越来越大.长沙某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求,准备推出一款流量包.该通信公司选了5个城市(总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近)采用不同的定价方案作为试点,经过一个月的统计,发现该流量包的定价x(单位:元/月)

8、和购买人数y(单位:万人)的关系如表:流量包的定价x(元/月)3035404550购买人数y(万人)18141085 (1)根据表中的数据,运用相关系数进行分析说明,是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系?并指出是正相关还是负相关;(2)求出y关于x的回归方程;若该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定为25元/月,请用所求回归方程预测该市一个月内购买该流量包的人数能否超过20万人.参考数据:158,161,164.3.(独立性检验)2019年12月1日起郑州市施行郑州市城市生活垃圾分类管理办法,郑州正式进入城市生活垃圾分类时代.为了增强社区居民对垃圾分类知识的了解,积极参与到垃

9、圾分类的行动中,某社区采用线下和线上相结合的方式开展了一次200名辖区成员参加的“垃圾分类有关知识”专题培训.为了了解参训成员对于线上培训、线下培训的满意程度,社区居委会随机选取了40名辖区成员,将他们分成两组,每组20人,分别对线上、线下两种培训进行满意度测评,根据辖区成员的评分(满分100分)绘制了如图所示的茎叶图.(1)根据茎叶图判断辖区成员对于线上、线下哪种培训的满意度更高,并说明理由.(2)求这40名辖区成员满意度评分的中位数m,并将评分不超过m、超过m分别视为“基本满意”“非常满意”两个等级.()利用样本估计总体的思想,估算本次培训共有多少辖区成员对线上培训非常满意;()根据茎叶图

10、填写下面的列联表.基本满意非常满意总计线上培训线下培训总计并根据列联表判断能否有99.5%的把握认为辖区成员对两种培训方式的满意度有差异?4.(独立性检验)2020年3月,因为新冠肺炎疫情的影响,我市全体学生只能在网上在线学习,为了研究学生在线学习情况,市教研院数学学科随机从市区各高中学校抽取120名学生对线上教学情况进行调查(其中,男生与女生的人数之比为31),结果发现:男生中有40名对于线上教学满意,女生中有10名表示对于线上教学不满意.(1)请完成如表22列联表,并回答能否有95%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”;态度性别满意不满意总计男生女生总计120 (2)采用分层抽样的方

11、法,从被调查的对线上教学满意的学生中,抽取6名学生,再从这6名学生中抽取2名学生,作线上学习的经验介绍,求所选取的2名学生性别不同的概率.5.(回归分析)某电子科技公司由于产品采用最新技术,销售额不断增长,最近5个季度的销售额数据统计如下表(其中2018q1表示2018年第一季度,以此类推):季度2018q12018q22018q32018q42019q1季度编号x12345销售额y(百万元)4656678696 (1)公司市场部从中任选2个季度的数据进行对比分析,求这2个季度的销售额都超过6千万元的概率;(2)求y关于x的线性回归方程,并预测该公司2019q3的销售额.附:线性回归方程=x+

12、,其中=,=-.参考数据:xiyi=1 183.6.(独立性检验)今年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多,为了严控疫情传播,做好重点人群的预防工作,某地区共统计返乡人员100人,其中50岁及以上的共有40人.这100人中确诊的有10名,其中50岁以下的人占.确诊患新冠肺炎未确诊患新冠肺炎总计50岁及以上4050岁以下总计10100 (1)请将列联表补充完整,并判断是否有95%的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关;(2)现从已确诊的病人中分层抽样抽出5人观察恢复情况,若从这5人中随机抽取3人,求恰有2人为50岁及以上的概率.7.(回归分析)某单位响应党中央“精准扶贫”号召,对某村6

13、户贫困户中的甲户进行定点帮扶,每年跟踪调查统计一次,从2015年1月1日至2018年12月底统计数据如下(人均年纯收入):年份2015年2016年2017年2018年年份代码x1234收入y(百元)25283235 (1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+,并估计甲户在2019年能否脱贫;(国家规定2019年脱贫标准:人均年纯收入为3 747元)(2)2019年初,根据扶贫办的统计知,该村剩余5户贫困户中还有2户没有脱贫,现从这5户中抽取2户,求至少有一户没有脱贫的概率.8.(独立性检验)2011年,国际数学协会正式宣布,将每年的3月14日设为国际数学节,来源是

14、中国古代数学家祖冲之的圆周率,为庆祝该节日,某校举办数学趣味知识竞赛活动,参与竞赛的文科生与理科生人数之比为13,且成绩分布在,分数在,分别获二等奖和一等奖.按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图.(1)填写下面的22列联表,能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”?文科生理科生总计获奖5不获奖总计200 (2)将上述调查所得的频率视为概率,现从参赛学生中,通过分层抽样的方法从这些获奖人中随机抽取4人,再从这4人中任意选取2人,求2人均获二等奖的概率.专题5统计与统计案例的交汇【模拟考场】【解析】(1)由题意可知:=3.5,=7,=+0.52+

15、1.52+2.52=17.5,所以=0.16,又=-=7-0.163.5=6.44,所以y关于t的线性回归方程为=0.16t+6.44.(2)由(1)可得,当年份为2019年时,年份代码t=8,此时=0.168+6.44=7.72,所以,可预测2019年该地区该农产品的年产量约为7.72万吨./高考演兵场检验考试力/1.【解析】(1)由题意可得对于n95这种口罩了解的人数为4050%=20,则45岁以上(含45岁)的人对n95这种口罩了解的人数为20=5.故补充列联表如下:了解不了解总计45岁以下1552045岁以上(含45岁)51520总计202040 (2)由题意可得,k2的观测值k=10

16、,因为106.635,所以有99%的把握认为对n95这种口罩的了解与否与年龄有关.2.【解析】(1)根据题意,得=40,=11.可列表如下i12345xi-10-50510yi-73-1-3-6(xi-)(yi-)-70-150-15-60根据表格和参考数据,得=-160,=161.因而相关系数r=-0.99.由于0.99,很接近1,因而可以用线性回归方程模型拟合y与x的关系.由于r20,故若将流量包的价格定为25元/月,可预测该市一个月内购买该流量包的人数会超过20万人.3.【解析】(1)由茎叶图可知,线上培训的满意度评分在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布,线下培训的满意度评分分布在茎8

17、上的最多,关于茎8大致呈对称分布,故可以认为线下培训满意度评分比线上培训满意度评分更高,因此辖区成员对线下培训的满意度更高.(2)由茎叶图知m=80.()参加线上培训满意度调查的20名辖区成员中共有6名成员对线上培训非常满意,频率为,又本次培训共200名成员参加,所以对线上培训非常满意的成员约有200=60(人).()列联表如下:基本满意非常满意总计线上培训14620线下培训61420总计202040于是k2的观测值k=6.4,由于6.43.841,则有95%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”.(2)由分层抽样的性质可知,抽取的6名学生中,男生4人,女生2人,记4名男生分别为a,b,c

18、,d,2名女生分别为a,b,从这6名学生中抽取2名学生的所有情况为:,c,d,c,a,c,b,d,a,d,b,a,b,共15种,其中所选取的2名学生性别不同的共有8种,则所选取的2名学生性别不同的概率p=.5.【解析】(1)从5个季度的数据中任选2个,这2个季度的销售额有10种情况:(46,56),(46,67),(46,86),(46,96),(56,67),(56,86),(56,96),(67,86),(67,96),(86,96).设“这2个季度的销售额都超过6千万元”为事件a,事件a包含(67,86),(67,96),(86,96),共3种情况.所以p(a)=.(2)=(1+2+3+4+5)=3,=(46+56+67+86+96)=70.2.=13,所以=-=31.2.所以y关于x的线性回归方程