2021届高考数学统考第二轮专题复习第3讲导数的应用学案理含解析

1、第3讲导数的应用高考年份全国卷全国卷全国卷2020利用导数的几何意义求切线方程t62019利用导数的几何意义求切线方程t13导数的几何意义t62018利用导数的几何意义求切线方程t5利用导数的几何意义求切线方程t13利用导数的几何意义求参数值t141.2020全国卷函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1)处的切线方程为()a.y=-2x-1b.y=-2x+1c.y=2x-3d.y=2x+12.2019全国卷已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()a.a=e,b=-1b.a=e,b=1c.a=e-1,b=1d.a=e-1,b=-13.2018全国卷

2、曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.导数的几何意义及应用1(1)函数f(x)=3sinx+4cosx的图像在点t(0,f(0)处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积为()a.43b.53c.73d.83 (2)已知点p(x1,y1)是函数f(x)=2x图像上的一点,点q(x2,y2)是函数g(x)=2lnx图像上的一点,若存在x1,x2使得|pq|255成立,则x1的值为()a.15b.25c.12d.1【规律提炼】用导数研究曲线的切线是高考的一个热点,内容主要涉及求切线的斜率与方程、切线的条数、公切线问题、根据切线满足的条件求参数或参数范围等.测题1.函数f(x

3、)=exlnx的图像在点(1,f(1)处的切线方程是()a.y=e(x-1)b.y=ex-1c.y=2e(x-1)d.y=x-e2.设曲线y=e1-x2与直线x=-1的交点为p,则曲线y=e1-x2在p点处的切线方程为.3.若存在a0,使得函数f(x)=6a2lnx与g(x)=x2-4ax-b的图像在这两函数图像的公共点处的切线相同,则b的最大值为.导数与函数的单调性角度1导数研究函数的单调区间2若函数f(x)=sin2x-4x-msinx在0,2上单调递减,则实数m的取值范围为()a.(-2,2)b.-2,2c.(-1,1)d.-1,1【规律提炼】1.求解函数单调性问题的思路:(1)已知函数

4、在区间上单调递增或单调递减,转化为f(x)0或f(x)0恒成立;(2)已知区间上不单调,转化为导函数在区间上存在变号零点,通常利用分离变量法求解参数的范围;(3)已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间,转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.2.原函数的单调性转化为导函数在给定区间上正负问题的处理方法:(1)参变分离;(2)导函数的根与区间端点直接比较.测题1.若函数f(x)=12ax2-2ax+lnx在(1,3)上不单调,则实数a的取值范围为()a.-,-13b.(1,+)c.-,-13(1,+)d.-,-12(2,+)2.若函数f(x)=alnx+12x2+2bx在区间1,2上单调递增

5、,则a+4b的最小值是.角度2导数与不等式3若定义在(0,+)上的函数f(x)的导函数为f(x),且f(x)f(x)x,则对任意的x1,x2(0,+),下列不等式中一定正确的有()f(x1+x2)f(x1)+f(x2);f(x1)+f(x2)x2x1f(x1)+x1x2f(x2);f(2x1)2x1f(1);f(x1x2)f(x1)f(x2).a.b.c.d.测题1.定义在r上的函数f(x)的导函数为f(x),若f(x)f(x),则不等式exf(x+1)e4f(2x-3)的解集是()a.(-,2)b.(2,+)c.(4,+)d.(-,4)2.已知函数f(x)=ex-ax2的定义域为(1,2),

6、且对x1,x2(1,2),x1x2,f(x1)-f(x2)x1-x2x1+x2恒成立,则实数a的取值范围为()a.e24-1,+b.e24,+c.e42,+d.e42-1,+利用导数研究函数的极值、最值4(1)已知函数f(x)=2sinx+13tanx0x0且a0,所以x0=3a.因为f(x0)=g(x0),所以x02-4ax0-b=6a2lnx0,则b=-3a2-6a2ln3a(a0).设h(a)=-3a2-6a2ln3a,所以h(a)=-12a(1+ln3a),令h(a)=0,得a=13e,所以当0a0;当a13e时,h(a)0.即h(a)在0,13e上单调递增,在13e,+上单调递减,所

7、以b的最大值为h13e=13e2.小题2例2b解析因为f(x)=sin2x-4x-msinx,所以f(x)=2(2cos2x-1)-4-mcosx=4cos2x-mcosx-6.由题意知,当x0,2时,f(x)0恒成立.设t=cosx-1,1,g(t)=4t2-mt-6,则g(t)0在-1,1上恒成立,结合函数g(t)的图像(图略)得g(-1)0,g(1)0,即4+m-60,4-m-60,解得-2m2.故选b.【自测题】1.c解析由f(x)=12ax2-2ax+lnx,得f(x)=ax-2a+1x=ax2-2ax+1x,记(x)=ax2-2ax+1.f(x)在(1,3)上不单调,当a=0时,不

8、满足题意;当a0时,(x)的图像的对称轴为直线x=1,只需(1)(3)0,即(1-a)(3a+1)0,解得a1.故选c.2.-4解析函数f(x)=alnx+12x2+2bx在区间1,2上单调递增,f(x)=x+2b+ax=x2+2bx+ax0在区间1,2上恒成立,即x2+2bx+a0在区间1,2上恒成立.令h(x)=x2+2bx+a,则h(x)的图像的对称轴为直线x=-b.当-b1,即b-1时,x2+2bx+a0在区间1,2上恒成立等价于b-1,h(1)=a+2b+10,由线性规划可得(a+4b)min=1+4(-1)=-3.当-b2,即b-2时,x2+2bx+a0在区间1,2上恒成立等价于b

9、-2,h(2)=a+4b+40,由线性规划可得(a+4b)min=4+4(-2)=-4.当1-b2,即-2b-1时,x2+2bx+a0在区间1,2上恒成立等价于-2b-1,h(-b)=a-b20,则a+4bb2+4b,又当-2b-1时,b2+4b(-4,-3),所以-4a+4b.综上所述,a+4b的最小值是-4.例3a解析依题知f(x)的定义域为(0,+),且f(x)f(x)x,即xf(x)f(x),即xf(x)-f(x)0),则g(x)=xf(x)-f(x)x20,g(x)单调递减,故(x1-x2)g(x1)-g(x2)0,即(x1-x2)f(x1)x1-f(x2)x20,整理得f(x1)+

10、f(x2)1,故g(2x1)g(1),即f(2x1)2x1f(1)1,f(2x1)x1,故g(x1+x2)g(x1),x1x1+x2f(x1+x2)f(x1),同理x2x1+x2f(x1+x2)f(x2),相加得f(x1+x2)f(x1)+f(x2),故一定正确;取f(x)=1,x(0,+),满足题意,则f(x1x2)=f(x1)f(x2)=1,故不正确.故选a.【自测题】1.d解析不等式exf(x+1)e4f(2x-3)等价于f(x+1)ex+1f(2x-3)e2x-3.构造函数r(x)=f(x)ex,则r(x)=f(x)-f(x)ex,又f(x)f(x),r(x)0,即r(x)在r上是减函

11、数.由f(x+1)ex+12x-3,解得x4,即不等式exf(x+1)x2,对x1,x2(1,2),f(x1)-f(x2)x1-x2x1+x2恒成立,等价于f(x1)-f(x2)x12-x22,即f(x1)-x12f(x2)-x22.令f(x)=f(x)-x2=ex-ax2-x2,则f(x1)0,所以函数h(x)在(1,2)上单调递增,所以h(x)h(2)=e22,所以e222(a+1),即ae24-1.故选a.小题3例4(1)c(2)d解析(1)f(x)=2sinx+13tanx,f(x)=2sinx+13sinxcosx=-2cosxsin2x+13cos2x=-6cos3x-cos2x+

12、13sin2xcos2x.令t=cosx(0,1),则g(t)=-6t3-t2+1为减函数,且g12=0,当0x3时,12t1,g(t)0,f(x)0,当3x2时,0t0,f(x)0,故f(x)min=f3=533.故选c.(2)由题意得f(x)=ex(x-1)x2-2t1x+1-2x2=(x-1)ex-2t(x+2)x2.f(x)=exx-2tlnx+x+2x,x(0,+)恰有一个极值点1,ex-2t(x+2)=0在(0,+)上无解,即t=ex2(x+2)在(0,+)上无解.令g(x)=ex2(x+2)(x0),则g(x)=ex(x+2)-ex2(x+2)2=ex(x+1)2(x+2)20,函数g(x)在(0,+)上单调递增,当x(0,+)时,g(x)g(0)=14,t14.故选d.【自测题】1.b解析f(x)=lnx-1(lnx)2-a,设g(x)=lnx-1(lnx)2=1lnx-1(lnx)2,函数f(x)在区间(1,+)上有极值,f(x)=g(x)-a在(1,+)上有变号零点.令1lnx=t,由x1可得lnx0,即t0,可得y=t-t2=-t-122+1414,ag(0)=0,f(x)=xg(x)0,故f(x)在-2,0上单调递增;当x0,2时,g(