2021届高考数学一轮复习第六章数列第3节等比数列及其前n项和教学案含解析新人教A版

1、- 1 -第第 3 3 节节等比数列及其前等比数列及其前n n项和项和考试要求1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系.知 识 梳 理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：anan1q(n2，q为非零常数).(2)如果三个数a，g，b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项，其中gab.2. 等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列an的首项为a1，公比是q，则其通

2、项公式为ana1qn1；通项公式的推广：anamqnm.(2)等比数列的前n项和公式：当q1 时，snna1；当q1 时，sna1（1qn）1qa1anq1q.3.等比数列的性质已知an是等比数列，sn是数列an的前n项和.(1)若klmn(k，l，m，nn n*)，则有akalaman.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm.(3)当q1，或q1 且n为奇数时，sn，s2nsn，s3ns2n，仍成等比数列，其公比为qn.常用结论与微点提醒1.若数列an， bn(项数相同)是等比数列， 则数列can(c0)， |an|， a2n，1an，

3、 anbn，anbn也是等比数列.2.由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.- 2 -3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1 与q1 分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)等比数列公比q是一个常数，它可以是任意实数.()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2ac.()(3)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为sna（1an）1a.()(4)数列an为等比数列，则s4，s8s4，s12s8成等比数列.()解析(1)在等比数列中，q0.(2)若a0，b0，c0

4、满足b2ac，但a，b，c不成等比数列.(3)当a1 时，snna.(4)若a11，q1，则s40，s8s40，s12s80，不成等比数列.答案(1)(2)(3)(4)2.(老教材必修 5p53t1 改编)已知an是等比数列，a416，公比q2，则a1等于()a.2b.2c.12d.12解析由题意，得a4a1q38a116，解得a12.答案a3.(老教材必修 5p61t1 改编)等比数列an的首项a11，前n项和为sn，若s10s53132，则an的通项公式an_.解析因为s10s53132，所以s10s5s5132，因为s5，s10s5，s15s10成等比数列，且公比为q5，所以q5132，

5、q12，则an12n1.答案12n14.(2020晋冀鲁豫名校联考)公比不为 1 的等比数列an满足a5a6a4a718，若a1am9，则- 3 -m的值为()a.8b.9c.10d.11解析由题意得，2a5a618，a5a69，a1ama5a69，m10.答案c5.(2018北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音， 从第二个单音起， 每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为()a.32fb.322fc.1

6、225fd.1227f解析由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f， 公比为122的等比数列， 设此数列为an，则a81227f，即第八个单音的频率为1227f.答案d6.(2019全国卷)设sn为等比数列an的前n项和.若a113，a24a6，则s5_.解析由a24a6得(a1q3)2a1q5，整理得q1a13.所以s5a1（1q5）1q13（135）131213.答案1213考点一等比数列基本量的运算【例 1】 (1)(2019全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15， 且a53a34a1，则a3()a.16b.8c.4d.2(2)(2020郴州一模)在数列an中，满足

7、a12，a2nan1an1(n2，nn n*)，sn为an的前n项和，若a664，则s7的值为()a.126b.256c.255d.254- 4 -解析(1)设等比数列an的公比为q，由a53a34a1得q43q24，得q24，因为数列an的各项均为正数，所以q2，又a1a2a3a4a1(1qq2q3)a1(1248)15，所以a11，所以a3a1q24.(2)数列an中，满足a2nan1an1(n2)，则数列an为等比数列，设其公比为q，又由a12，a664，得q5a6a132，则q2，则s7a1（127）12282254.答案(1)c(2)d规律方法1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一

8、类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1 时，an的前n项和snna1；当q1 时，an的前n项和sna1（1qn）1qa1anq1q.【训练 1】 (1)等比数列an中各项均为正数，sn是其前n项和，且满足 2s38a13a2，a416，则s4()a.9b.15c.18d.30(2)设等比数列an满足a1a21，a1a33，则a4_.解析(1)设数列an的公比为q(q0)，则2s32（a1a1qa1q2）8a13a1q，a1q316，解得q2，a12，所以s42（124

9、）1230.(2)由an为等比数列，设公比为q.由a1a21，a1a33，得a1a1q1，a1a1q23，显然q1，a10，得 1q3，即q2，代入式可得a11，所以a4a1q31(2)38.答案(1)d(2)8考点二等比数列的判定与证明【例 2】 设数列an的前n项和为sn，已知a12a23a3nan(n1)sn2n(nn n*).- 5 -(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列sn2是等比数列.(1)解因为a12a23a3nan(n1)sn2n(nn n*)，所以当n1 时，a1212；当n2 时，a12a2(a1a2)4，所以a24；当n3 时，a12a23a32(a1a2a3)6，所

10、以a38.综上，a24，a38.(2)证明因为a12a23a3nan(n1)sn2n(nn n*)，所以当n2 时，a12a23a3(n1)an1(n2)sn12(n1).，得nan(n1)sn(n2)sn12n(snsn1)sn2sn12nansn2sn12.所以sn2sn120，即sn2sn12，所以sn22(sn12).因为s1240，所以sn120，所以sn2sn122，故sn2是以 4 为首项，2 为公比的等比数列.规律方法1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.在利

11、用递推关系判定等比数列时，要注意对n1 的情形进行验证.【训练 2】 (2019长治二模)sn为等比数列an的前n项和，已知a49a2，s313，且公比q0.(1)求an及sn；(2)是否存在常数，使得数列sn是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.解(1)易知q1，由题意可得a1q39a1q，a1（1q3）1q13，q0，解得a11，q3，- 6 -an3n1，sn13n133n12.(2)假设存在常数，使得数列sn是等比数列，s11，s24，s313，(4)2(1)(13)，解得12，此时sn12123n，则sn112sn12123n1123n3，故存在常数12，使得数列sn12

12、是以32为首项，3 为公比的等比数列.考点三等比数列的性质及应用【例 3】 (1)(2020洛阳统考)等比数列an的各项均为正数，且a10a11a8a1364，则 log2a1log2a2log2a20_.(2)(一题多解)(2019西安模拟)已知等比数列an的前n项和为sn，若s1020，s30140，则s40()a.280b.300c.320d.340解析(1)由等比数列的性质可得a10a11a8a13，所以a10a11a8a132a10a1164，所以a10a1132，所以log2a1log2a2log2a20log2(a1a2a3a20)log2(a1a20)(a2a19)(a3a18

13、)(a10a11)log2(a10a11)10log2321050.(2)法一因为s10200，所以q1，由等比数列性质得s10，s20s10，s30s20，s40s30成等比数列，(s20s10)2s10(s30s20)，即(s2020)220(140s20)，解得s2060，s20s10s106020202，s40s30s1023，s40s30s1023300.故选 b.法二设等比数列an的公比为q，由题意易知q1，所以a1（1q10）1q20，a1（1q30）1q140，两式相除得1q301q107，化简得q20q1060，- 7 -解得q102，所以s40s30s10q30140160

14、300，故选 b.答案(1)50(2)b规律方法1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度.2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.【训练 3】 (1)(2020贵阳质检)在等比数列an中，若a3，a7是方程x24x20 的两根，则a5的值是()a.2b. 2c. 2d. 2(2)(一题多解)设等比数列an的前n项和为sn，若s6s33，则s9s6_.解析(1)根据根与系数之间的关系得a3a74，a3a72，由a3a740，所以a3

15、0，a70，即a51的n的最小值为()a.4b.5c.6d.7解析数列an是各项均为正数的等比数列，且a2a4a3，a23a3，a31.又q1，- 13 -a1a21(n3)， tntn1(n4，nn n*)，t11，t2a1a21，t3a1a2a3a1a2t21，t4a1a2a3a4a11，故n的最小值为 6.答案c13.(2020华大新高考联盟质检)设等比数列an的前n项和为sn，若a3a112a25，且s4s12s8，则_.解析数列an是等比数列，a3a112a25，a272a25，q42，s4s12s8，a1（1q4）1qa1（1q12）1qa1（1q8）1q，1q41q12(1q8)

16、，将q42 代入计算可得83.答案8314.(开放题)(2020山东模考)在b1b3a2，a4b4，s525 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由.设等差数列an的前n项和为sn，bn是等比数列，_，b1a5，b23，b581，是否存在k，使得sksk1，且sk1sk1，则只需skskak1，即ak10，同理，若sk1sk2，则只需sk10.若选：b1b3a2时，a21910，an3n16.当k4 时，a50，sksk1，且sk1sk2成立.若选：a4b427，a51，an为递减数列，故不存在ak10，即不存在k，使得sksk1，且sk1sk2成立.若选：s525，s55（a1a5）25a325，- 14 -a35.an2n11.当k4 时，a50，sksk1，且sk1sk2成立.c 级创新猜想15.(新背景题)(2019宁德质检)某市利用第十六届省运会的契机，鼓励全民健身，从 2018年 7 月起向全市投放a，b两种型号的健身器材.已知 7 月份投放a型健身器材 300 台